Mécanique du point

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Mécanique du point

A. Proca

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

MÉCANIQUE

DU

_POINT

Par A. PROCA,

Institut Henri Poincaré, Paris.

Sommaire. - La

mécanique classique actuelle ne _{tire pas}

avantage

de toutes les ressources mises à sa

disposition par le principe de la relativité restreinte. L’auteur propose donc une nouvelle forme de

méca-nique qui se _réduit à la _précédente dans un cas _particulier et dont le _pouvoir de _description semble

plus étendu.

L’hypothèse de base consiste à admettre que les équations fondamentales font intervenir non _pas

les xk, mais de nouvelles variables 03BE, de caractère spinoriel, à partir desquelles on _peut calculer les

grandeurs d’univers. Autrement dit, le mouvement d’un

_point

matériel est déterminé non pas dans

l’espace-temps, mais dans certains _{espaces spinoriels}

sous-jacents,

liés à l’Univers _par l’intermédiaire de

l’espace des vitesses.

On écrit les équations du mouvement et leurs intégrales premières simples. Le _point matériel ainsi

défini possède un _spin. Son mouvement ne _{suit pas} en _général la loi _d’inertie; il est constitué _par la

superposition d’un _déplacement à vitesse constante et d’un « _tremblement de _{Schrödinger ».} Ce dernier

peut

être absent et dans ce cas _particulier le point se meut à vitesse constante comme en _Mécanique

classique. On étudie ensuite le mouvement d’une _{particule chargée} dans un _{champ électromagnétique}

et l’on retrouve _{l’expression} de la force de Lorentz ainsi que l’effet d’un moment électromagnétique

sous la même forme qu’en électrodynamique classique.

1. Les nouveaux résultats

_{expérimentaux}

concer-nant les diverses

_particules

fondamentales,

ainsi que les graves difficultés que rencontre la théorie dans sa forme

actuelle,

rendent

indispensable

une

révision

_complète

de celle-ci.

Les nouvelles

_exigences

sont très variées et il semble difficile à

l’heure

actuelle d’établir un

forma-lisme cohérent

_{qui puisse}

résoudre à la

fois,

par

exemple,

le

_problème

de la

_{self-énergie}

et celui de la

_{quantification}

de la masse. Pour un certain

temps

encore, nous serons

_obligés

de chercher des solutions

_partielles,

résolvant tel ou tel

_problème

particulier,

avant d’aboutir à une

_synthèse

géné-rale,

complètement

satisfaisante.

Or,

il est clair

que , nous arriverons à cette

synthèse

d’autant

plus

facilement _que nos

_{instruments d’investigation}

seront

_{plus parfaits.}

Il ne semble donc pas dénué

d’intérêt d’examiner avant toute chose ces

instru-ments,

-

en d’autres termes la

_Mécanique

du

point

matériel,

--

pour voir s’ils ne

_peuvent

être

améliorés,

et cela d’une

façon

tout à fait

_générale,

sans référence à une difflculté ’ou un

_problème

particuliers.

2. Par «

_Mécanique

» nous devons naturellement

entendre

la mécanique

_quantique.

Celle-ci

_procède

cependant

de la

_{mécanique classique}

et il est évident que les

imperfections

de cette dernière se

réper-cuteront sur la

_{mécanique quantique}

elle-même.

Le programme

âe

travail correct consisterait donc à soumettre la

_mécanique

_classique

à un examen

critique,

comme

_indiqué

_plus

_haut,

_{à essayer de}

l’améliorer si nécessaire et _{à passer ensuite à la}

mécanique

quantique

par le processus de

quantifi-cation usuel. C’est dans cette voie _que nous tenterons

de nous _engager. z

3. Pour

_analyser

la situation

_actuelle,

remar-qq0ns que,

lorsqu’on néglige

les effets de

gravi-tation et

_qu’on

tient

_compte

de l’inertie au _moyen

d’un coefficient de _masse, la

_mécanique

_classique

des

_particules

fondamentales est dominée

entiè-rement _{par le}

_principe

de la relativité restreinte. En d’autres

_termes,

elle doit satisfaire aux

_exigences

de cette relativité.

Or,

certaines de ces

_exigences

sont de telle nature

que l’on a _{recherché des raisons pour ne pas}

_{s’y plier,}

ce

_{qui équivaut}

au fond à un

_rejet

_partiel

_du

_principe

de relativité. Nous sommes ainsi

_placés

devant

l’alternative suivante : ou bien

admettre

toutes les

66

conséquences

de ce

_principe

ou bien le

_rejeter.

Cette dernière attitude étant insoutenable dans l’état actuel de la

_science,

nous sommes tenus

jus-qu’à

nouvel ordre à

_accepter

toutes les

_{conséquences}

qui

découlent de

_{l’application}

du

_principe

de relativité.

L’exemple

le

_{plus frappant}

de cet état de choses

est

l’existence,

requise

par la

relativité,

de

carac-téristiques qui

se _{traduisent par des} «

_énergies

» ou « masses »

_négatives.

En théorie

_classique

la

masse au _{repos d’un}

_corpuscule.

de moment _PP.

soit -

mo. II est exact que

quelques

_fois

le double

signe

n’est pas

gênant

et _que nous

pouvons

_passer

sous silence les cas _{où mo} o. Il n’en est _pas moins

vrai que cette

_règle

n’est _pas

_générale.

Bien au

contraire,

le double

_signe

_{de mo est lié} essentiel-lement au caractère

_quadratique

de l’invariant de la relativité. Tant _que nous admettrons la

’validité

de la relativité

restreinte,

nous devrons donc

comptera

avec la

_possibilité

d’un

_{signe négatif,}

_quitte

à

l’in-terpréter

physiquement,

si

_possible,

d’une manière satisfaisante.

-4. Une autre _{remarque relative} aux

amélio-rations souhaitables de la

_mécanique

concerne la

possibilité

de décrire

_{classiquement}

une

_particule

possédant

un

_spin

différent de zéro.

On a souvent écrit _que le

_spin

est un effet

quan-tique ;

le seul

_argument

à

_l’appui

de cette thèse

est le fait

_qu’on

_{n’a pas} encore réussi à décrire une

particule

à

_spin

en

mécanique

classique.

Diverses

tentatives

ont été faites en ce sens

_(1),

mais

_qui

n’ont _pas

_toujours

abouti

à des résultats

_complets

ou

indiscutables.

En

_{mécanique quantique}

le

_spin

_apparaît

dès

qu’on

tient

_compte

de la relativité. Il semble assez

probable qu’il

en soit

également

ainsi en

_mécanique

classique

et _que

_l’origine

du

_spin

doive

être cherchée

plutôt

dans les

rotation$ fondamentales

de la rela-tivité que dans les discontinuités de la

quanti-fixation.

Quoi

qu’il

en

_soit,

la

_description

du

_spin

nécessite l’introduction de nouvelles variables dont le choix n’est _pas

_{aisé; heureusement,}

une

_réponse

raisonnable à ce

_problème

_peut

être fournie par

l’observation

du

_paragraphe

suivant..

(1) Voir en _{particulier :} M. MATHISSON, Acta _Phys. Po/o7nca,

1937, 6, 163 et T. W. WEYSSENHOFF, ibid., 1947, 9, 1. Voir

également L. DE _BROGLIE, La théorie des _particules de

spin 2

,

2

Gauthier-Villars, Paris, 1952 où se trouve un _exposé de la théorie de WEYSSENHOFF. Voir la critique de cette dernière par C. M0LLER, Comm. Dublin Tnstitute, A, no 5 et Ann.

Inst. If. _{Poincaré, 1949,11,} 251. Enfin citons M. H. L. PRYCE,

Proc. Roy. Soc., 1948, A 195, 62; HôNL, Naturwiss, j938,

26, 4o8; HôNL et PAPAPETROU, Z. _{Physik, 1939,} 112, 5I2 et _ig3g, 114, 4;8; PAPAPETROU, Proc. _{Roy. Soc., 1951, 209,}

248 et 260.

5. La condition de covariance _par

_rapport

aux

transformations de Lorentz a

_permis

de

carac-tériser les

_grandeurs

_susceptibles

de décrire les

phénomènes physiques (scalaires,

vecteurs,

etc.)

et

même d’établir en

_quelque

sorte une

_hiérarchie,

basée sur leur

_complexité

croissante. Parmi ces

grandeurs

figurent

non seulement les

tenseurs,

mais

aussi les

_spineurs.

On

_peut

même dire que, dans la hiérarchie

_ci-dessus,

les

_spineurs

_{de rang i}

sont «

plus simples »

_{que le tenseur le}

_plus

élé-mentaire,

à savoir le

vecteur;

en effet on

_peut

former un vecteur à

_partir

de

_spineurs

_{par des}

opérations

rationnelles,

alors que l’inverse n’est pas vrai.

Or,

pour des raisons évidentes aucune théorie

classique

ne fait

_appel

aux

_spineurs

_(2).

Il est vrai

qu’aucune

grandeur

physique

mesurable ne

_peut

être

représentée

par un

_spineur

en raison du caractère

bivalent de ce

dernier,

mais cette éventualité n’est

pas la seule

possible.

Tout en

_supposant

_que les

grandeurs physiques

mesurables dans

l’espace-temps

sont exclusivement des

tenseurs,

il est bien difficile de ne _{pas admettre que} l’introduction des

spineurs

dans la théorie

_présente

des

avantages

marqués,

en raison des

_{possibilités}

_qu’elle

offre

d’utiliser

toutes les ressources du groupe de

_Lorentz.

Les

_paragraphes

suivants sont destinés à montrer

le

_parti

_{qu’on peut}

tirer de cette’

_supposition.

6.

_Hypothèse

de base. - Le nombre minimum a

de

_spineurs

_compatible

avec _{l’invariance par}

_rapport

au

_groupe

de

Lorentz,

que nous

_postulons,

est deux.

Désignons par 4

l’ensemble de ces deux

_spineurs,

groupés

comme dans

_{le 03C8}

de la théorie de Dirac et posons comme

_{d’habitude §+}

=

1 ( *y4

=

adjoint

de

03BE.

Nos

_hypothèses

fondamentales s’énoncent alors

de la

_façon

suivante :

I. Tout

_{phénomène physique}

et en

_particulier

le

mouvement d’un

_point

est décrit au _{moyen des}

spi-neurs03BE

et

_03BE+.

,

Les résultats

_{expérimentaux}

se référant à

des

mesures dans

_{l’espace-temps,}

il est

_{indispensable}

de

compléter

I,

en

_indiquant

de

_quelle

_façon

_cet

espace-temps

est relié aux _espaces

_{spinoriels 03BE}

et

_03BE+.

A cet

effet nous allons admettre _{que :}

II. Si r est un

_paramètre

invariant en

_fonction

duquel

on

_{définit le}

mouvement et

_yP

les matrices

4 X 4

tels que

yr yS +

ys Yr

==

2 ors,

_on

posera

(2) Voir toutefois la théorie du gyroscope, de F. _{Klein, qui}

semble être le _{premier à} avoir utilisé des grandeurs spinorielles

dans un _problème de

_{Mécanique classique}

ainsi que l’a rappelé

récemment M. _Bopp. Chez cet auteur ainsi _que chez Darboux

(Leçons sur la théorie générale des _surfaces), que le premier cite d’ailleurs, les grandeurs spinorielles s’introduisent comme

67 Ce choix est

arbitraire,

mais naturel. Le second

membre est le seul vecteur réel du genre

temps

formé bilinéairement

_{avec 03B6}

et

_03B6+

_qu’on

_puisse

identifier à un vecteur d’univers caractérisant le mouvement.

D’après

1

donc,

les

_équations

de base de la théorie relient les

03B6, 5+

et leurs dérivées : les

_phénomènes

et en

_particulier

le mouvement d’un

_point,

sont

déterminés non

_plus

dans

_{l’espace-temps}

r? mais dans les _espaces

_{spinoriels sous-jacents}

03B6, 03B6+

liés à la _{vitesse. Nous pouvons considérer} ces _espaces

comme les éléments

fondamentaux

dans la

des-cription

des

_{phénomènes.}

_{Corrélativement,}

on

_peut

dire que les transformations fondamentales ne sont pas celles

qui

concernent les vecteurs xP mais celles

_qui

définissent les

_spineurs

fondamentaux,

dont résultent les

transformations

de Lorentz.

Le lien entre _{les espaces}

_spinoriels

et

l’espace-temps

ordinaire xP est donné _{par II. Le passage}

de l’un à l’autre

_peut

se définir en faisant

corres-pondre

une courbe de

_ç,

03B6+,

donnée sous forme

paramétrique

L

=

Ir (z)

à _une courbe de l’univers

définie

_{paramétriquement}

_par les

_équations

diffé-rentielles dxP

_{= )+(r) yPi(=)}

d-r. La donnée

_{des 03BE}

et

_03BE+

ne

_permet

_{pas de} calculer les coordonnées

elles-mêmes mais seulement leurs dérivées. Les

coor-données restent

_{indépendantes}

de

1.

03BE2. Notations,

-- 03BE

est une matrice à une

_colonne,

d’éléments

_complexes

03BE1

1

03BE2,

03BE3, 03BE4

ayant

la même

variance que

le 03C8

de la théorie de l’électron de Dirac. En fonction de la matrice

transposée

et

conjuguée,

03BE*,

la matrice

_adjointe

03BE+

s’écrit

YP (p

= _{i, 2,}

3,

4)

sont

les

matrices

4

_X

4

de von

Neumann

_(tel

_{que l’invariant}

_quadratique

soit

_03BE+03BE)

et

_{"(5 = yly2y8y4.}

Nous

_adopterons

les notations suivantes

_(qui

sont celles de

_Pauli)

_pour les 16 co

va-riants

_quadratiques

formés à

_partir

des

_produits

de YP :

-Ces 16 termes ne sont _pas

_{indépendants,}

_mais

liés par neuf relations

quadratiques

bien

connues (3).

On a, par

exemple :

,

(3) Citons seulement les travaux de 0. COSTA DE

BEAU-REGARD, Thèse, Paris, 1943; KOFINK, Annalen der Phgsik,

1940,38, 421 ! G. _PETIAU, J. Math. _{pures et appel., 1 9 Ç 6, 25 ,} 335.

Dans

_{t’espace-temps}

nous utilisons les

coordonnées

c étant la vitesse de la lumière.

Nous

_appelons

T _le

_paramètre

_{réel par}

_rapport

auquel

on considère la

variation

des diverses gran-deurs. On a _par

_hypothèse

Appelons

ds l’élément de «

_temps

_propre » de la

particule

dans

_{l’espace-temps}

ordinaire,

défini

_par

On aura alors en vertu de

_(II)

et de

_{(3) :}

soit

On en déduit

_{l’expression}

de la vitesse d’univers

de la

particule

8.

_Lagrangien

en l’absence de

_champs

Considérons maintenant le mouvement libre d’un

point

donné.

Le

_{lagrangien correspondant dépendra}

essentiel-’ lernent

des

03BE.

Pour des raisons de variance

relati-viste,

sa forme la

_plus

_simple

sera celle

_qui

nous est

déjà

familière :

Si nous considérions

_l’analogie

avec

d’autres

cas

connus de la

mécanique

ondulatoire,

nous

serions

tentés

_d’ajouter

à ce

_premier

terme un

_{second, de}

la

forme

_{ik2’Ç+’Ç.}

Nous verrons

_{cependant plus}

loin

_(§

₁₉₎

_que ce terme est naturellement

_englobé

dans les termes

d’interaction

avec un

_champ

exté-rieur. Il

_n’y

a donc pas lieu de l’introduire dans la

description

du

_comportement

de la

_particule

en

l’absence de toute interaction.

Par contre, d’autres termes s’introduiront dans le

lagrangien

en raison des conditions dans

lesquelles

doit avoir lieu sa variation. En

effet,

d’après

notre

hypothèse

fondamentale II, le

covariant

quadra-tique 1+Y?1

doit

_toujours

être

_égal

à

dxp=

xp.

Nous

sommes en

présence

d’une

variation avec

conditions

de liaison. Utilisons le

_procédé

des

_{multiplicateurs}

et considérons

_-quatre

fonctions inconnues

_Àp

de

68

Le

lagrangien

en l’absence de

_champ

sera alors

et la variation

_portera

sur

03BE+,03BE

et x.

D’ailleurs,

quelles

que soient les raisons

plus

ou

moins valables

_qui

nous ont conduit à la forme

_(8),

ce

_lagrangien

constitue une nouvelle

_hypothèse

à

ajouter

à celles du

_paragraphe

6.

9.

_Équations

du

_point

matériel libre.

Quan-tité de mouvement. - Les

_équations

fonda-mentales déduites . de

₍₈₎

sont

, Les dernières

(10),

ne sont autres que

qui

introduisent

j

le moment

_conjugué

de x,

~xp

autrement dit la «

_quantité

de mouvement ». Dans la nouvelle théorie la

_quantité

de mouvement a donc

comme

_composantes

les

multiplicateurs

de

_Lagrange

utilisés

lors de la variation.

En l’absence de

_{champ, d’après (10),}

cette

_quantité

de mouvement est un vecteur constant

(4)

_qui

n’est

pas nécessairement

proportionnel

à la vitesse

d’uni-vers comme en théorie

_classique.

Il en est ainsi

_chaque

_{fois que la}

_{particule possède}

un

_spin

et cette différence entre vitesse et

_quan-’

tité de mouvement

_peut

devenir très intéressante du

_point

de vue

_{expérimental.}

Le

_comportement

d’un

tel

_corpuscule

_pourrait

_{être différent de celui que}

nous connaissons dans des conditions

convenable-ment choisies.

En admettant que le vecteur constant

_Àp

soit

également

du genre

temps,

Àp tIr

o, nous _pouvons

définir l’invariant

mo

représente

la masse au _{repos de la}

particule qui

apparaît

ici comme une constante

_{d’intégration.}

10. Grandeurs

_{d’espace-temps}

_pour le

mou-vement libre. Vitesse. - A étant

une matrice

4x4

quelconque,

on déduit des

_équations

₍₉₎

la

(4) Noter _{qu’il s’agit} ici de constance par rapport au

para-mètre ’t Dans la _plupart des cas cela _équivaut à une «

cons-d03BB°

tance d’univers »

£

= _{o, à cause de la proportionnalité (5)}

entre dT et le temps propre ds.

relation

_générale

suivante où

_[A,

_B]

= AB -- BA :

qui

permet

une série de conclusions intéressantes : En

_posant

_par

_exemple

A = _{i, on a une}

inté-grale

première

-. z

Avec A =

_y5

et

_y5

_yP,

on trouve

et

lesquelles

entraînent

On a

_également

une autre

_{intégrale première}

et en

_conséquence

aussi

En

_posant

A =

_Y",

_on obtient la dérivée de la

vitesse,

donc la loi du mouvement

_proprement

dite.

On a

1 On

en déduit une autre

_{intégrale première}

En tenant

_compte

de

₍₂₃₎

_que nous établirons

plus

loin,

nous _{pouvons finalement écrire}

d’où l’on _{déduit que}

_{l’expression}

_générale

de la

vitesse sera

avec

On lit sur cette formule le

_comportement

d’un

point

matériel

en

l’absence de

_champ.,

On _{y voit}

que dans le cas

particulier

où les conditions

ini-tiales sont telles _{que AOE} = B,7 = o le-

point

_se

déplace

à vitesse

constante

comme en

_mécanique

clas-sique.

En

_général

_cependant,

la vitesse oscille avec

la

_fréquence

2À =

2moc d’une manière assez

détail de ces conditions et

_{l’expression}

des coeffi-cients sont donnés au

_paragraphe

12.

11.

_{Spin. -}

En

_posant

on trouve

ou

ou encore

Nous pouvons donc affirmer _{que la}

_particule

libre

possède

un

_spin,

donné

_{par I muv,}

ou

_{plus -}

géné-ralement par

l’équation

de définition

₍₂₄₎

ne le fixant en réalité

qu’à

une

_constante

arbitraire

_près.

Compte

tenu de

_(23),

on trouve

_{l’intégrale}

pre-mière

- -

-En dérivant

_(23),

on trouve

donc

La définition du

_{spin dépend}

du choix de la constante arbitraire. On

_peut

la

_prendre

nulle,

auquel

cas le

_spin

est

_égal

à I-muv.

Avec cette

2

hypothèse

une

_{particule classique (qui}

sera étudiée

plus

loin au

_{paragraphe 14)}

aura un

_spin

dont toutes les

_composantes

seront constantes et non _pas

néces-sairement nulles dans la mesure où l’on ne confond

pas ces constantes avec celles du second membre.

Remarquons

que ces deux

_{possibilités}

sont

équiva-lentes :

_{d’après (23)}

si _m,v = const. _on

au

pro-portionnel

à la vitesse et la

_particule

est bien un

point

matériel

_classique.

’

Si l’on tient absolument à définir un «

_{spin o}

dont les

_composantes

soient nulles _pour le cas

particulier

d’un

_corpuscule

_classique,

il faudra choisir

la constante dans

₍₂₆₎

de

façon

que la solution de

₍₂₈₎

soit

_purement

oscillante. Dans ce cas le

«

_spin

»

_peut

s’écrire sous une forme

_simple,

à savoir :

ou encore

On vérifie aisément à l’aide de

₍₂₁₎

_que

₍₂₃₎

est satisfaite

_{par cette}

valeur de

_Suv;

d’autre

_part

dans le cas

_classique

À[J. U., - À’J u[J.

= o, donc

immédiatement

_Suv

= _o

(5).

12. Solution

_générale.

« Potentiels ». - Des

équations (9)

et

₍₁₀₎

on déduit

La solution

_générale

s’écrit donc

où

_{}.p ÀP + ),2 == 0 et}

où

_Àp,

_{a, b}

sont des constantes

satisfaisant aux

_équations

On

_peut

écrire la solution de ces

_équations

₍₃₀₎

sous une forme

commode,

en

_remarquant

_{que deux}

des

_composantes

de a. et deux de

b,

donc

_quatre

en tout, sont arbitraires dans la solution.

Consi-dérons alors

_quatre

constantes

_complexes

arbi-traires _{cph Q2’ Q3’ (?4}

_groupées

en une

_{colonne 0}

et que nous

_appellerons

«

_{potentiel »(6).}

La solution

des

_{équations (30)}

s’écrit alors

_{simplement :}

La forme

_générale

_{des 03BE}

en

fonction de T _est

donnée par

(29)

avec

₍₃₁₎

ou encore _par

On voit

_apparaître

dans la solution

_générale

les

deux

_signes

de

_À,

comme

_l’exige

la relativité.

Le choix des constantes arbitraires a

_{et b,}

ou

_À’j,

correspond

aux diverses « conditions initiales »

envisagées.

Notons que ces « conditions initiales »

sont

_plus

nombreuses

_qu’en

théorie

_classique

et concernent

_également

certaines

_{caractéristiques}

de la

particule

elle-même et non _{pas seulement des}

élé-ments du mouvement. En les choisissant

conve-nablement on obtiendra des cas

_particuliers

inté-(b) Ce choix _peut être guidé par des considérations d’inter-action ou de _{quantification,} voir _{par exemple} le _paragraphe 17. De même, c’est _{l’expression}

I m.,

_{(constante nulle) qui}

2

possède les valeurs propres correctes, lorsqu’on quantifie

au _{moyen des} relations de commutation habituelles.

(6) Ce _procédé a été _appliqué par M. B. Kwal à la théorie

70

ressants, tel par

exemple

celui

_{où ç}

ne _{contient que}

la masse d’un seul

_signe,

examiné au

_paragraphe

suivant.

13. Cas

_harmonique.

Particule

_classique.

-Ce cas, _que nous

_appellerons

le «cas

_{harmonique »,}

est réalisé

_lorsque

_par

_exemple,

a = o

_[valeur

_qui

satisfait bien aux conditions

(30)].

On a alors

simplement

Examinons comment se

_présente

alors le mouvement

dans

_{l’espace-temps.}

Remarquons

d’abord que toutes les

_grandeurs

réelles de la forme

_{03BE+ A 03BE}

dans cet _espace sont des constantes.

03A91= -

ib+b est une constante dans tous les

cas, mais _{le second groupe}

_{d’équations (31)}

donne aussi

Il en

_résulte,

_{d’après (6),}

_que la vitesse d’univers de

la

_particule

est constante

et donc

_{que la particule}

est assimilable à un

_point

matériel

_classique.

En

_multipliant

les deux

_{équations (30)}

_par

_y",

b et b+ et en

_ajoutant,

on obtient

d’où en

_comparant

avec

₍₃₅₎

et

₍₁₁₎

Dans ce cas

donc,

la

_quantité

de mouvement est

proportionnelle

à la

vitesse,

ce

_{qui justifie}

encore

une fois l’assimilation de _{mo à la} masse au _repos

et

de À(¡

à la

_quantité

de mouvement.

Les

_composantes

de muv sont constantes celles de

_Suv,

nulles en vertu de

_(36).

Le cas

_harmonique

décrit donc bien une

_particule

classique.

Inversement,

si le

_spin

est constant ou

nul et _que simultanément on ait

_{03A92 =}

o, on aura

affaire à une

_{particule classique.}

En

effet,

on a

alors _muv = const.

donc,

d’après

(23),

À,

propor-tionnel à _{Uu .} Comme en

_général

_{[voir (3)]}

’

on en déduit

_{ÀP mpv}

= _o, donc

d’après (19),

du,

_=o; d03C4

la

_particule

se meut donc à

vitesse

constante.

Le cas de la

_{particule classique,}

c’est-à-dire celui

pour

lequel

le

mouvement a

lieu conformément

au

principe

d’inertie n’est donc

_qu’un

cas

_particulier

du mouvement libre. Dans

le

cas

_général,

ce

prin-cipe

n’est

_plus

valable

sous sa forme

_classique,

mais il est aisé de voir

_par

_quoi

il est

_remplacé.

Remarquons

enfin _que le

_spin

_{apparaîtra lorsqu’on}

passe du cas

_harmonique

au cas

_général,

c’est-à-dire

_lorsqu’on

introduira dans

_{l’expression de 03BE}

la

masse -

mo en même

_temps

_que + mo. C’est là le mécanisme par

lequel

la relativité introduit le

spin,

et ce mécanisme n’a rien à voir avec

l’ana-logie

d’un corps tournant : l’essentiel _{n’est pas la}

rotation d’une masse

_positive,

mais

_plutôt

l’oscil-lation entre + mo et --r

mo, véritable

contrepartie

classique

du « _{tremblement de}

_Schrôdinger

». C’est

là aussi la raison pour

laquelle l’apparition

du

_spin

n’entraîne _pas une

_augmentation

de

_l’énergie

totale par

apport

d’une

_énergie

de

rotation,

ce

_qui

se

produirait

inévitablement dans le cas

d’un

_corps

en rotation.

Le mécanisme ci-dessus est

_exactement

celui

par

lequel

le

_spin

s’introduit en

_mécanique

ondu-latoire de l’électron où il a eu le

_{succés _ que}

l’on

sait

_0.

,

14. Particules

_classiques

au _repos. - La

manière dont les

_spineurs

interviennent dans la

théorie

_apparaît

_plus

clairement

_lorsqu’on

consi-dère le cas d’une

_{particule classique}

au _repos.

Dans ce cas

_puisque

Àp

= _movc, la condition Vk = o

se traduit

par Àk

= o

(k

_il

2,3)

et

entraîne,

soit i À

_{= À4,}

soit i À ==

À4.

Pour chacun de _ces

deux cas, les

_grandeurs

d’univers de la

_particule

ne

_dépendent

_{plus (au repos)}

_que d’un seul

spi-neur

_{(qi, Q2)}

ou

_(cp3,

_Q4).

Par

_exemple,

_pour i a, _

03BB4

on a

Le

«

spin ))

_mpq se réduit dans ce cas à ses

compo-santes

_spatiales,

_lesquelles

ont d’ailleurs la même

direction _que wr.

5. Interactions. Particules dans un

_champ.

-Les lois du mouvement dans un cas d’interaction

donné se déduiront du

lagrangien

(8)

augmenté

d’un terme d’interaction

Lint,

fonction des

_{03BE, 03BE+}

et xk. _{Pour que la} théorie soit

_plausible

il faut

_qu’on

puisse

choisir Ce dernier terme de

façon

à retrouver les formules

_classiques

_pour des cas connus, par

exemple

pour le cas du mouvement d’une

_charge

dans un

_{champ électromagnétique.}

Considérons la manière dont le terme

d’inter-action

Lint

dépend des 03BE

et

_03BE+.

_{L’hypothèse}

la

_plus

(1) Hônl et _{Papapetrou (loc. cit.)} ont _proposé 1;1n modèle de ce _type, mais l’ont traité comme un mécanisme dans

l’espace-temps soumis aux lois de la mécanique classique.

Dans la présente théorie, la « masse négative » _apparaît

comme _apparaissent les « _{fréquences négatives} » dans la théorie

simple

consiste évidemment à admettre une

dépen-dance bilinéaire. On écrira donc

où 0 est un

_opérateur

invariant .

agissant

sur

_les

fonction des

xk,

,

indépendant

des

c,

03BE+

et tel que

Lint

= réel. Sa forme la

plus

générale

sera donc

où _{y... sont} les 16

_{produits indépendants}

des

_yP,

les

_{A 0, Ai,}

... 16 fonctions ordinaires des xP,

pré-sentant les variances et les conditions de réalité

requises

pour rendre

)+ 0( invariant

et réel.

Ce _genre d’interaction est donc décrit

_{par 16}

fonc-tions ordinaires au

_plus.

Les

_équations

du

mou-vement seront dans ce cas

Remarquons

que - i03BE+i03BE=03A91

reste

_toujours

cons-tante dans le cas

_général.

La variation de la vitesse sera _{donnée par}

La

_{f orce}

d’univers se déduira en dérivant par

rapport

à ds la

_quantité

de mouvement donnée par la dernière

équation

(40).

16.

_Champ

_{électromagnétique.}

-

L’interac-tion d’une

_charge

e avec un

_champ

électromagné-tique

hp03C3=

dAp

p

dA, de potentiel

1

_Ac,

est du

_type

tique

hpoE=

dxcr

dxP

de

potentiel

Ap ,

est du

type

précédent.

Définissons d’abord l’action du

_champ

sur la

particule

en

_prenant

Les

_équations

s’écriront

Elles se déduisent de celles d’une

_particule

libre

en _y

_remplaçant

comme d’habitude les moments

_Àp

par

Xp-

e AG.

La dernière

_équation

donne

en

_{appelant fa}

= ev le courant.

Remarquons

que la

_particule

_étant,

_par

_hypothèse,

un

_point

géo-métrique

sans

_dimensions,

le courant sera

uni-quement

un courant de convection ev,7. Même si

cette

_{particule possède}

un moment

électroma-gnétique

Muv,

la contribution

dXr

de

celui-ci

au

courant sera nulle en raison du fait que

_Muv

n’est pas étalé dans

l’espace.

17. Moment

_{électromagnétique.}

-

Or,

admet-tons que la

_particule

_{chargée ayant}

un

_{spin possède}

de ce fait un moment

_{électromagnétique qui}

lui

est

_{proportionnel.}

_{Cela n’est pas évident} a

_priori

puisque

l’assimilation à un _corps tournant n’est

plus

valable. L’interaction considérée au

para-graphe

précédent

conduit à la force de Lorentz

qui représente

la totalité de l’action du

_champ

sur la

_particule,

mais n’introduit aucun

_couplage

entre le

_champ

et le moment

_{électromagnétique,}

ce

_qui

montre

_qu’elle

est

_{in omplète.}

De nouveaux termes

₍₈₎

doivent

apparaît e

dans les

_expressions

de la force et le

_couple

exercés sur la

_particule.

Nous _{admettons que} le moment

_{électromagnétique}

est

_{proportionnel}

au

_spin

de la

_particule

et nous

ferons

_{l’hypothèse}

_{que l’on} a

Le facteur

_{multiplicatif}

n’est constant _que

_lorsque

03A92

= o

_qui

entraîne

_upmoa

= _o, donc seulement

dans le cas où le

_spin

_{n’a pas de}

_composantes

de

temps

dans le

_système

au _{repos, dans}

_lequel

il se

réduit donc à un vecteur tridimensionnel.

Supposons

également

qu’on

prenne

égale

à zéro la constante additionnelle du

_spin,

_lequel

serait

donc simplement

égal

àI rnp,.

Définissons alors

l’interaction au _{moyen d’un}

_opérateur

où

_Ap

est le

_potentiel

du

_champ,

_hpo

le

_champ

correspondant

et x une

constante

convenable.

On en _{déduit que la}

force

de Lorentz du

_paragraphe

précédent

est

_augmentée

du terme

_{supplémentaire}

attendu. On a en effet

18.

_Couple.

2013 Les autres

équations

s’écrivent

72

Avec les notations

_{précédentes,}

on en déduit

qui

fait intervenir un terme

_{supplémentaire}

_déjà

rencontré par d’autres auteurs.

Ainsi

donc,

on

_peut

retrouver les résultats de

l’interaction d’un électron dans un

_champ

électro-magnétique

prenant

une interaction du

_type

bili-néaire

_{03BE + 0 03BE}

avec 0

_égal

à

₍₄₆₎

et

_qui

s’écrit aussi

19.

_Remarquons

_que

_{l’opérateur}

ci-dessus ne

contient _{pas de terme}

_indépendant

des

_yP

_(pas

_plus

d’ailleurs que des termes en

y5).

L’interaction

bilinéaire la

_{plus simple}

est _{définie par}

où k est une constante réelle. Les

équations

sont

alors

Si

_03BEijbre

est la solution connue du cas de la

particule

libre k = _o étudiée

auparavant,

la solution de

₍₅₂₎

s’écrira

Ce _genre d’interaction à

_laquelle

nous avons

_déjà

fait allusion au

_paragraphe

8

_n’agit

_que sur

_{les 03BE}

et n’affecte _{pas les}

_grandeurs

réelles mesurées dans

l’espace-temps.

Plus

_compliquée

_apparaît

le cas

₍₅₁₎

_{avec , un k}

fonction des xP.

Enfin,

nous n’avons considéré

_{jusqu’à présent}

que des termes d’interaction bilinéaires

en 03BE

et

_03BE+.

Il est clair que d’autres cas sont

_possibles

et la

forme de

Lint

en fonction

des 03BE

et

_{03BE+ permettra}

ainsi d’établir un critère de classement des

inter-actions par ordre de

_complication

croissante. On

obtiendra ainsi en

_particulier

des

_mécaniques

clas-siques

non linéaires

_qui

ne seront

_peut-être

_pas

dépourvues

d’intérêt.

Manuscrit reçu le 8 septembre 1953.

SUR LE

DÉNOMBREMENT AUTOMATIQUE

D’UNE DISTRIBUTION

STATISTIQUE

D’INTERVALLES DE TEMPS

(APPLICATION

A

L’ÉMISSION

03B1 _DU

_Po)

Par M. ROLAND

_CHÉRY,

Assistant à l’Institut de _{Physique atomique (Université} de _Lyon).

Sommaire. - Les

dispositifs décrits dans cet article ont été réalisés pour reprendre l’étude de la

distribution dans le temps des émissions radioactives, mais il serait facile de les _adapter à l’étude de

n’importe quel phénomène distribué statistiquement dans le _{temps. Chaque phénomène} étant repéré

par un _point lumineux sur l’écran d’un tube cathodique, on _peut les utiliser éventuellement _pour

la recherche de corrélations entre _{l’apparition} de deux _{phénomènes statistiques,} chacun d’eux contrôlant la position du _spot suivant une coordonnée.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_15,

FÉVRIER

_1954,

Depuis 1936

toute une série de travaux sur la

distribution dans le

_temps

des

_{désintégrations}

ce

a été réalisée à l’Institut de

_Physique

_atomique

de

Lyon

sous la

_direction

de J. Thibaud

_{[1], [2], [3], [4].}

Le caractère

_statistique

de cette distribution reconnue

dès

_{1 go5}

_par Schweidler _pour la loi de décroissance

radioactive,

se manifeste en _{outre par} les fluctua-tions

radioactives,

écarts à la loi

_théorique

précé-dente,

analysées

par Batemann et par la loi de

distribution des intervalles de

_temps

entre émissions radioactives connue sous le nom de loi de Marsden-Bara tt,

Les

_premières

vérifications

_{expérimentales}

de ces

lois se situent vers 1910, avec les travaux de Ruther-ford et

_Geiger

sur les fluctuations radioactives et

ceux de Marsden-Baratt sur la loi des

intervalles.

Mais c’est en _ig2o seulement _{que Mme} Curie

_[5]

réalise la

_première

vérification de la loi des inter-valles à

_{partir d’enregistrements}

_{automatiques.}

Dans les années

_qui

suivirent,

Kuztner

_[6]

releva des écarts anormaux entre loi

_théorique

et obser-vations. Tous ces travaux se caractérisent _par

l’emploi

de détecteurs

_d’angle

solide très

délié

si bien

_qu’une

très faible

_partie

du

_rayonnement

de la

source est

étudiée.