Les montagnes russes sont des manèges à sensations fortes. Elles fonctionnent par un enchaînement de montées et de descentes rapides
PROBLEMATIQUE
Avec quelle vitesse minimale le wagon doit-il être propulsé pour atteindre le point le plus haut du parcours ? DOCUMENTS
Caractéristiques du parcours :
Kingda Ka est un circuit de montagnes russes situé au parc Six Flags Great Adventure aux États-Unis. Il intègre le top hat le plus haut du monde puisqu’il culmine à 139 m ! Ce top hat constitue le premier élément sensationnel du circuit. Il s’agit d’une bosse avec une montée et une descente quasi verticale.
Doc.1
Le top hat du circuit Kingda Ka : Doc.2
L’énergie mécanique en détail :
▪ L’énergie qu’un système de masse m possède du fait de son mouvement s’appelle l’énergie cinétique. Elle s’exprime par la relation : 𝐸𝑐= 1
2𝑚𝑣2
▪ L’énergie potentielle de pesanteur est liée à son altitude où g est l’intensité du champ de pesanteur. Elle s’exprime par la relation : 𝐸𝑝𝑝= 𝑚𝑔𝑧
▪ L’énergie mécanique d'un système, notée Em, la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : 𝐸𝑚= 𝐸𝑐+ 𝐸𝑝𝑝
Doc.3
TRANSFERTS D’ENERGIE CHAPITRE 13
Activité 4 :
ENERGIE MECANIQUE
Conservation de l’énergie mécanique :
La variation d’énergie mécanique 𝛥𝐸𝑚 est égal à la somme des travaux des forces non conservatives : 𝛥𝐸𝑚 = ∑ 𝑊(𝐹⃗𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠)
Doc.4
QUESTIONS
1. Définir le système et le référentiel d’étude
2. Faire le bilan des forces sur le système (on négligera les frottements)
On considère que la réaction du rail (force exercée par le rail sur le chariot) est en permanence perpendiculaire à la trajectoire.
3. Calculer le travail de la réaction 𝑅⃗⃗ tout au long du parcours
4. Existe-il des forces non conservatives s’appliquant sur le système ? Si oui lesquelles ? 5. Que peut-on dire alors de la variation de l’énergie mécanique (doc4) ?
6. Donner l’expression littérale de l’énergie mécanique du système en n’importe quel point 7. Simplifier cette expression au point B, origine des hauteurs
8. Exprimer l’énergie mécanique du système au point C, sommet de la trajectoire (la vitesse du wagon est nulle lorsqu’il atteint le point culminant de sa trajectoire)
9. En utilisant les expressions obtenues aux questions 5, 6 et 7, répondre à la problématique (donnée : g = 9,81 m.s-2) 10. En réalité la vitesse à communiquer au système pour atteindre le point culminant est de 206 km.h-1. Commenter CORRECTION
1. Système mécanique S = {Le Wagon}. Référentiel terrestre lié au sol, supposé galiléen 2. Bilan des forces : Les forces de frottements étant négligées les forces sont :
- Le poids 𝑃⃗⃗ (vertical, vers le bas, P = mg) - La réaction 𝑅⃗⃗ (vertical, vers le haut, R)
3. 𝑊𝐴𝐷(𝑅⃗⃗) = 0 car la réaction est en permanence perpendiculaire à la trajectoire 4. Non le poids est une force conservative
5. La réaction ne travaille pas et le poids est une force conservative alors : 𝛥𝐸𝑚 = 0 La variation d’énergie mécanique est nulle.
6. 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐+ 𝐸𝑝𝑝= 1
2𝑚𝑣2+ 𝑚𝑔𝑧 7. Au point B zB = 0 alors 𝐸𝑚(𝐵) =12𝑚𝑣𝐵2 8. 𝐸𝑚(𝐶) =1
2𝑚𝑣𝐶2+ 𝑚𝑔𝑧𝐶 = 𝑚𝑔𝑧𝐶 car au sommet 𝑣𝐶 = 0 𝑚. 𝑠−1 9. On calcule la variation d’énergie mécanique entre les points B et C :
𝛥𝐸𝑚 𝐵→𝐶= 𝐸𝑚(𝐶) − 𝐸𝑚(𝐵) = 𝑚𝑔𝑧𝐶−1
2𝑚𝑣𝐵2= 0 Alors 𝑚𝑔𝑧𝐶 =1
2𝑚𝑣𝐵2 𝑣𝐵2= 2 × 𝑔 × 𝑧𝐶 donc 𝑣𝐵 = √2 × 𝑔 × 𝑧𝐶
A.N. 𝑣𝐵 = √2 × 9,81 × 139 = 52,2 𝑚. 𝑠−1= 188 𝑘𝑚. ℎ−1
10. Les forces de frottements n’ont pas été considérées dans cette étude. Il faudrait donc une vitesse plus importante pour faire atteindre au système le point culminant de la trajectoire. En effet les forces de frottements sont des forces non conservatives. Donc on aura 𝛥𝐸𝑚 𝐵→𝐶 = 𝑊𝐵𝐶(𝑓⃗) < 0 car le travail d’une force de frottement est résistant. Donc 𝐸𝑚(𝐶) − 𝐸𝑚(𝐵) < 0 d’où 𝐸𝑚(𝐶) < 𝐸𝑚(𝐵)
𝑚𝑔𝑧𝐶 < 12𝑚𝑣𝐵2 donc 𝑣𝐵 > √2 × 𝑔 × 𝑧𝐶 . Il faut communiquer une vitesse en B plus importante dans le cas de frottements. Une partie de l’énergie est dissipée sous forme de chaleur.
