Olympiade mathematique du Canada 1983
PROBL
EME 1
Trouver tous les entiers positifsw,x,y etz qui satisfontw! =x! +y! +z!.
PROBL
EME 2
SoitRl'ensemble des nombres reels. SoitF la famille des transformationsfTr:r2
Rg ouTr transforme le point (x;y) en le point (2rx;r2rx+ 2ry). Trouver toutes les courbesy =f(x) dont le graphe est invariant pour chacune des transformations deF.
PROBL
EME 3
L'aire d'un triangle est determinee par les longueurs de ses c^otes. Est-il vrai que le volume d'un tetraedre est determine par les aires de ses faces?
PROBL
EME 4
Demontrer que pour tout nombre premierpil existe une innite d'entiers positifs
ntels que pdivise 2n,n.
PROBL
EME 5
La moyenne geometrique (M.G.) dek nombres positifs est par denition la racine
k-eme de leur produit. (Par exemple la M.G. de 3, 4 et 18 est 6). Montrer que la M.G. d'un ensemble S de nnombres positifs est egale a la M.G. des moyennes geometriques de tous les sous-ensembles non vides deS.
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