Olympiade mathematique du Canada 1985
PROBL
EME 1
Les dimensions des c^otes d'un triangle sont 6, 8 et 10 unites. Demontrer qu'il existe une et une seule ligne droite qui divise en deux simultanement l'aire et le perimetre de ce triangle.
PROBL
EME 2
Existe-t-il un entier qui est double quand on transfere son premier chire a la n?
PROBL
EME 3
SoientP1 etP2deux polygones reguliers de 1985 c^otes chacun, dont les perimetres sont respectivement x et y. Chaque c^ote de P1 est tangent a un cercle donne de circonference c et chaque sommet de P2 se trouve sur ce cercle. Montrer que
x+y2c. (Indication: vous pouvez utiliser, sans la prouver, l'inegalite tan, 0<2).
PROBL
EME 4
Montrer que 2n,1 divise n! si et seulement si n = 2k ,1 pour un certain entier naturelk.
PROBL
EME 5
Soitx1tel que 1<x1<2. Pourn= 1;2;:::, on denit
x
n+1= 1 +xn,1 2x2n: Montrer que, pourn3, on a
x
n ,
p2<2,n:
{1{
