Nom :
Groupe : TMATHS4
Devoir maison n°1 Nombres complexes
à préparer pour le : 09 / 10 / 20
Exercice 1 : n° 49 p 21 Exercice 2 : n° 51 p 21
Exercice 3 : n° 54 p 21
Nom :
Groupe : TMATHS4
Test du DM n°1 Nombres complexes
à préparer pour le : 09 / 10 / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Déterminer le conjugué d'un nombre complexe
Déterminer les nombres complexes z tels que Z soit réel lorsque Z est fonction de z.
Ecrire la forme algébrique d'un nombre complexe Raisonner
Utiliser la formule du binôme de Newton et le triangle de Pascal pour calculer
Exercice 1 : n° 49 p 21 Exercice 2 : n° 51 p 21
Exercice 3 : n° 54 p 21
Correction du DM n°1 Exercice 1 : n° 49 p 21
1. Si = alors = =
2. ∈ R ⇔ = ⇔ =
En utilisant le produit en croix on a : ∈ R ⇔
= = = =
Ainsi, est un réel si et seulement si est un imaginaire pur.
Exercice 2 : n° 51 p 21
1. Soit = avec ( ; ) ∈ R =
= = = =
2. Si ∈ R alors Re( ) = . Autrement dit, =
Dans ce cas : = =
Im( ) = donc est un réel.
3. Inversement, si est un réel alors Im ( ) =
On en déduit = ⇔ =
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On en déduit = ou = .
Si = alors est un imaginaire pur mais si = alors ce n'est pas forcément le cas. Ainsi, la réciproque de la propriété précédente est fausse.
4. On note e l'ensemble des nombres complexes tels que est un réel. On a démontré à la question précédente que ∈ e ⇔ = ou = . On en déduit :
e = { = avec ∈ R} ∪ { = avec ∈ R}
Exercice 3 : n° 54 p 21
A = = … = (Fait en classe)
Triangle de Pascal : 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
B = B = B = B = B = B = B = C = C = C = C = C =
z+i z¡i
Z¯ z+i z¡i
¯ z¡i
¯ z+i Z¯
Z Z
Z
¯ z¡i
¯ z+i z+i z¡i
Z (z+i)(¯z+i) = (z¡i)(¯z¡i) z¯z+iz+iz¯+i2 zz¯¡iz¡i¯z+i2 2i(z+ ¯z) 0
0 z+ ¯z
¯ z -z
Z z
z x+iy x y 2
Z z2¡2iz+ 2
Z (x+iy)2¡2i(x+iy) + 2
Z x2+ 2ixy+i2y2¡2ix¡2i2y+ 2 Z x2+ 2ixy¡y2¡2ix+ 2y+ 2 Z x2¡y2+ 2y+ 2 +i(2xy¡2x)
i
z z 0 x 0
Z -y2+ 2y+ 2 + 0i -y2+ 2y+ 2
Z 0 Z
Z Z 0
0
2xy¡2x 2x(y¡1) 0
x 0 y 1
x 0 z y 1
Z
x 0 y 1
z z
iy y
z z x+i x
-4¡4i (1 +i)5
(1 + 2i)4
1£14£(2i)0+ 4£13£(2i)1+ 6£12£(2i)2+ 4£11£(2i)3+ 1£10£(2i)4 1 + 4£(2i) + 6£4i2+ 4£8i3+ 16i4
1 + 8i¡24 + 32i£i2+ 16(i2)2 1 + 8i¡24¡32i+ 16(-1)2 -23¡24i+ 16
-7¡24i (2 +i)4
1£24£i0+ 4£23£i1+ 6£22£i2+ 4£21£i3+ 1£20£i4 16 + 4£8i+ 6£4£(-1) + 4£2£i2£i+ (i2)2
16 + 32i¡24¡8i+ 1 -7 + 24i
