Olympiade mathematique du Canada 1997
PROBL
EME 1
Combien de paires d'entiers positifs x;y y a-t'il, si x y, pgcd(x;y) = 5! et ppcm(x;y) = 50!.
REMARQUE. pgcd(x;y) signie le plus grand commun diviseur de x et y, et ppcm(x;y) signie le plus petit commun multiple de x et y, et nalementn! =
n(n,1)21.
PROBL
EME 2
L'intervalle fermeA= [0;50] est une reunion d'un nombre ni d'intervalles fermes, chacun de longueur 1. Montrer que certains de ces intervalles puissent ^etre retires de sorte que ceux restant soient deux a deux disjoints et aient une longueur totale
25.
REMARQUE. Etant donneab, la longueur de l'intervalle ferme [a;b] :=fx2R:
axbgestb,a; des intervalles disjoints ont une intersectionvide.
PROBL
EME 3
Montrer que 1
1999 < 1 2 3
4 5
61997 1998 < 1
44
PROBL
EME 4
SoitO un point situe a l'interieur du parallelogrammeABCD de sorte que
6
AOB+6 COD= 180: Montrer que 6 OBC=6 ODC.
PROBL
EME 5 Ecrire la somme
n
X
k =0
(,1)k,nk
k
3+ 9k2+ 26k+ 24;
sous la forme p(n)q (n), oupetqsont des polyn^omes dont les coecients sont entiers.
{1{
