Olympiade mathematique du Canada 1987
PROBL
EME 1
Trouver toutes les solutions de l'equationa2+b2=n! pour les entiers positifsa,b etnveriantabetn<14.
PROBL
EME 2
Le nombre 1987 s'ecrit a trois chires,xyz, dans une certaine baseb. Six+y+z= 1 + 9 + 8 + 7, determiner toutes les valeurs possible dex,y,zetb.
PROBL
EME 3
SoitABCDun parallelogramme etE un point entreB etC sur la droiteBC. Si les trianglesDEC,BEDetBADsont isoceles quelles sont les valeurs possible de l'angle DAB?
PROBL
EME 4
Lesnparticipants a une joute de pistolets a eau prennent position sur la plateforme de facon que les (n,1) distances de chacun des joueurs aux autres soient dierentes.
Au signal, chaque tireur arrose le joueur le plus proche. Si nest impair, montrer qu'au moins un joueur n'est pas touche. Cela est-il toujours vrai sinest pair?
PROBL
EME 5
Pour tout entier positifn, montrer que
[pn+pn+ 1] = [p4n+ 1] = [p4n+ 2] = [p4n+ 3]
ou [x] est le plus grand entier au plus egal ax. (Par exemple, [2:3] = 2, [] = 3, [5] = 5).
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