Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
Examen de rattrapage du 11 juin 2014
Durée 2h - Documents et matériels électroniques interdits
Barème indicatif : 7 / 4 / 8,5 / 5.
Exercice 1
Résoudre le système différentiel suivant :
( x
0(t) = y(t) + 2 exp(t) y
0(t) = 2x(t) + y(t) + exp(t)
associé aux conditions initiales (x(0), y(0)) = (1, 1).
Exercice 2
Soit f : R
2→ R , (u, v) 7→ f (u, v) une fonction C
2. On définit alors F : R
2→ R par F (x, y) = xf (exp(y), xy). Calculer les dérivées partielles suivantes :
∂F
∂x , ∂F
∂y et ∂
2F
∂x∂y .
Exercice 3
Soit D le demi-disque du plan donné par :
D = {(x, y) ∈ R
2| x
2+ y
2≤ 4, y ≥ 0},
et γ son contour parcouru dans le sens direct (anti-horaire).
(a) Donner un paramétrage de chaque morceau de γ, et calculer à chaque fois l’élément de longueur dl associé.
(b) Calculer l’intégrale I
γ
x
2ydl.
(c) Calculer la circulation du champ de vecteurs F ~ (x, y) = (y, −x) le long de γ.
(d) Calculer l’intégrale curviligne I
γ
(y exp(x)dx + exp(x)dy).
(e) Calculer l’intégrale double Z Z
D
2x
2ydxdy.
Exercice 4
Soit S la surface définie comme étant la partie du cylindre x
2+ y
2= 9 située entre les plans z = 0 et z = y + 3 :
S = {(x, y, z) ∈ R
3| x
2+ y
2= 9, 0 ≤ z ≤ y + 3},
orientée par la normale extérieure.
(a) Trouver un paramétrage de S compatible avec cette orientation, et donner l’élément d’aire ds associé à ce paramétrage.
(b) Calculer l’aire de S.
(c) Calculer l’intégrale Z Z
S
