Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique
Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
Page web : http://math255.free.fr
Exercices supplémentaires
1. On considère la fonction f(x, y) = (x+y)3 −(x−y)4 −xy. Donner l'équation du plan tangent au graphe de f au point (1,0,0).
2. Soit~a= (a1, a2, a3)∈R3 un vecteur xé. On considère le champ de vecteursF~(~x) =~a∧~x. Calculer la divergence et le rotationnel de F~. Trouver tous les vecteurs~a pour lesquels F~ est un champ de gradient.
3. Calculer la dérivée de f selon le vecteur~v au point M : a. f(x, y) =x2 +xy,~v = (1,1), M = (1,1),
b. f(x, y) = (x+y)4−xy,~v = (1,−1),M = (1,0). 4. Réécrire l'expression
y2∂2u
∂x2 −2xy ∂2u
∂x∂y +x2∂2u
∂y2 − x∂u
∂x +y∂u
∂y
en utilisant la fonctionf(r, θ) =u(rcosθ, rsinθ) : 5. Soitu=u(x, y, z) la fonction dénie par l'équation
u3−3(x−y)u2−z3 = 0
au voisinage du point x=y =z = 1. Donner le développement limité d'ordre 1 deu au voisinage de ce point.
6. Soitγ le morceau de la paraboley=x2 entre les points(−1,1)et(2,4)parcouru dans le sens des xcroissants.
a. Calculer R
γxd` où d` est l'élément de longueur.
b. Calculer la circulation du champ de vecteurs F~(x, y) = (x−y, x) le long de γ. 7. CalculerRR
Ωf(x, y)dx dy :
a. Ω est l'intérieur du triangle avec les sommets A(1,1), B(2,0), C(4,1), f(x, y) =y. b. Ω est le domaine déterminé par les inégalités1≤x2 +y2 ≤4,−x ≤y≤x, f(x, y) =
x2 −y2. 8. CalculerRR
Sf(x, y, z)ds et le ux de F~ à travers S.
a. S est la portion du plan x+y+z = 1 comprise à l'intérieur du cylindre x2+y2 ≤1 et orientée par la normale pointant vers le haut, f(x, y, z) = z,F~(x, y, z) = (y, z, x).
b. Ω est la portion du cylindre x2+y2 = 1 comprise entre les plansz = x et z = 1 +x orientée par la normale sortante, f(x, y, z) = x2, F~(x, y, z) = (xz, yz,0).
9. CalculerRRR
Ωf(x, y, z)dxdydz.
a. Ω est le domaine déni par les inégalités x2 ≤y≤1et 0≤z≤y,f(x, y, z) =x2. b. Ω est le domaine déni par z2 ≤x2+y2 ≤1 ety≥0, et f(x, y, z) = y.
10. Calculer le centre de masse de Ω(en supposant que la densité=1).
a. Ω est la portion du disquex2+y2 ≤1 avecx≥0 ety ≥0. b. Ω est le domaine de l'espace déni par p
x2+y2 ≤z ≤1.
Réponses :
1. x−6y+z = 1. 2. divF~ = 0, rot~ F~ = 2~a,~a = 0. 3. a. 4, b. 1. 4. ∂∂θ2f2. 5. u(1 +x,1 +y,1 +z) = x−y+z+o(p
x2+y2+z2). 6. a.(17√
17−5√
5)/12.b.9/27. a. 1. b. 15/4. 8. a.π√
3etπ. b.π et π. 9. a. 4/21. b. 1. 10. a.(3π4 ,3π4 ). b.(0,0,34).
Quelques références qui peuvent être utiles :
Fredon Ezquerra Bridier, Mathématiques pour les sciences physiques 2 Code BU : 530.15 FRE mat.
Soum Jagut Dubouix, Techniques mathématiques pour la physique, I (Chap. 5) et II (Chap. 13). Code BU : 530.15 SOU tec.
2
