Olympiade mathematique du Canada 1971
PROBL
EME 1
DEB est une corde d'un cercle tel que DE = 3 etEB = 5. SoitO le centre du cercle. Joignons maintenantOEet poursuivreOEde facon a couper le cercle au point C. (Voir le diagramme). Etant donne queEC= 1, trouver le rayon du cercle.
E C
O
D B
PROBL
EME 2
Soitxety deux nombres reels positifs tels quex+y = 1. Montrer que
1 + 1x
1 + 1y
9:
PROBL
EME 3
ABCDest un quadrilatere dontAD=BC. Si 6 ADC est plus grand que6 BCD, montrer alors queAC > BD.
PROBL
EME 4
Determiner tout nombre reelatel que les deux polyn^omesx2+ax+1 etx2+x+a aient au moins une racine en commun.
PROBL
EME 5
Soit p(x) =a0xn+a1xn,1++an,1x+an;
ou les coecients ai sont entiers. Si p(0) et p(1) sont tous deux impairs, montrer quep(x) n'a aucune racine entiere.
PROBL
EME 6
Montrer que, pour tout entiern, n2+ 2n+ 12 n'est pas un multiple de 121.
PROBL
EME 7
Soit n un nombre a cinq chires (dont le premier chire est non nul) et soit m le nombre a quatre chires forme a partir de n en retirant le chire du milieu.
Determiner toutntel quen=msoit entier.
PROBL
EME 8
Un pentagone regulier est inscrit dans un cercle de rayon r. P etant un point quelconque a l'interieur du pentagone, des perpendiculaires sont tracees de P aux c^otes du pentagone, ou peut-^etre sur les extensions de ces c^otes.
{1{
a) Montrer que la somme des longueurs de ces perpendiculaires est constante.
b) Exprimer cette constante en terme du rayonr.
PROBL
EME 9
Deux m^ats de drapeau de hauteur h et k sont situes 2a unites a part sur une surface plane. Trouver l'ensemble des points sur la surface qui sont tels que les angles d'elevation sur le sommet des m^ats soient egaux.
PROBL
EME 10
Supposons que nindividus aient la connaissance d'exactement un renseignement, et que lesnrenseignements soient dierents. Chaque fois que l'individu A contacte l'individu B, A devoile a B toute sa connaissance, mais par contre B ne revele rien a A. Quel est le nombre minimum de contacts requis entre les couples d'individus de telle sorte que chacun soit en possession de tous les renseignements? Montrer que votre reponse est en eet un minimum.
