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Exercice 1 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, u , v

). On prendra 5 cm pour unité graphique.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = ^{1 1}

2 2i

  

 

 z + 1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A₀ le point O et, pour tout entier naturel n, on pose A_n+1 = f(A_n).

Déterminer les affixes des points A₁ A₂, A₃ puis placer les points A₀, A₁, A₂ et A₃.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn. Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = 2

n



 



 2 1 .

c. À partir de quel rang n₀ tous les points A_n appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1 3. a. Quelle est la nature du triangle ΩA0A1 ?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle ΩAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An-1An

On a ainsi : l_n = A₀A₁ + A₁A₂ +…+ A_n-1A_n.

Exprimer ln, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ln) ? Exercice 2 :

1. Soit f la fonction définie sur ³, 2

 

 

 par ( ) ² x

f x x

  .Montrer que pour tout réel non nul x on a : '( ) ⁸

f x 9

2. Soit la suite réelle U définie par :

0

1

3 2

2 ⁿ

n

n

U

U U n

 U

 

 

  



a. Montrer par récurrence que pour tout n de ^* on a ³ 3 2Uⁿ 

b. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis , que pour tout n de ^*

on a ₁ 2 ⁸ 2

n 9 n

U _   U 

c. Montrer que pour tout n de on a ^{2 8} 9

n

Un  

     d. Déduire lim _n

n U

 . L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 1 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

Exercice 3 :

Dans la figure ci-dessous :

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé





 (OA) est la tangente à (C) au point d’abscisse 1.

 (D) :x=y est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.

 la droite d’équation x=e est une asymptote verticale pour (C).

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer

x x x 1

x e

f (x) 2 lim f (x); lim f (x); lim f (x) x ; lim

    x 1



 

 ^. b) Etudier le signe de f(x)-2x.

2) soit ¹₁

2

I (x ln x ) dx^.

a) en utilisant une intégration par parties, montrer que J=^{ln 2 3} 8 16. b) en déduire la valeur de J= ¹₁

2

(x 1 x ln x) dx 

 ^.

3) on admet que f est la fonction définie sur [0,+∞[ par

f (x) x 1 si x 0 1 ln x

f (0) 0

   

 

 

 montrer que f est continue à droite en 0

4) a) montrer que pour tout x ^1,1 2

 

    ; 2x≤ f(x) ≤ x+1-xlnx.

c) soit A l’aire de la partie limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites ^{x 1}

2 et x=1.

montrer que ³ A ^{17 ln 2} 4 16 8 .

Exercice N°4 :

On s’intéresse à la durée de vie , exprimée en semaine , d’un composant électronique . On modélise cette situation par une loi de probabilité exponentielle p de paramètre > 0 définie sur





La probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est

   

0

0,

t

p t 



Une étude ; montrant qu’environs 50% d’un lot de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines ce qui permet donc de poser ^p

 

 

1. Montrer que ^ln(2)

 200

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaine ? on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au cm prés

3. On admet que la durée de vie moyenne dm est la limite quand A tend vers ^de

0 A

xe ^xdx

 ^



a. Montrer que

0

A A A 1

x Ae e

xe dx

 

 

 

 

   



b. En déduire dm .On donnera la valeur exacte et la valeur approchée décimale à une semaine prés.

Exercice N°5 :

On considère les équations différentielles E0 et E1 suivantes :

 

 

0 1

: '' 4 0 : '' 4 3cos( )

E y y

E y y x

 

 

1. Quelles sont sur les solutions g de l’équation E0 . 2. Vérifier que la fonction cosinus est solution sur de E1.

3. Montrer que toute fonction f définie sur par : f( x ) = g( x ) + cos( x ) est une solution de E1 .où g est une solution de E0.

4. Déterminer la solution f de E1 dont la courbe passe par le point ^{, 0} A_2 _

 

 et dont la tangente en A est parallèle à la droite d’équation y = x.

Exercice 1 :

Le plan P est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère l'application

 

: \

( ) '( ') : ' 2

f P O P

M z M z tel que z i z



 

1)a) soit A(1-i). calculer l'affixe du point A' image de A par f.

b)soit B'(2+i). calculer l'affixe du point B antécédent de B' par f.

2) on pose z= e ^{i } ; IR. Donner la forme exponentielle de z'.

3) a) montrer que OM'= ² OM .

b) en déduire que si M appartient au cercle  de centre O et de rayon 1 alors M' appartient à un cercle  ' que l'on précisera.

c) montrer que ( , ') ( , ) 2 ; .

i OM   2 i OM  k k  .

d) en déduire une construction du point M' à partir d'un point M de .

Exercice 2:

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des événements extérieurs comme des chutes de pierre, des troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son dépôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’au premier blocage. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre ¹

82. On arrondira les résultats au millième.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans blocage soit : a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

2. Sachant que l’autocar a parcouru 350 km sans blocage, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. a. A l’aide d’une intégration par parties calculer ⁸²

0

( ) 1

82

A x

I A 



b. Calculer la limite M de I(A) lorsque A tend vers +∞. On admettra que M est la distance moyenne parcourue par un autocar avant le premier blocage.

4. L’entreprise possède N₀ autocars. Les distances parcourues par chacun entre le dépôt et le lieu où survient un blocage sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 2 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

même loi exponentielle de paramètre ¹

82 . d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale au nombre d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que X_d suit une loi binômiale de paramètres N₀ et e^d.

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthogonal

(O i j; , ). Partie A

La courbe (C), donnée ci-contre, est la courbe représentative d’une fonction f dérivable sur [0 ; [, de fonction dérivée

f continue sur

[0 ; [.

La courbe (C) passe par les points O et

1, 1 A 2

e

 

 

  ; et, sur [0 ; 1], est au dessus du segment [OA].

1. Montrer que ¹  

0

' 1 f x dx 2

 e



2. Montrer que ¹  

0

1 f x dx 4

 e



Partie B

On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur [0 ; [ par :

  ₂

1 xe x

f x x

 

 .

1. Déterminer la limite de f en . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. On considère la fonction g définie sur [0 ; [ par : ^{g x} ^{x3x2 x 1}.

Établir que l’équation ^{g x} ^0 admet une solution unique  dans l’intervalle [0 ; [.

3. a. Montrer que pour tout x de [0 ; [, ^f ^{x etg x}  sont de signes contraires.

b. En déduire les variations de f sur [0 ; [.

4. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : n ²ⁿ  

n

u 



a. Montrer que pour tout x de [0 ; [,

2

0 1

1 2 x x

 

 .

b. Montrer que pour tout entier naturel n, ^{0un 1}₂





A

(C)

0 0,1 0,2 0,3 0,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y

x

c. En déduire la limite de un quand n tend vers . Exercice 4:

ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle  de centre O. soit I le point diamétralement opposé à C sur .

1/ montrer que le triangle OAI est équilatéral direct.

2/ soit f la similitude directe telle que f(I)=O et f(C)=B.

a) déterminer le rapport et l'angle de f.

b) montrer que le centre  de f est un point commun des cercles circonscrits aux triangles OAI et OBC.

Construire.

c) montrer que f((AI))=(OA) et f((AC))=(BC).

d) en déduire que l'image A' de A par f est le milieu de [BC].

3/ soit R la rotation de centre O et telle que R(A)=C et h l'homothétie de centre B et de rapport

2 1 .

Montrer que f = hoR.

4/ soit g la similitude indirecte telle que g(I)=O et g(C)=B. on note J son centre.

a) déterminer le rapport de g.

b) montrer que g(B)=A' et que JC 4JA'.

c) montrer que l'axe ∆ de g est la perpendiculaire à (BC) en J.

Exercice 5 :

Le tableau ci-dessous présente l’évolution du nombre d’internautes en Chine de 2002 à 2009.

Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 2000.

Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Rang de l’année xi 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre d’internautes yi (en

millions) 60 70 95 100 140 160 250 385

On cherche à étudier l’évolution du nombre d’internautes en fonction du rang x de l’année.

1) Représenter sur votre copie le nuage de points Mi





− Sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 1 an,

− Sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour 20 millions d’internautes (en plaçant 50 à l’origine).

2) On cherche dans un premier temps un ajustement affine.

a. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode de Mayer (les coefficients arrondis à l’unité). Tracer cette droite sur le graphique précédent.

b. En supposant que cet ajustement reste valable pour l’année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d’internautes en Chine en 2010.

3) On envisage un ajustement exponentiel et on pose z = ln y.

a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z_i au millième :

xi 2 3 4 5 6 7 8 9

i ln i

z  y 4,094

b. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n’est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième).

c. En déduire une expression de y en fonction de x.

Exercice 1:

le plan P est rapporté à un repère orthonormé; E l'ensemble des points M d'affixes z tels que

|z-i|+|z+1|=2.

1/ montrer que E est un ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe.

2/ déterminer les coordonnées des sommets de l'ellipse E.

Exercice 2:

L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n  0 par :

 

 ₀¹

0 2 dx

x 1

u 1 et, pour n  1, dx

x 1 u ₀¹ x

2 n

n 

  .

1/ a) Soit f la fonction numérique définie sur [ 0 ; 1 ] par : ).

x 1 x ln(

) x (

f    ² Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 . b) Calculer u1.

2/ a) Prouver que la suite (u_n) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 1  1x²  2.

En déduire que, pour tout entier n  1, on a :

(1) n 1

u 1 2 ) 1 n (

1

n  

  .

Déterminer la limite de (un).

3/ Pour tout entier n  3, on pose : I_n ₀¹x^n2 1x²dx. a) Vérifier que, pour tout entier n  3, on a : un + un2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier n  3, on a : nu_n + (n  1) un 2 = 2.

b) En déduire que, pour tout entier n  3, on a : (2) (2n  1)u_n  2.

c) À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3:

soit ABC un triangle isocèle directe de sommet principal A; on construit à l'extérieur de ce triangle les carrés ACDE et ABFG de centres respectifs O et O'. R la rotation de centre A et d’angle

2



1/ a)déterminer R([CE])

démontrer que CG=BE; en déduire qu'il existe un unique déplacement f qui envoie C en B et G en E.

b) vérifier que f est une rotation et construisez son centre w.

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 3 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

2/ soit g= S(Aw) o f; déterminer la nature de g et donner sa forme réduite.

3/ a) vérifier que AD=AF; en déduire qu'il existe un unique antidéplacement h qui envoie A en F et D en A.

b) démontrer que h n'a pas de points fixes.

c) donner la forme réduite de h.

4/ soit S la similitude directe qui envoie C en D et G en F.

a) déterminer l'angle de S.

b) déterminer S((AC)) et S((AG)).

c) En déduire la forme réduite de S.

5/ soit  la similitude indirecte de centre C qui envoie A en O et  =S o .

Déterminer la nature et les élément caractéristiques de .

Exercice 4

1/ soit f la fonction définie sur IR par f(x)=

e 1 e 1

x 2

x 2



 .

On désigne par  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) montrer que f est impaire.

b) étudier les variations de f.

c) écrire une équations de la tangente ∆ à  au point d'abscisse 0.

d) montrer que pour tout réel t : 0< f '(t) ≤1.

déduire que pour tout réel positif x on a f(x) ≤ x; et que pour tout réel x négatif on a : f(x)

≥ x.

e) construire  et ∆.

f) calculer I=^Log²

0

dx ) x (

f .

2/ a) montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle que l'on précisera.

b) vérifier que pour tout réel x, on a f '(x)=1-(f(x))².

c) montrer que f ^-1 est dérivable sur ]-1,1[ et que (f ^-1)'(x)=

)² x 1 (

1

 . d) montrer que pour tout x]-1,1[ (f ^-1)(x)= )

x 1

x (1 2Log 1



 .

e) calculer alors J=_



2 1

0

² dx x 1

1 .

f) à l'aide d'une intégration par parties, calculer ^{2 }

1

0

1(x)dx

f .

Exercice 5:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=(1+i)z+1-i.

Soit I le point d'affixe 1+i et r la rotation de centre I et d'angle 4

 . 1/ a) déterminer la nature de f et sa forme réduite.

b) soit J le point d'affixe 1, g la similitude directe de rapport 2 , d'angle 4 3

et de centre J. écrire la forme complexe de g.

a) Montrer que f o g est une homothétie que l'on caractérisera.

2/ soit s l'application de P dans P qui a tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe z'=iz .

a) montrer que s est une isométrie.

b) Montrer que s est la symétrie orthogonale d'axe ∆: y=x.

3/ soit  =s o f.

a) montrer que r= s o s' ou s' est une symétrie orthogonale d'axe ∆' que l'on précisera.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .

Exercice 1 :

Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z tels que

2 2 2 2

(1 ) (1 )

z  i z  i

a. Déterminer et construire E.

b. Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que [z (1 i)][z (1 i)]8 c. Vérifier qu’il existe un point de EF où les deux courbes ont même tangente.

Exercice 2 :

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, AC 1 5 et





1. a. démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

2. On appelle  le centre de S. Montrer que  appartient au cercle de diamètre [AB]

et à la droite (BC). Construire le point .

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

a. Démontrer l’alignement des points A,  et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

b. Montrer que CD 3 5.

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ? Exercice 3 :

Pour tout k entier on note f_k l’application de [0 ; 1] dans définie par f x_k( )x^k 1x. On appelle C_k sa courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f_k.

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de f_k. 3. Etudier les positions respectives de C_k et C_k1. Tracer les courbes C₀,C C₁, ₂. 4. On pose ¹

0 k k( )

I 



0

( ) f x dx



a. Quel est le sens de variation de I_k ? Montrer que I_k converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a ² ₁

2 3

k k

I k I

k ^

  . En

déduire une expression de I_k.

c. Montrer que pour tout k entier, on a ¹

0

( ) 1

k

f x dx a

 k



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Epreuve 4 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

Exercice 4 :

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1.

a. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

b. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière del’équation(E’) : 91x +10y = 412.

c. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E’’) A3 x + A2 y = 3296.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E’’).

b. Montrer que (E’’) admet pour solution un couple unique d’entiers naturels. Le déterminer.

Exercice 5 : Partie A :

On considère l’équation différentielle : (E)





' 3 3

1 ^x

y y e

e^

  

 .

On donne une fonction  dérivable sur et la fonction f définie sur par

( ) 3^x ( ) f x e^  x .

1. Montrer que f est dérivable sur et pour tout réel x, exprimer '( ) 3 ( )x   x en fonction de f ’(x).

2. Déterminer f de sorte que  soit solution de (E) sur et vérifie (0) 2

  e. Partie B :

Soit la fonction f définie sur par : ^{1 3}

( ) 3

1

x x

f x e e



 

 . On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en  et en , puis étudier les variations de f . 2. Tracer C.

3. Pour  réel non nul, on pose

0

( ) ( )

I f x dx

 



a. Donner le signe et une interprétation graphique de I( ) en fonction de . b. Exprimer I( ) en fonction de .

c. Déterminer la limite de I( ) lorsque  tend vers . Partie C :

On définit sur * la suite (un) par : ¹

0

( )

x n n

u 



1. a. Donner, pour tout n de *, le signe de un. b. Donner le sens de variation de la suite (un).

c. La suite (un) est-elle convergente ?

2. a. Montrer que pour tout n de *,

1

1 n 1

I un e I où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour  égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.

Exercice 1:

répondre par vraie ou faux en justufiant la réponse.

Soit la fonction f x( )   x 3e^x et C sa courbe représentative.

a. Pour t out x0, on a : ( )f x   x 3.

b. La droite d’équationy0 est asymptote à la courbe C.

c. La dérivée de f est f x'( ) (2 x e)^x. d. La fonction f admet un unique extremum.

e. Pour tout réel me², l’équation f x( )m admet soit 0 soit 2 solutions.

f. La fonction g x( )  ( x 3)e^x n’est pas dérivable en 0.

g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle y' y 7e^x ? h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est …

Exercice 2 :

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O u v; , ), on considère les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z' 2i z6 où z désigne le conjugué de z.

Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport ¹

2. On pose gf h. a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture complexe de g est z'' i z 2 2i où z’’ est l’affixe de M’’.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe (O v; ) un unique point invariant par g ; on le note L.

Reconnaître alors la transformation g.

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.

3. Déterminer les droites  telles que f () et  soient parallèles.

Exercice 3:

Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.

1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l’événement « l’ampoule est défectueuse »,

F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur », L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 5 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

F2 l’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et F3 l’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».

a. Calculer la probabilité de l’événement D, notée P(D).

b. Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD(F1) qu’elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10⁻³ près de PD(F1).

2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse. On donnera une valeur approchée à 10⁻³ près de R.

3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre  = 1/50 000 = 2.10⁻⁵.

Selon cette loi, pour tout x de [0 ; +∞[,

0

( )

x t

P Tx 



a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P1.

b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures ? Donner la valeur exacte de P2.

c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.

Exercice 4:

Il s’agit de résoudre dans le système    

 

13 19 6 12 S n

n

 

 

 .

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N13 12 v 6 19u est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à  

 

0 0

19 12 n n n n

 

 

 .

b. Démontrer que le système  

 

0 0

19 12 n n n n

 

 

 équivaut à nn₀12 19 .

3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228 = 1219. Quel est le reste r de cette division ?

Exercice 5 :

Dans la figure ci-dessous :

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé





1) par une lecture graphique : a) déterminer f(1), f’(1).

b) étudier le signe de f(x)-x, pour x≥0.

2) on admet que la fonction f est définie par f (x) x x² ln x x 0 f (0) 0

  

 

 ^.

f (x) f (0) x x² ln x

lim lim lim 1 x ln x 1

x x

x 0 x 0 x 0

     

  

   montrer que f est dérivable en 0 ; et

vérifier que D est la tangente à (C) au point d’abscisse 0.

3) ∝ un réel appartenant à ]0,1[ ; on désigne par A(∝) la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par (C) ; la droite (D) et les droites d’équation x=∝ et x=1.

a) calculer en utilisant une intégration par partie A(∝).

b) calculer 0

lim A( )

 

 .

4) soit U la suite définie par ⁰

n 1 n

U 1 2

U _ f (U ) ; n IN

 



  



. a) montrer que , pour tout n∈IN ; 0<Un<1 .

b) montrer que la suite U est décroissante.

c) en déduire que U est convergente et calculer sa limite

Exercice 1 :

1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes (1) 2688x + 3024y = −3360 ;

(2) 8x + 9y = −10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2).

c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit un repère orthonormal (O i j k; , , ) de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives x + 2y − z = −2 et 3x − y + 5z = 0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercice 2 :

ABCD est un carré tel que





On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par  le centre de cette similitude. ₁ est le cercle de diamètre [AI], ₂ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que ^ est l’un des points d’intersection de ₁ et ₂. Placer  sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose hs s (composée de s avec elle même).

a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A, ^ et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (A u v; , ), choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est ¹ 1 z 2iz i. 2. Calculer l’affixe du point ^.

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.

Exercice 3:

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O ;u

,v

), l'unité graphique est 1 cm. On considère la courbe (C) d'équation : 7x² + 13y²  6 3xy  30 = 0.

Le but de l'exercice est de déterminer la nature et les éléments remarquables de la courbe (C) puis de la tracer.

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 6 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

1. On considère la transformation f du plan qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' = ( 3 i) z.

Déterminer la nature de f et préciser ses éléments géométriques.

2. Exprimer les coordonnées (x ; y) de M en fonction des coordonnées (x' ; y') de M'.

3. a) Montrer que l'image (C') de la courbe (C) par la transformation f est, dans le repère (O

;u

,v

), la courbe d'équation : x² + 4y² = 36.

b) En déduire que (C') est une conique dont on déterminera la nature et les éléments remarquables. Tracer (C').

4. Déduire des questions précédentes la nature de la courbe (C) et la tracer.

Exercice 4 :

soit nIN*, la fonction fn définie sur ]-1,+∞[ par: f_n(x)=

) x 1 (

e

n x

 . soit n la courbe

représentative de fn dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( unité graphique 2cm).

A/

1/ a) étudier les variations de f₁ et f₂.

b) étudier la position relative de 1 et 2 et les construire.

2/ soit Un la valeur minimale de fn sur ]-1,+∞[.

a) montrer que Un=fn(n-1).

b) pour x ≥ 0 comparer f_n+1(x) et fn(x).

c) en déduire que la suite U est décroissante et qu'elle est convergente.

d) calculer la limite de la suite U en +∞.

B/

soit x] , [ e

1  on pose F(x)=^Logx

0

2(t)dt

f .

1/ justifier l'existence de F(x) pour tout x] , [ e

1  . 2/ montrer que pour tout x]e ^-1,1[; F(x) ≤ x(1-

Logx 1

1

 ).

en déduire lim F(x) e)

(1

x





.

3/ a) à l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout x>e ^-1:

F(x)=   _



Logx 0

3(t)dt 2 f

)² 1 Logx 1

(

x .

b) en déduire que pour tout x ≥ 1 ; F(x) ≥ 1 )² Logx 1

(

x 

 calculer la limite de F en +∞.

4/ montrer que F réalise un bijection de ] , [ e

1  sur IR.

Exercice 5

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires, exprimé en milliers d’euros, réalisé par une chaîne commerciale :

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l’année xi 0 1 2 3 4 5

Chiffre d’affaires en milliers d’euros y_i

55 58 64 85 105 112

PARTIE 1

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i ; y_i ) dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités : 2 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 10 milliers d’euros en ordonnée.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G(x ; y) et le placer sur la figure précédente.

On décide d’effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions.

PARTIE 2

1. a. Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite de régression D de y en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à 10⁻¹ près.

b. Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1.

2. En supposant que l’évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d’affaires réalisé en 2011 (on précisera la méthode utilisée).

PARTIE 3

On décide d’ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe Cf représentant, dans le repère déjà défini, une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f x( )ab^x, où a et b sont deux nombres réels strictement positifs.

1. On impose à la courbe représentative de la fonction f de passer par les points A(0 ; 55) et B(5 ; 112).

Calculer les valeurs exactes de a et b telles que la fonction f vérifie cette condition, puis donner la valeur approchée arrondie à 10⁻² près de b.

2. Pour la suite, on considérera que f x( )55 1,15 ^x pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[.

Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, réalisé en 2011 (on arrondira le résultat au centième).

Exercice 1:

On considère l'équation (E) : 36x - 25 y = 5 , ( x , y ) Z².

1) Déterminez deux entiers relatifs u et v tels que 36u + 25v = 1.

2) Donnez alors une solution particulière de (E).

3) Quel est l'ensemble des solutions de (E) ?

4) ( x , y) étant une solution particulière de (E), on appelle d le PGCD de x et y.

a) Quelles sont les valeurs possibles de d?

b) Quelles sont les solutions (x , y) de (E) telles que x et y soient premiers entre eux?

Exercice 2:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par M, N, P trois points distincts de ce plan d'affixes respectives m, n, p.

1. Démontrer que le triangle MNP est rectangle en N si et seulement si le complexe i^{p n} m n



 est un réel non nul.

2. Dans cette question, M, N, P sont d'affixes respectives z, z², z⁴.

a. Quelles conditions doit vérifier z pour que M, N, P soient distincts deux à deux ?

b. Démontrer que l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy du plan tels que le triangle MNP soit rectangle en N est une conique (H) d'équation

2

1 2 1

2 4

x y

    

 

  , privée de deux points que l'on précisera.

3. Préciser la nature de (H) et déterminer ses éléments géométriques (sommets, foyers, excentricité, asymptotes).

4. Représenter (H) et mettre en place sur la figure les sommets, les foyers et les asymptotes de (H).

Exercice 3 :

Dans le plan orienté P, on donne un carré ABCD de centre O tel que [2 ] ) 2

AD , AB

(  

 

. On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD].

1/ a) montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et D en A.

b) déterminer les éléments caractéristiques de f.

c) montrer que l'antidéplacement g transformant A en B et D en A est une symétrie glissante que l'on caractérisera.

2/ soit S la similitude directe qui envoie A en D et B en J.

a) déterminer l'angle et le rapport de S.

b) construire le centre  de S.

c) déterminer S((AC)) et S((BC)).

En déduire que le triangle OC est rectangle.

d) déterminer l'image du carré ABCD par S.

e) montrer que les points A,  et K sont alignés.

Exercice 4:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O i j; , ). L’unité graphique est 3 cm..

A .

On considère la fonction f définie sur [0 ; [ par f x( )ln(e^xe^x) et on désigne par (C) sa courbe représentative dans le repère (O i j; , ).

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 7 ^{M : Zribi}

4^ème Maths Révision

1. a. Déterminer la limite de f en .

b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; [, on a f x( ) x ln(1e^2x). En déduire que la courbe (C) admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.

c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et l’asymptote D,

B.

Pour tout x de l’intervalle [0 ; [ on pose ²

0

( ) ln(1 )

x t

F x 



1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; [ . 3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :

Pour tout t de [0 ; a], ^{1 1} 1 1 a1 t

  . En déduire que ln(1 ) 1

a a a

a  

 .

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que

2

2

0 2 0

( ) 1

x t x

t t

e dt F x e dt

e

 

  





2 2

1 1 1 1

ln 2 ln(1 ) ( )

2 2 2 2

x x

e^ F x e^

     .

5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers , existe et est un nombre réel noté L. Etablir que ¹ln 2 ¹

2  L 2.

6. Pour tout entier naturel n, on pose ¹ln(1 ² )

n t

n n

u e dt

 





a. On considère la fonction h définie sur [0 ; [ par h t( )ln(1e^2t). Étudier le sens de variation de h.

b. Démontrer que pour tout naturel n : 0u_n ln(1e^2n). c. Déterminer la limite de (un) lorsque n tend vers . 7. Pour tout entier naturel n on pose

1

0 n

n i

i

S u







