Liste 38

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 38

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice 1:

Dans le plan orienté P, on donne un carré ABCD de centre O tel que ]

2 2[ ) AD , AB

(  

 

. On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD].

1/ a) montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et D en A.

b) déterminer les éléments caractéristiques de f.

c) montrer que l'antidéplacement g transformant A en B et D en A est une symétrie glissante que l'on caractérisera.

2/ soit S la similitude directe qui envoie A en D et B en J.

a) déterminer l'angle et le rapport de S.

b) construire le centre  de S.

c) déterminer S((AC)) et S((BC)).

En déduire que le triangle OC est rectangle.

d) déterminer l'image du carré ABCD par S.

e) montrer que les points A,  et K sont alignés.

Exercice 2:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=(1+i)z+1-i.

Soit I le point d'affixe 1+i et r la rotation de centre I et d'angle 4

 .

1/ a) déterminer la nature de f et sa forme réduite.

b) soit J le point d'affixe 1, g la similitude directe de rapport 2, d'angle 4 3

et de centre J. écrire la forme complexe de g.

a) Montrer que f o g est une homothétie que l'on caractérisera.

2/ soit s l'application de P dans P qui a tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe z'=iz.

a) montrer que s est une isométrie.

b) Montrer que s est la symétrie orthogonale d'axe ∆: y=x.

3/ soit  =s o f.

a) montrer que r= s o s' ou s' est une symétrie orthogonale d'axe ∆' que l'on précisera.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .

Exercice 3:

dans le plan orienté on considère un triangle équilatéral ACB direct . on note  la perpendiculaire à (AB) passant par C et I le point de  tel que [2 ]

)

4

AI , AC

(

^^ ^



. On note S la similitude directe de centre A telle que S(C ) =I et S’ la similitude directe de centre B telle que S’(I)=C.

1/a/ placer les points A, B, C et I sur la figure.

b/ prouver que r=SoS’ est une rotation d’angle 2

 . c/ déterminer le centre de cette rotation.

(2)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 38

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

2

2/ a tout point M du plan distincts des points A, B et C , on associe le point P tel que S’(P)=M.

a/ déterminer une mesure de chacun des angles (AM,AN) et (BP,BM) b/ on note g la similitude directe de centre A telle que g( C)=M

comparer goS et Sog. En déduire g(I) puis déterminer une mesure de l’angle )

MN , MA

( placer M et N sur la figure.

3/ prouver que IP=IN et que [2 ]

)

2

IN , IP

(

^



^ ^

Exercice 4:

on considère un carré ABCD de centre O tel que [2 ] ) 2

AD , AB

( ^ _  ; on désigne par I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].

1/ on note s la similitude directe telle que s(D)=O et s( C)=I a/ déterminer l’angle et le rapport de s.

b/ trouver une construction géométrique du centre  de s.

2/ a/ préciser les images respectives de (BD) et (BC) par s.

b/ déterminer alors s(B) et s(A).

c/ montrer que  est le barycentre des points pondérés (B,1) et (J,4).

3/ soit r la rotation de centre O d’angle 2

 , on pose h=r o s.

a/ préciser h(B) puis caractériser h.

b/ soit ’ le milieu de [B], justifier que O’ est rectangle isocèle 4/ soit  la similitude indirecte telle que (D)=O et (C )=I.

a/ vérifier que =S(OI) o s ; puis déterminer (B) b/ donner la forme réduite de .

Exercice 5:

ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle  de centre O. soit I le point diamétralement opposé à C sur .

1/ montrer que le triangle OAI est équilatéral direct.

2/ soit f la similitude directe telle que f(I)=O et f(C)=B.

a) déterminer le rapport et l'angle de f.

b) montrer que le centre  de f est un point commun des cercles circonscrits aux triangles OAI et OBC.

Construire.

c) montrer que f((AI))=(OA) et f((AC))=(BC).

d) en déduire que l'image A' de A par f est le milieu de [BC].

3/ soit R la rotation de centre O et telle que R(A)=C et h l'homothétie de centre B et de rapport

2 1 .

Montrer que f = hoR.

4/ soit g la similitude indirecte telle que g(I)=O et g(C)=B. on note J son centre.

a) déterminer le rapport de g.

b) montrer que g(B)=A' et que JC4JA'.

c) montrer que l'axe ∆ de g est la perpendiculaire à (BC) en J.