Mécanique du point

Mécanique  du  point    

2bis.  Compléments  au  chap.  2  

THEOREME  du  MOMENT  CINETIQUE  

Sommaire  

1.  Rappels  et  constata6ons   2.  Moment  ciné6que  

3.  Théorème  du  moment  ciné6que  

1.  RAPPELS  et  CONSTATATIONS  

Principe  d’inerGe  (1^e  loi  de  Newton)  

Dans  un  référen6el  (R)  Galiléen,  le  centre   d'iner6e  de  tout  système  matériel  

mécaniquement  isolé,  est  soit  au  repos  soit  en   mouvement  rec6ligne  uniforme.  

G  

Principe  Fondamental  de  la  Dynamique  (2^e  loi   de  Newton)  

Dans  un  référen6el  Galiléen,  la  somme  

vectorielle  des  forces  extérieures  appliquées  à   un  système  est  égale  à  la  dérivée  par  rapport  au   temps  du  vecteur  quan6té  de  mouvement  du   centre  d'iner6e  de  ce  système.  

∑ ^F

^{= d} _dt ^p

 

Théorème  du  centre  d’inerGe  

Dans  un  référen6el  Galiléen,  le  mouvement  du   centre  d'iner6e  d’un  système  matériel  est  le  

même  que  celui  d’un  point  matériel  coïncidant   avec  ce  centre,  point  qui  aurait  comme  masse  la   masse  totale  du  système  et  auquel  on  

appliquerait  la  somme  des  forces  agissant  sur  le   système.  

∑

a)  Rappels  

•  Principe  d’iner6e  

•  PFD  

•  Théorème  du  centre  d’iner6e  

•  Mvt  de  G  =  repos  ou  transla6on  rec6ligne   uniforme  

→  mvt  de  G   (c.i.  du  solide)  

b)  ConstataGons  

•  Exemple  d’une  6ge  homogène  

G  

F 

F 

Mvt  de  rota6on   de  la  6ge  autour   de  G  

 G  au  repos  ou   en  tl  rec6ligne   uniforme  

•                                                                     ⇒  mouvement  de  G  connu  

•  Mouvement  du  solide  →  rota6on  autour  de  G   généré  par  l’ensemble  des  deux  forces  

•  Les  forces                                forment  un  couple  :  

ensemble  de  deux  forces  de  résultante  nulle   mais  suscep6ble  de  faire  tourner  le  système.  

⇒ Equilibre  d’un  solide  :  2^e    loi  de  Newton  +   condi6on  sur  la  rota6on  possible  ou  pas  du   solide  

⇒ Nouvelle  grandeur  ciné6que  :  le  moment   cinéGque  

2

0

1

 

 + F = F

2

1 & F

F 

2

1 & F

F 

2.  MOMENT  CINETIQUE  

a)  NoGon  de  Moment  

X OM

) (X M _O  )

(X M_O 

Δ

O  

uΔ

M   Δ

•  Référen6el  galiléen  R(O,x,y,z)  

•  Point  O  fixe  dans  R

•  Grandeur  physique  vectorielle            associée  à   un  point  d’applica6on  M  :  

–  Force    

–  Vecteur  qté  de  mvt  

X F

v m p 

=

•  Moment  de            par  rapport  à  un  point  fixe  O  :  

⇒ Vecteur  perpendiculaire  au  plan  défini  par   la  grandeur              et  le  vecteur  posi6on  

X

X OM

X

M 

 

∧ ) =

(

X

OM

•  Moment  de          par  rapport  à  un  axe  Δ  passant   par  le  point  fixe  O  :  

⇒ Valeur  algébrique    

X

Δ Δ

X = M X u M

 

 

).

( )

(

b)  Moment  cinéGque  

•  masse  ponctuelle  m  située  au  point  M  et  de   vitesse          à  un  instant  t  

•  Moment  ciné6que              de  M  par  rapport  au   point  O  =  moment  de  sa  quan6té  de  

mouvement  

⇒ Vecteur  perpendiculaire  au  plan  défini  par   et  

LO

v m OM

L 



∧

=

v

v OM

•  Moment  ciné6que                de  M  par  rapport  à   l’axe  Oz  =  projec6on  de              sur  l’axe  Oz  

⇒ Valeur  algébrique,  composante  de                sur   l’axe  Oz  

LOz

z O

Oz

L u

L  

= .

LO

LO

•  Exemple  :  dans  le  plan  (Oxy),  point  M  en   rota6on  autour  de  l’axe  Oz  

– signe  de  L_oz  →  sens  de  rota6on  de  M  

c)  Moment  d’une  force  

•  Force            appliquée  en  M  

•  Moment  de          par  rapport  au  point  O  

⇒ Vecteur  perpendiculaire  au  plan  défini  par   et  

F OM

F

M 

 

∧ ) =

(

F

F OM

F

•  Moment  de          par  rapport  à  l’axe  Oz  =   projec6on  de                                sur  l’axe  Oz  

⇒ Valeur  algébrique,  composante  de                    sur   l’axe  Oz  

F

z O

Oz

M F u

M    ).

= (

) (F M_O 

MO

•  Cas  par6culiers  

—             et                    colinéaires  alors    

⇒             est  une  force  centrale  (force  dont  la   direc6on  passe  toujours  par  le  point  O)  

—                 //  Oz  alors                              

⇒ Le  moment  par  rapport  à  un  axe  d’une  force   parallèle  à  l’axe  est  nul.  Seule  les  

composantes  des  forces  situées  dans  un  plan   perpendiculaire  à  l’axe  peuvent  donner  un   moment  (par  rapport  à  l’axe)  non  nul.  

F

OM M^_O ⁽F^) = OM ∧ F^ = ^0

F F

= 0

MOz

(

)

— Si  la  ligne  d’ac6on  de  la  force  passe  par  l’axe,   le  moment  de  ceee  force  par  rapport  au  point   d’intersec6on  est  nul  et  donc  sa  projec6on  

suivant  l’axe  est  nulle  aussi  :  le  moment  par   rapport  à  un  axe  d’une  force  dont  la  ligne   d’ac6on  passe  par  l’axe  est  nul.  

⇒   Forces  perpendiculaire  à  l’axe  

3.  THÉORÈME  du  MOMENT   CINÉTIQUE  

a)  Théorème  du  moment  cinéGque  

La  dérivée  (par  rapport  au  temps)  du  moment  

ciné6que  d'un  point  matériel  M  par  rapport  à  un   point  fixe  O  dans  un  référen6el  (R)  galiléen  est   égale  à  la  somme  des  moments  par  rapport  au   même  point  O  des  forces  extérieures  appliquées   au  point  M.

∑

=

(

)

O

M F

dt L

d   

b)  Cas  où  M  est  en  rotaGon  autour  d’un  axe  Δ La  dérivée  (par  rapport  au  temps)  du  moment  

ciné6que  d'un  point  matériel  M  par  rapport  à  un   axe  fixe  Δ  dans  un  référen6el  (R)  galiléen  est  

égale  à  la  somme  des  moments  par  rapport  à  ce   même  axe  Δ  des  forces  extérieures  appliquées   au  point  M.

∑

=

(

)

Oz

M F

dt

dL 

c)  Remarque  et  conséquences  

•  Point  matériel  en  rota6on  autour  d’un  axe  fixe  

→  PFD  ou  théorème  du  moment  ciné6que  

⇒     

⇒                                                           mouvement  plan  

⇒                                                           mouvement  rec6ligne  ou  vitesse    nulle  dans  le  référen6el  d’étude  

⇒     Intérêt  :  th.  important  pour  l’étude  des  solides  en                   équilibre  ou  pas.  

cte L

F

M

= ⇒

=

∑ ^{ (  ) 0   0 }

⇒

≠ 0

 LO

⇒

= 0

 LO