Olympiade mathematique du Canada 1996
PROBL
EME 1
Si ;; sont les racines de l'equationx3,x,1 = 0, alors calculer 1 +
1, + 1 +
1, + 1 + 1,:
PROBL
EME 2
Trouver toutesles solutions reelles du systemed'equations suivant. Justier soigneusement votre reponse.
8
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:
4x2 1 + 4x2 =y
4y2 1 + 4y2 =z
4z2 1 + 4z2 =x
PROBL
EME 3
On denote une permutation quelconque des entiers 1;::: ;npara1;::: ;an. Posons maintenantf(n) commeetant le nombre de telles permutations ayant les proprietes suivantes:
(i) a1= 1;
(ii) jai,ai+1j2; i= 1;::: ;n,1.
Determiner sif(1996) est divisible par 3.
PROBL
EME 4
Soit 4ABC un triangle isocele tel que AB=AC. Supposons de plus que l'angle bissecteur de6 B rejoigneACenDet queBC=BD+AD. Determiner alors6 A.
PROBL
EME 5
Soit r1;r2;::: ;rm un ensemble donne de m nombres rationnels positifs tels que
Pmk=1rk = 1. On denit maintenant la fonctionf parf(n) =n,Pmk=1[rkn] pour chaque entier positif n. Determiner la valeur minimum et la valeur maximum de f(n). On denote ici par [x] le plus grand entier plus petit ou egal ax.
{1{
