Mécanique du point

Mécanique  du  point    

1.   CINÉMATIQUE  du  point  

Objec.fs  

•  Connaitre  le  système  de  coordonnées   cartésiennes  et  polaires  ou  cylindriques  

•  Connaitre  l’expression  des  vecteurs  posi.on,   vitesse  et  accéléra.on  dans  les  systèmes  de   coordonnées  cartésiennes  et  cylindriques  

•  Connaitre  la  défini.on  de  quelques  

mouvements  par.culiers  

Sommaire  

1.   Défini.on   2.   Référen.el   3.   Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.   Vecteur  accéléra.on  

6.   Exemples  de  mouvement  

7.   Récapitula.f  

Sommaire  

1.   Défini<on  

– 

Défini.on  

Objet  

2.   Référen.el   3.  Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.  Vecteur  accéléra.on  

6.   Exemples  de  mouvement  

7.  Récapitula.f  

1.   DÉFINITION  

•  Etude  du  mouvement  d’un  point  sans  se   préoccuper  des  causes  (les  forces)  qui  lui   donnent  naissance.  

•  Objet  de  la  cinéma<que  :  

–   Décrire  la  posi.on   –   La  vitesse  

–   L’accéléra.on  

d’un  point  

au  cours  du  temps  

Sommaire  

1.   Défini.on  

2.  Référen<el  

–  Nécessité  d’un  référen.el   –  Défini.on  

–  Caractéris.que  d’un  référen.el   –  Exemples  

3.   Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.   Vecteur  accéléra.on  

6.   Exemples  de  mouvement  

7.   Récapitula.f  

2.   REFERENTIEL  

•  Nécessité  d’un  référen.el  :  

–  Mouvement  d’un    point   –  Observateur  qui  analyse  

–  Emplacement  de  l’observateur  

•  Un  référen.el  (ou  solide  de  référence)  est  un   ensemble  de  points  tous  fixes  les  uns  par  

rapport  aux  autres.  L’observateur  qui  étudie  le   mouvement  d’un  point  est  lui-­‐même  

immobile  dans  ce  référen.el.  

2.   REFERENTIEL  

•  Caractéris.que  d’un  référen.el  :  

–  Nom  

–  Repère  (Point  O  et  3  direc.ons  fixes)  

•  Exemples  :  

–  Référen.el  de  Copernic  

–  Référen.el  géocentrique  

–  Référen.el  terrestre  

Sommaire  

1.  Défini.on   2.  Référen.el  

3.   Repère  

– 

Repère  d’espace  

Repère  de  temps  

– 

Systèmes  de  coordonnées  (cartésiennes,  polaires,   cylindriques)  

4.   Vecteur  vitesse  

5.   Vecteur  accéléra.on  

6.   Exemples  de  mouvement  

3.   REPERES  

Où  se  trouve  le  point  ?   REPÈRE  d’espace  

• 

Lié  au  référen.el  

•  Origine  O  fixe  dans  le  

référen.el  

•  Axes  de  référence  (x,y,z).  

• 

Axes  liés  au  référen.el.  

3.   REPERES  

A  quel  moment  ?   REPÈRE  de  temps  

• 

Instant  1,  instant  2  

• 

Date  t1,  date  t2  

• 

Durée  t2  –  t1  

3.   REPERES  

•  Coordonnées  cartésiennes  

•  Coordonnées  polaires  

•  Coordonnées  cylindriques  

•  Système  de  coordonnées  à  choisir  en  fonc.on   du    mouvement  du  point  mobile:  

–  Trajectoire  circulaire  →  coordonnées  polaires  

•  Passage  d’un  système  de  coordonnées  à  un  

autre  

3.   REPERES  

Coordonnées  cartésiennes  

•  Dans  le  plan   •  Dans  l’espace  

3.   REPERES  

Coordonnées  cartésiennes  (suite)  

•     

•  Vecteur  posi.on  

•  Base  fixe  dans  le   référen.el  

( ^{x , y , z} )

coordonnées   longueur  (en  m)  

z y

x y u z u

u x

OM   

+ +

=

( ^{u  x , u  y , u  z} )

3.   REPERES  

Coordonnées  polaires  

•  Dans  le  plan  

Coordonnées  cylindriques  

•  Dans  l’espace  

axe  polaire  

3.   REPERES  

Coordonnées  polaires  (suite)  

•     

•  Vecteur  posi.on  

•  Base  mobile  dans  le   référen.el  

( ^{ρ , θ} )

coordonnée  radiale   longueur  (en  m)  

coordonnée  angulaire   (angle  polaire,  azimut)   angle  (en  rad)  

ρ ^u ρ

OM =

( u  ρ u  θ )

,

3.   REPERES  

Coordonnées  cylindriques  (suite)  

•     

•  Vecteur  posi.on  

•  Base  mobile  dans  le   référen.el  

( ^{ρ , θ , z} )

cote  

longueur  (en  m)  

u z

z u

OM  

+

= ρ _ρ

( ^{u } ρ ^{, u } θ ^{, u  z} )

3.   REPERES  

Passage  polaire  →  cartésienne  ?  

?

?

?

?

=

=

=

=

y x

u u y x

u !

!

u !

!

u x

u y

θ

3.   REPERES  

Passage  polaire  →  cartésienne  

θ ρ

θ ρ

θ θ

θ θ

θ ρ

θ ρ

u u

u

u u

u y x

y x









cos sin

sin cos

sin cos

+

=

−

=

=

=

u !

!

u !

!

u x

u y

θ

3.   REPERES  

Passage  cartésienne  →  polaire  ?  

?

?

? tan

?

=

=

=

=

θ ρ

θ ρ

u u

u !

!

u !

!

u x

u y

θ

3.   REPERES  

Passage  cartésienne  →  polaire  

y x

y x

u u

u

u u

u

x y

y x









θ θ

θ θ

θ ρ

θ ρ

cos sin

sin cos

tan

²

²

+

−

=

+

=

=

+

=

u !

!

u !

!

u x

u y

θ

Sommaire  

1.   Défini.on   2.   Référen.el   3.   Repère  

4.  Vecteur  vitesse  

–  Défini.ons  (vitesse  moy.,  instant.,  angulaire)  /  Unités  

–  Expression  en  coordonnées  cartésiennes  /  polaires  /  cylindriques   –  Expression  dans  la  base  de  Freinet  

5.  Vecteur  accéléra.on  

6.  Exemples  de  mouvement  

7.   Récapitula.f  

4.   VECTEUR  VITESSE  

Vitesse  moyenne  

•  Direc.on  et  sens  ceux  du   mouvement  (de  M1  vers   M2).  

•   La  norme  renseigne  sur  la   distance  parcourue  en  

moyenne  par  unité  de   temps.  

•  Unités  SI  

–  mètre/seconde  

–  m.s^-­‐1  

t

OM OM

t t

M V

M

Δ

= −

= −

1 2

2 1

4.   VECTEUR  VITESSE  

Vitesse  instantanée  

•  Vitesse  =  dérivée  par   rapport  au  temps  du   vecteur  posi.on  

•  Durée  élémentaire  

(infiniment  pe.te)  :  dt  

•  Vecteur  déplacement  

élémentaire  :   ( ) ( ) ( )

( ) ^{t d OM d l V} ( ) ^{t dt d l}

V

t

t OM t

t t OM

V

=

⇒

=

=

Δ

− Δ

= lim

+

l d OM

d =

4.   VECTEUR  VITESSE  

Expression  en  coordonnées  cartésiennes  

•  Vecteur  posi.on  

•  Vecteur  vitesse  

•  Norme  du  vecteur  vitesse  

( )

( ) ^{t V x ² y ² z ²}

V

u z u

y u

x t

V

u z u

y u

x OM

z y

x

z y

x







 

 

 







+ +

=

=

+ +

=

+ +

=

4.   VECTEUR  VITESSE  

Expression  en  coordonnées  polaires  /  cylindriques  

•  Vecteur  posi.on  

•  Vecteur  vitesse  

•  Norme  du  vecteur  vitesse  

( )

( ) ^{t V ² ( )² z ²}

V

u z u

V u

V t

V

u z u

OM

z z

 



 









+ +

=

=

+ +

=

+

=

θ ρ ρ

ρ

θ θ

ρ ρ

ρ

–  Composante  radiale  

–  Composante  orthoradiale

θ ρ

ρ

θ ρ





=

= V

V

4.   VECTEUR  VITESSE  

Cas  du  mouvement  plan   (base  de  Freinet)  

•  Vecteur  vitesse  :  

Tangent  à  la  trajectoire  au   point  M  

​" (%) = '   ​​( ↓%   

•  Norme  du  vecteur   vitesse  

    ‖​" (%)‖ = " = |'|  

Base  de  Freinet  

•  Base  mobile  

•  ​​( ↓% 

•  ​​( ↓, 

4.   VECTEUR  VITESSE  

Vitesse  angulaire  

•  Posi.on  angulaire  de  M   dans  le  plan  Oxy  :   θ  

•  Vitesse  angulaire  =  

dérivée  par  rapport  au   temps  de   θ    

•  Vecteur  vitesse   angulaire  :  

u  z

 

θ

ω =

Sommaire  

1.   Défini.on   2.   Référen.el   3.   Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.  Vecteur  accéléra<on  

–  Défini.on  /  Unités  

–  Expression  en  coordonnées  cartésiennes  /  polaires  /  cylindriques   –  Expression  dans  la  base  de  Freinet  

6.  Exemples  de  mouvement  

7.   Récapitula.f  

5.   VECTEUR  ACCELERATION  

•  Varia.on  du  vecteur  vitesse  par  rapport  au   temps  

•   Unités  SI  

–  mètre/seconde  au  carré   –  m.s

( ) ( )

²

² dt

OM d

dt t V t d

a = =

5.   VECTEUR  ACCELERATION  

Expression  en  coordonnées  cartésiennes  

•  Vecteur  accéléra.on  

( ) ^{t x u}

^{y u}

^{z u}

a =   +   +  

5.   VECTEUR  ACCELERATION  

Expression  en  coordonnées  polaires  /  cylindriques  

•  Vecteur  accéléra.on  

–  Composante  radiale  

–  Composante  orthoradiale  

( )

θ ρ θ

ρ

θ ρ

ρ

ρ

θ θ ρ

ρ

 



 

 





2

² +

=

−

=

+ +

=

a a

u z u

a u

a t

a

5.   VECTEUR  ACCELERATION  

Cas  du  mouvement  plan  (base  de  Freinet)  

•  Vecteur  accéléra.on  :  +  

–  Composante  tangen.elle  :  a

•  indique  si  la  valeur  de  la  vitesse  change  

•  mvt  uniforme  :    a_t  =  0  

–  Composante  normale  centripète  :  a

•  toujours  posi.ve  

•  toujours  tournée  vers  le  centre  de  courbure  de  la   trajectoire  au  point  considéré  

•  indique  que  la  direc.on  du  vecteur  vitesse  change  

•  mvt  rec.ligne:    a_n  =  0  

​.↓% =​/'//% 

​.↓, =​"²/1 

5.   ACCELERATION  

Accéléra<on  angulaire  

•  Vecteur  accéléra.on  angulaire  

u z

dt

d   

ω θ

=

Sommaire  

1.   Défini.on   2.   Référen.el   3.   Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.  Vecteur  accéléra.on  

6.  Exemples  de  mouvement  

–  Mouvements  rec.lignes  

–  Mouvements  circulaires  

–  Mouvement  parabolique

7.  Récapitula.f  

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

•   Mouvements  rec.lignes  

– 

Quelconque  

Uniforme  

– 

Uniformément  varié  

Sinusoïdal  

•  Mouvements  circulaires  

– 

Quelconque  

Uniforme  

– 

Uniformément  varié  

Sinusoïdal  

•   Mouvement  parabolique  

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  

•  Trajectoire  =  por.on  de  droite  

•  Une  seule  composante  pour  :  

– 

Posi.on  :  

Vitesse  :  

– 

Accéléra.on  :  

•  Origine  O  :  posi.on  de  M  à  t  =  0  

( ) ^t

x

( ) ^{t u}

^{v u}

x

v    

=

=

( ) ^{t u}

^{a u}

x

a    

=

=

( ^{t = 0} ) ^{= 0}

x

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  quelconque  

•  Vecteur  accéléra.on  fonc.on  quelconque  du   temps  

•  Des  condi.ons  ou  les  condi.ons  ini.ales  (à   t=0)  permehent  de  déterminer    V

 et  x

.  

( ) ^{t v} ( ) ^{t x f} ( ) ^{t dt x v} ( ) ^{t dt}

f x

a ^{=  = ⇒ =  =} ∫ ^{⇒ =} ∫

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  uniforme  

•  Vecteur  vitesse  constant  

( )

( )

t V x x

x t

V x

V x

V u x

v u

t x v

u V V

t v

x a

x x

x

0 .

. 0

0 0

0 0

0

0 0 0

=

⎭ ⎬

⎫

=

+

=

⇒

=

⎪⎭ =

⎪ ⎬

⎫

=

=

=

=

=

=



 



6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  uniformément  varié  

•  Vecteur  accéléra.on  constant  +  mouvement  rec.ligne  

•   Des  condi.ons  ou  les  condi.ons  ini.ales  (à  t=0)   permehent  de  déterminer    V

 et  x

.  

( )

( )

0 0

0 0

0 0

0 0 0

.

² 2 .

. t v x 1 a t V t x

a x

a x

a u x

a u

t x a

u a

a t

a

x x

x

+ +

=

⇒ +

=

⇒

=

⎪⎭ =

⎪ ⎬

⎫

=

=

=

=





 

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  sinusoïdal  

•  Équa.on  horaire  fonc.on  sinusoïdale  du  type

avec  :  

—

—  X

 :  amplitude  maximale  du  mouvement  

—  Phase  Φ  à  l’instant  t  :    

( )

( ) ( )

( ) ^ω ( ^{ω ϕ} )

ϕ ω

ω ϕ ω

+

−

=

=

+

−

=

=

+

=

t X

t a x

t X

t v x

t X

x

m m m

cos

² sin cos





( ) ^{t ω t ϕ}

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  rec<ligne  sinusoïdal  (suite)  

•  Équa.on  différen.elle  

0

² = + x

x ^ ω

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  circulaire  quelconque  

•  Voir  doc  récapitula.f   Mouvement  circulaire  

•  Trajectoire  =  cercle  de  centre  O  et  de  rayon  R  

•  Origine  O  :  centre  du  cercle  et  axe  Oz  

perpendiculaire  au  plan  contenant  la  trajectoire  

•  Equa.ons  horaires  en  coordonnées  polaires  

cte

ρ = R =

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  circulaire  uniforme  (suite)  

•  Vecteur  vitesse  angulaire  constant  

( )

( )

ω

θ ω

θ θ

θ

ω θ θ

u R

v

t t

cte dt t

d

0

0 0

0

0

.

0

=

+

=

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

=

=

=

=

= 

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  circulaire  uniforme  (suite)  

•  Vecteur  accéléra.on  

–  Composante  tangen.elle  nulle  

–  Composante  normale  

ð  Mouvement  accéléré  à  accéléra.on  centripète  

= 0 a

ω

ω ^{u R u} R

R u a v

a

²

²

²

0

0

= −

=

=

=

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  circulaire  uniformément  varié  

•  Vecteur  accéléra.on  angulaire  constant  

•  Les  condi.ons  ini.ales  (à  t=0)  ou  des  condi.ons   par.culières  permehent  de  déterminer                et              .  

! !! = ! !!

= cte

! ! = ! !!

^.t + ! !

! = 1 2

! !!

^.t

+ ! !

^.t + !

θ ^

θ

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  circulaire  sinusoïdal  

•  Équa.on  horaire  fonc.on  sinusoïdale  du  type

( ^{ω ϕ} )

θ = Θ

cos t +

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  parabolique  

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  parabolique  (suite)  

•  Condi.ons  ini.ales  

•  Vecteur  accéléra.on  

•  Vecteur  vitesse  

z x

z z

xux v u v u v u

v v

t v

z t

z

x t

x

α α

) 0 (

0 )

0 (

0 )

0 (

0 0

0 0 0

0 0

+

= +

=

=

=

=

=

=

=

=

=

0

0 a z

a x

=

= =





OM! "!!!

=

x = v_0x.t

1 ₂

•  Vecteur  posi.on  

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  parabolique  (suite)  

•  Trajectoire  

– 

Si  V

 =  0  

 mouvement  rec.ligne  uniformément  varié   suivant  z  

– 

Si  V

 ≠  0  

 mouvement  rec.ligne  uniformément  varié   suivant  z  +  mouvement  rec.ligne  uniforme  suivant  x  

 équa.on  de  la  trajectoire  

z = 1

2 a₀ x v_0x

!

"

# $

%&

2

+v_0z x v_0x

!

"

# $

%&

z = 1

a x²

+ xtan

!

6.   EXEMPLES  de  MOUVEMENT  

Mouvement  parabolique  (suite)  

•  Flèche  h    

– 

Al.tude  maxi  que  peut  aheindre  le  point  mobile  

•  Portée  d  

– 

Distance  maxi  que  peut  aheindre  le  point  mobile  

²

α

0² g h = v

2

α

²sin

0

g d = v

Sommaire  

1.   Défini.on   2.  Référen.el   3.  Repère  

4.   Vecteur  vitesse  

5.   Vecteur  accéléra.on  

6.   Exemples  de  mouvement  

7.   Récapitula<f   è  travail  perso  

7.   Récapitula<f  

•  Système  de  coordonnées  cartésiennes  et  polaires   ou  cylindriques  +  passage  de  l’un  à  l’autre  

•  Expression  des  vecteurs  posi.on,  vitesse,  vitesse   angulaire,  accéléra.on  et  accéléra.on  angulaire   dans  les  différents  systèmes  de  coordonnées  

•  Passages  du  vecteur  posi.on  au  vecteur  vitesse,   du  vecteur  vitesse  au  vecteur  accéléra.on  

•  Défini.on  de  quelques  mouvements  par.culiers