Olympiade mathematique du Canada 1995

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Olympiade mathematique du Canada 1995

PROBL

EME 1

Soit^f(^x) = ⁹^x⁹^x⁺³. Evaluer la somme

f( 11996) +^f( 21996) +^f( 31996) ++^f(19951996)^:

PROBL

EME 2

Soient^a,^b, et^cdes nombres reels positifs. Montrer que

a a

b b

c c

(^abc)^a+b+c³ ^:

PROBL

EME 3

Denissons un boomerangcommeetantun quadrilatere dont les c^otes opposes ne se coupent pas et dont un des angles internes est superieur a 180 degres.

(Voir la gure ci-contre.) Soit maintenant ^C un polygone convexe a ^s c^otes. Supposons de plus que l'interieur de^Csoit l'union de^qquadrilateres dont leurs interieurs ne se chevauchent pas deux a deux. Montrer que si ^b de ces quadrilateres sont des boomerangs, alors^q^b+^s,2² .

PROBL

EME 4

Soit ⁿun entier positif xe. Montrer que seulement pour des entiers non negatifs

k, l'equation diophantine

x 3

1+^x³²++^x³ⁿ=^y^{3k +2}

possede une innite de solutions dont^xⁱ et^y soient entiers positifs.

PROBL

EME 5

Soit^uun parametre reel tel que 0^<^u^<1. Posons

f(^x) =

(0 si 0^x^u

1^,^pûx+^p(1^,û)(1^,^x)² siû^x1 et denissons de plus la suite^fuⁿ^grecursivement comme suit:

u

1=^f(1)^; etûⁿ=^f(û^n,1) pour toutⁿ^>1^: Montrer qu'il existe toujour un entier positif^k tel queû^k= 0.

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