Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)

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Feuille d’exercices 4

Exercice 1. Soitt∈ R. Calculer Rez_j(t)et Imz_j(t)pour :

z1(t) = (i−_t)(2−_3it), z2(t) = i(t+i)³, z3(t) = ^2t−3i

3t+2i, (1)

z₄(t) = e^2it(2−5i), z₅(t) =e^(2−i)t(i−1), z₆(t) = ie^it(1−it) + (t−i)e^−it. (2) Exercice 2.Trouver toutes les solutions réelles des systèmes et équations suivants :

(1)

(x⁰(t) =2x(t) +9y(t) +e^t,

y⁰(t) = x(t) +2y(t)_, ⁽²⁾

(x⁰(t) = 2x(t) +9y(t), y⁰(t) = x(t) +2y(t)−sint,

(3)







x⁰(t) = 2x(t) +9y(t) + ³ e^t+1, y⁰(t) = x(t) +2y(t)− ¹

e^t+1,

(4)

(x⁰(t) = x(t)−4y(t)−e^t, y⁰(t) = x(t) +y(t) +e^t,

(5)

(x⁰(t) = x(t)−4y(t) +e^tcost,

y⁰(t) = x(t) +y(t)_, ⁽⁶⁾

(x⁰(t) = y(t) +tan²t−1, y⁰(t) = −x(t) +tant.

(7)







x⁰(t) = x(t)−2y(t)−z(t) +e^t, y⁰(t) = −x(t) +y(t) +z(t), z⁰(t) = x(t)−z(t)−e^t,

(8)







x⁰(t) =x(t)−y(t)−z(t)_, y⁰(t) =x(t) +y(t) +sint, z⁰(t) =3x(t) +z(t). (9) x⁰⁰(t) +3x⁰(t) +2x(t) = ¹

e^t+1, (10) x⁰⁰(t)−x(t) = ¹ t − ²

t³. Exercice 3.Dessiner les courbes définies par les équations suivantes.

1. x²−y² =_9, 2. 4x²−y² =1, 3. x²+4y² =4, 4. x²−y² =x, 5. x²+y² =x+y,

6. 14x²+4xy+11y² =100, 7. x²+y²+2x+2y=4xy, 8. x²+y²+2x+4y=2xy, 9. 7x²+y² =4x+4y+8xy.

10. (x+y)² =2x.