Olympiade mathematique du Canada 1986
PROBL
EME 1
D'apres le diagramme, les segments AB et CD sont de longueur 1 et les angles
ABC etCBDont respectivement 90 et 30. TrouverAC.
B D
C A
90 30
PROBL
EME 2
Un Mathlon est une competition sportive comprenant M epreuves d'athletisme.
Une telle competition a eu lieu pour trois athletes A, B et C. Pour chacune des epreuves, un pointagep1a ete attribue pour la premiere place,p2pour la seconde et
p
3pour la troisieme,p1,p2etp3etant des nombresentiers tels quep1>p2>p3>0.
Le resultat nal de Aest de 22 points, celui deB est de 9 points et celui deC est de 9 points. Ba remporte le 100 metres. Trouver la valeur deM ainsi que l'athlete qui a obtenu la seconde place pour le saut en hauteur.
PROBL
EME 3
Une corde ST de longueur constante est tendue sur la circonference d'un demi- cercle dont le diametre est AB. M est le point se trouvant au milieu de ST et
P est le point d'intersection avec AB de la perpendiculaire elevee de S sur AB. Demontrer que l'angleSPM est de grandeur constante pour toute position deST.
PROBL
EME 4
Etant donnes les entiers positifs n et k, denissons F(n;k) = Pnr =1r2k ,1. Demontrer queF(n;1) divise F(n;k).
PROBL
EME 5
Soitu1;u2;u3;:::une suite de nombres satisfaisant la relation de recurrenceun+2=
u 2
n+1 ,u
navecu1= 39 etu2= 45. Demontrer que 1986 divise une innite de termes de la suite.
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