activité 1
soientF1 etf les fonctions respectivement définies sur Rpar :
F1(x) = 5x3+ 10x2−5x f(x) = 15x2+ 20x−5 1. montrer queF1′(x) =f(x) (on dit sous cette condition que F1 est une primitive def) 2. montrer queF2 définie sur R parF2(x) = 5x3+ 10x2−5x+ 1est aussi une primitive def 3. que dire de F définie parF(x) = 5x3+ 10x2−5x+k oùk∈R est un réel quelconque ? 4. combien la fonction f admet-elle de primitives ?
5. soit Gune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairement G.
pour cela, on considère la fonction H définie par H(x) =G(x)−F1(x) (a) montrer queH′(x) = 0
(b) en déduire que H(x) =k= constante pour tout x∈R (c) en déduire que G(x) =F1(x) +k pour toutx∈R (d) quelle est nécessairement la forme d’une primitive de f?
(e) en déduire la seule et unique primitive F de f telle que F(0) = 10 activité 2
soit la fonctionf tellef(x) = 1 +x+ex− 1
x2 définie sur R∗ 1. montrer queF1 telle que F1(x) =x+ x2
2 +ex+ 1
x est une primitive def 2. trouver une autre primitive F2 de f
3. trouver la primitive F de f qui vaut 0 pourx= 1 activité 3
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées 1. f(x) = 0 a par exemple pour primitive : ...
2. f(x) = 10 a par exemple pour primitive : ...
3. f(x) =x a par exemple pour primitive : ...
4. f(x) =x2 a par exemple pour primitive : ...
5. f(x) =x3 a par exemple pour primitive : ...
6. f(x) = 1
x a par exemple pour primitive : ...
7. f(x) = 1
x2 a par exemple pour primitive : ...
8. f(x) = 1
x3 a par exemple pour primitive : ...
9. f(x) =ex a par exemple pour primitive : ...
activité 4
démontrer chaque proposition
1. siF etGsont des primitives respectives def etgalors H=F+Gest une primitive deh=f+g 2. siF est une primitive de f etk∈R est un réel alorsH =kF est une primitive deh =kf
1- Rappels et questions-tests page 149 2- primitives d’une fonction
Calcul Intégral Activités préparatoires
soient F1 etf les fonctions respectivement définies surR par :
F1(x) = 5x3+ 10x2−5x f(x) = 15x2+ 20x−5 1. F1′(x) = 15x2+ 20x−5 etf(x) = 15x2+ 20x−5
F1′(x) =f(x)
F1 est donc une primitive def
2. F2′(x) = 15x2+ 20x−5 etf(x) = 15x2+ 20x−5 F2′(x) =f(x)
F2 est donc aussi une primitive def
3. F définie parF(x) = 5x3+ 10x2−5x+k oùk∈R est aussi une primitive def car F′(x) =f(x)
4. la fonction f admet alors une infinité de primitives
5. soit Gune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.
pour cela, on considère la fonctionH définie parH(x) =G(x)−F1(x) a. H(x) =G(x)−F1(x)
H′(x) =G′(x)−F1′(x) H(x) =f(x)−f(x) = 0 H′(x) = 0
b. H est une fonction constante car sa dérivée est nulle pour toutx∈R H(x) =k = constante pour tout x∈R
c. H(x) =G(x)−F1(x) =kpour tout x∈R G(x) =F1(x) +k pour toutx∈R
d. une primitive de f est nécessairement la formeF(x) =F1(x) +k e. la seule et unique primitiveF de f telle que F(0) = 10est telle que
F(x) =F1(x) +k avecF(0) = 10
F(x) = 15x2+ 20x−5 +k avecF(0) = 10 F(0) = 15×02+ 20×0−5 +k= 10
−5 +k= 10⇐⇒k= 15 F(x) = 15x2+ 20x−5 + 15 F(x) = 15x2+ 20x−10 3 corrigés activités
corrigé activité 1
corrigé activité 2
soit la fonction f tellef(x) = 1 +x+ex− 1
x2 définie surR∗ 1. F1 telle queF1(x) =x+x2
2 +ex+1
x est une primitive de f, en effet : F1′(x) = 1 +1
2 ×2x+ex+−1 x2 F1′(x) = 1 +x+ex− 1
x2 =f(x)
2. une autre primitive F2 def est :F2(x) =x+x2
2 +lnx+ 1
x +k oùk∈R 3. primitiveF def qui vaut 0 pourx= 1
F(1) = 0etF(x) =x+x2
2 +ex+ 1 x +k F(1) = 1 +12
2 +e1+1
1+k= 0 1 +1
2+e+ 1 +k= 0 k=−5
2 −e F(x) =x+ x2
2 +lnx+ 1 x −5
2 −e
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées (a) f(x) = 0 a par exemple pour primitive :F(x) =k
(b) f(x) = 10 a par exemple pour primitive :F(x) = 10x+k (c) f(x) =x a par exemple pour primitive :F(x) =x+k (d) f(x) =x2 a par exemple pour primitive :F(x) = x3
3 +k (e) f(x) =x3 a par exemple pour primitive : F(x) = x4
4 +k (f) f(x) = 1
x a par exemple pour primitive : F(x) =ln(x) +k (g) f(x) = 1
x2 a par exemple pour primitive : F(x) = −1 x +k (h) f(x) = 1
x3 a par exemple pour primitive : F(x) = −1 2x2 +k (i) f(x) =ex a par exemple pour primitive :F(x) =ex+k
corrigé activité 4
démontrons chaque proposition
1. siF etGsont des primitives respectives def etgalors H=F+Gest une primitive deh=f+g H=F+G
H′ =F′+G′ H′ =f+g H′ =h
H=F+G est une primitive deh=f +g
2. siF est une primitive def etk∈Rest un réel alorsH =kF est une primitive deh=kf H =kF H′ =kF′
H′ =kf H′ =h
H=kF est une primitive deh=kf
Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
✞
✝
☎
F est une primitive de f surI ✆ ⇐⇒ ✞✝F′(x) =f(x)☎✆pour tout x∈I
exemple : avec F(x) =x2+ 3x etf(x) = 2x+ 3on aF′(x) =f(x) donc F est une primitive de f remarque : "F est une primitive def" équivaut à "f est la dérivée de F"
propriété 1 (forme générale des primitives)
(1) toute ✄✂fonction continue sur un intervalle✁ I de R✞
✝
☎
admet des primitives sur cet intervalle✆ (2) Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
si ✞✝F est une primitive def ☎✆surI alors
✞
✝
☎
toutes les primitives de f ✆sont de la forme✞✝F +k☎✆oùk∈R
exemple : avecF(x) =x2+3xetf(x) = 2x+3, toutes les primitives def sont de la formeF(x) =x2+3x+k où kest un nombre réel quelconque
remarque : si on connaît une primitive de f alors on en connaît une infinité propriété 2 (tableau des primitives usuelles)
F(x) f(x)
k∈R 0
x+k 1
2x+k 2
−3x+k −3
ax+k a∈R
1
2x2+k x
1
3x3+k x2
1
4x4+k x3
1
n+ 1xn+1+k xn oùn∈N 1
α+ 1xα+1+k xα où α∈R− {−1} 2√
x+k 1
√x
ln(x) +k 1
x
−1
x +k 1
x2
−1
2x2 +k 1
x3
1
aeax+b eax+b 4- à retenir
définition 1(primitive d’une fonction)
ex ex
propriété 3 (primitives et opérations)
(1) si F etGsont des primitives respectives de f etg surI alors ✞✝F +Gest une primitive de f+g☎✆surI (2) si F est une primitive def sur I et k∈R alors ✞✝kF est une primitive de kf ☎✆surI
exemple : une primitive de f(x) =x2+ 5x3 est F(x) = 1
3x3+ 5×1 4x4 = 1
3x3+5 4x4 propriété 4 (primitives des formes usuelles)
soit u une fonction dérivable sur un intervalle I etu′ sa dérivée.
quand cela est possible, on utilise le tableau suivant pour trouver une primitiveF d’une fonctionf connue.
F(x) f(x) conditions
1
2u2 u′u 1
3u3 u′u2 1
4u4 u′u3 1
n+ 1un+1 u′un n∈N
−1 u
u′
u2 u6= 0
−1 2u2
u′
u3 u6= 0
−1 (n−1)un−1
u′
un n∈N,n >1 etu6= 0 lnu u′
u u >0 eu u′eu
exemples :
(a) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)ex2+3x+10✆ f =u′eu donc F =eu avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ex2+3x+10✆
(b)
☛
✡
✟ f(x) = 2x+ 3 ✠
x2+ 3x+ 10 f = u′
u doncF =lnu avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ln(x2+ 3x+ 10)✆
(c) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)(x2+ 3x+ 10)✆ f =u′u donc F = 1
2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
☛
✡
✟ F(x) = 1 ✠
2(x2+ 3x+ 10)2
(d)
✎
✍
☞
✌ f(x) = 2x+ 3
(x2+ 3x+ 10)3 f = u′
u3 donc F = −1 2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
✎
✍
☞
✌ F(x) = −1
2(x2+ 3x+ 10)2
exercice 1 :
1. Démontrer dans chaque cas que F est une primitive def puis déterminer la primitive def qui vaut 0 en 1
(a)
F(x) = x2
2 −3x−1 x f(x) =x−3 + 1
x2
(b)
F(x) = x3 2 −x2
4 +x 2 f(x) = 3x2−x+ 1
2
exercice 2 :
Démontrer queF est une primitive def avec : F(x) = 2x−3
x2+ 4 etf(x) = 2(x+ 1)(4−x) (x2+ 4)2 exercice 3 :
Trouver une primitive de f surDf dans chaque cas.
1. f(x) = 3(3x+ 5)2
2. f(x) = (2x+ 6)(x2+ 6x+ 10)3 3. f(x) = 1
xlnx 4. f(x) = 3
(3x+ 5)2 5. f(x) = 2x+ 6
(x2+ 6x+ 10)3
6. f(x) = 3 3x+ 5 7. f(x) = 2x+ 6
x2+ 6x+ 10 8. f(x) = (3x+ 5)2
9. f(x) = (x+ 3)(x2+ 6x+ 10)3 10. f(x) = −4
x lnx
11. f(x) = 1 (3x+ 5)2 12. f(x) = x+ 3
(x2+ 6x+ 10)3 13. f(x) = 10
3x+ 5 14. f(x) = 4x+ 12
x2+ 6x+ 10 exercice 4 :
soit f une fonction dont F est une primitive et dontf′ est la fonction dérivée.
les courbes de f,F etf′ sont représentées partiellement ci dessous 1. sachant que la courbe de f est C2 retrouver les
courbes de F etf′ en justifiant soigneusement.
2. déterminer f(0), f′(0) ainsi queF(0)etF′(0)
3. estimerf(3,5), f′(3,5)ainsi queF(3,5)etF′(3,5)
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
y
x C1
C2
C3
