Olympiade mathematique du Canada 1988
PROBL
EME 1
Pour quelles valeurs debles deux equations
1988x2+bx+ 8891 = 0 et 8891x2+bx+ 1988 = 0 ont-elles une racine commune?
PROBL
EME 2
La fondation d'une maison a la forme d'un triangle de perimetreP metres et une surface deAmetres carres. Le jardin par ailleurs correspond au terrain a moins de 5 metres de la maison. Calculer donc la supercie totale du terrain occupe par la maison et le jardin.
PROBL
EME 3
Soit S un ensemble ni comptant au moins cinq points du plan cartesien; de plus ces points sont colores rouges ou bleus. Aucun des sous-ensembles de m^eme couleur n'est colineaire. Montrer alors qu'il existe un triangle dont
(i) les sommets sont de m^eme couleur, et
(ii) au moins un des c^otes du triangle ne contient pas de point de l'autre couleur.
PROBL
EME 4
Posonsxn+1 = 4xn,xn,1,x0= 0,x1 = 1, etyn+1 = 4yn,yn,1,y0= 1,y1= 2.
Montrer que y2n= 3x2n+ 1 pour toutn0.
PROBL
EME 5
Soit S =fa1;a2;::: ;argune suite de nombres entiers. Pour toute sous-suite non vide AdeS, on posep(A) comme etant le produit de tous les elements deA. Soit maintenantm(S) la moyenne arithmetique dep(A) prise sur tous les sous-ensembles non vides Ade S. Si m(S) = 13 et si m(S[far +1g) = 49 pour un entier positif ar +1, determiner alors les valeurs dea1;a2;::: ;aretar +1.
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