Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)

Université Paris-Sud • Centre d’Orsay • L2 Physique

Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)

Page web : http://math255.free.fr

Devoir 2

à rendre avant 12h du vendredi 29 novembre 2013

On peut rendre le devoir en envoyant un seul chier PDF à [email protected] avant 18h du même jour

Exercice 1

1. Soitu=u(x₁, x₂, x₃)une fonction de classeC⁴ telle que∆u= 0. Montrer que la fonction v(x₁, x₂, x₃) = (x²₁+x²₂+x²₃)u(x₁, x₂, x₃)

vérie ∆(∆v) = 0.

2. Soitf =f(s, t) une fonction de classe C¹. Montrer que la fonction u(x, y, z) = xy

z lnx+xf y

x,z x

vérie

x∂u

∂x +y∂u

∂y +z∂u

∂z =u+xy z .

Exercice 2

Montrer que l'équationx²+yz =e^z−1permet d'exprimerzen fonction de(x, y)au voisinage de l'origine,z =z(x, y), et donner le développement limité d'ordre2de cette fonction au voisinage dex=y= 0.

Exercice 3

On considère la fonction F :R² →R, F(x, y) =

Z x

0

Z t+y

0

cos(y+s²)ds

dt.

1. Calculer toutes les dérivées partielles premières et secondes deF. 2. Montrer que l'origine est un point critique deF.

3. S'agit-t-il d'un extremum local ou d'un point-selle ? Exercice 4

1. Calculer

I

~γ

x²dy−y²dx

où~γ est le bord du triangle ABC,A= (0,0), B = (2,1), C= (2,−1), sens horaire.

2. Pour la même courbe~γ, calculer

I

~γ

x d`.

3. Calculer la longueur de la courbe plane dont le paramétrage est

x= (1 + cost) cost, y= (1 + cost) sint, t∈[−π, π].

2