Olympiade mathematique du Canada 1990
PROBL
EME 1
Un nombren2 de joueurs participent a un tournoi qui durek jours. A chaque jour, les joueurs gagnent 1;2;3;:::;ounpoints, et les scores des divers joueurs sont tous distincts pour la journee. A la n du tournoi, apreskjours, les joueurs avaient accumule chacun 26 points. Determiner tous les couples (n;k) pour lesquels une telle situation est possible.
PROBL
EME 2
On disposeau hasard un ensemble de12n(n+1) nombresdistincts dans un arrangement triangulaire comme suit:
... ... ...
SoitMk le plus grand des nombres de lakieme ligne a partir du haut. Calculer la probabilite que
M
1
<M
2
<M
3
<<M
n :
PROBL
EME 3
SoitABCD, un quadrilatere convexe inscrit dans un cercle, et soitX, l'intersection des diagonalesACetBD. Les perpendiculairesabaissees deX sur chacun des c^otes rencontrent les c^otesAB,BC,CD, etDArespectivement aux pointsA0,B0,C0et
D
0. Demontrer que
jA 0
B 0
j+jC0D0j=jA0D0j+jB0C0j:
(jA0B0jest la longueur du segmentA0B0,etc.).
PROBL
EME 4
Une particule peut se deplacer jusqu'a 2 metres a la seconde le long de l'axe des
x, et jusqu'a 1 metre a la seconde ailleurs dans le plan. Faire un graphique de la region qui peut ^etre atteinte en une seconde par une particule partant de l'origine, en identiant bien les diverses parties du graphique.
PROBL
EME 5
Soitf, une fonction denie sur les entiers positifs telle que
f(1) = 1; f(2) = 2;
f(n+ 2) =f,n+ 2,f(n+ 1)+f,n+ 1,f(n) (n1): {1{
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(a) Montrer que
(i) 0f(n+ 1),f(n)1.
(ii) Si f(n) est impair, alorsf(n+ 1) =f(n) + 1.
(b) Determiner, avec preuve a l'appui, toutes les valeurs dentelles que
f(n) = 210+ 1:
