Olympiade mathematique du Canada 1969

Olympiade mathematique du Canada 1969

PROBL

EME 1

Montrer que si a¹=b¹=a²=b²=a³=b³ etp¹,p²,p³sont tous non nuls, alors

a¹ b¹

n= p¹aⁿ¹ +p²aⁿ²+p³aⁿ³ p¹bⁿ¹+p²bⁿ²+p³bⁿ³ pour chaque entier positifn.

PROBL

EME 2

Trouver lequel des deux nombres^pc^{+ 1,p}c^,pc^,pc^,1 est le plus grand pour c1 quelconque.

PROBL

EME 3

Soitcla longeur de l'hypotenuse d'un triangle droit dont les deux autres c^otes aient pour longueuraetb. Montrer quea+b^p2c. Dans quel cas a-t'on egalite?

PROBL

EME 4

SoitABC un triangle equilateral, etP un point arbitraire a l'interieur du triangle.

Des perpendiculaires PD, PE, PF sont tracees sur les trois c^otes du triangle.

Montrer que quelque soit P^,

PD+PE+PF

AB⁺BC⁺CA ^{= 1}2^p3:

PROBL

EME 5

Soit ABC un triangle dont les c^otes aient pour longueurs a, b et c. Soit D l'intersection de la bissectrice de l'angleCavec le c^oteAB. Montrer que la longueur deCD est precisement

2abcos^C2 a+b :

PROBL

EME 6

Trouver la somme de 11! + 22! + 33! ++ (n^,1)(n^,1)! +nn!, ou n! =n(n^,1)(n^,2)21.

PROBL

EME 7

Montrer qu'il n'existe pas de nombres entiersa,b,cpour lesquelsa²+b^2,8c= 6.

{1{

PROBL

EME 8

Soitf une fonction munie des proprietes suivantes:

1) f(n) est denie pour chaque nombre entier positifn; 2) f(n) est un nombre entier;

3) f(2) = 2;

4) f(mn) =f(m)f(n) pour chaquemetn; 5) f(m)> f(n) pour toutm > n.

Montrer que f⁽n^{) =}n^.

PROBL

EME 9

Montrer que pour tout quadrilatere inscrit dans un cercle de rayon 1, la longueur du plus petit c^ote est au plus^p2.

PROBL

EME 10

Soit ABC un triangle isocele droit dont les c^otes egaux ont pour longueur 1. P est un point sur l'hypotenuse, et les bases des perpendiculaires de P sur les autres c^otes sont Q et R. Consider- ons maintenant les aires des triangles APQ et PBR, et de m^eme que l'aire du rectangleQCRP. Montrer que quelque soitP, la plus grande de ces aires est au moins 2=9.

B R C

A

P Q