Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
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Feuille d’exercices 6
Exercice 1
1. SoientI ⊂Run intervalle et f : I →Rune fonction de classeC2. On définit la fonction usurRn paru = f ◦roùr(~x) =|~x|=
q
x21+· · ·+x2n.
(a) Montrer que∆u= F◦ravec une fonctionF : I →Ret exprimer Fen fonction de f. Rappel :∆est le laplacien,
∆u= ∂
2u
∂x21 +∂
2u
∂x22 +· · ·+ ∂
2u
∂x2n.
(b) Soitn ≥ 2. Montrer que∆u =0 si et seulement sir 7→ rn−1f0(r)est une fonction constante. Trouver toutes les fonctions f vérifiant cette condition.
2. Calculer la divergence et le rotationnel pour les champs de vecteurs ~F(~x) = ~x
|~x| et G(~x) = ~x
|~x|2. Exercice 2
1. Soitu :R2 →Rune fonction de classeC1,u=u(x,y), qui vérifie, pour touta∈ R: u(a,a2) = 1, u0x(a,a2) = a.
Calculeru0y(1, 1).
2. Soitu =u(x,y)une fonction de classeC2surR2vérifiant les conditions u00xx =u00yy, u(a, 2a) = a, u0x(a, 2a) = a2 pour tousa∈ R. Calculeru00xx(1, 2)etu00xy(1, 2).
3. Montrer que l’équationx2+2yz+z3 =0 permet d’exprimerzen fonction dexetyau voisinage de(1,−1, 1),z =u(x,y). Ensuite donner le développement limité d’ordre 2 pour uau voisinage de(1,−1)
Exercice 3
Déterminer les points critiques des fonctions suivantes. Pour chaque point critique vérifier si il s’agit d’un extremum local ou d’un point-selle.
1. f(x,y) = xy+50 x + 20
y , 2. f(x,y) = 2x4+y4−x2−2y2, 3. f(x,y) = x4+y4−(x+y)2. 4. f(x,y) = xy2+x2−y2−x.
Exercice 4
1. Calculer la valeur numérique deF0(1)pour F(x) = Z x2
x e−xy2dy.
2. Calculer la valeur numérique deF0(π/4)pour F(α) =
Z cosα
sinα eα
√
1−x2dx.
3. Calculer la valeur numérique deF0(1)pour F(α) = Z α
0
ln(1+αx)
x dx.
4. CalculerF0(α)pourF(α) = Z α2
0
Z x+α
x−α sin(x2+y2−α2)dy dx.
5. Soit f une fonction de classeC1. CalculerFxy00 pour F(x,y) = Z xy
x/y(x−yz)f(z)dz.
Exercice 5
Calculerdωpour les formes différentiellesωsuivantes. Vérifier siωest fermée et/ou exacte.
Siωest exacte, trouver une fonction f telle queω =d f. 1. ω= (x−y2)dy+ (y+x2)dx,
2. ω= (x+y)dx+ (x−y)dy, 3. ω= (x2+y2)dx+xy dy,
4. ω= (x4+4xy3)dx+ (6x2y2−5y4)dy, 5. ω= yz dx+ (xy+z2)dy+ (x2−yz)dz,
6. ω= x
x2+y2+z2 dx+ y
x2+y2+z2 dy+ z
x2+y2+z2 dz.
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