EXAMEN TERMINAL de compléments de mécanique quantique EMSUA1B1

M1 Sciences de l'univers et technologies spatiales

année 2017/2018

EXAMEN TERMINAL de compléments de mécanique quantique EMSUA1B1

Session du 26 juin 2018

Durée : 1h30 - Tous documents interdits

Questions de cours :

 A quelle condition un opérateur A est-il hermitique ?

 Soit Pi l’opérateur de projection. Rappeler sa définition dans la base │ui> et donner la relation de fermeture.

 Rappeler la correction à l’ordre 1 de l’énergie pour une perturbation stationnaire W d’un état non-dégénéré.

Exercice OPERATEUR D’EVOLUTION D’UN SPIN 1/2

On considère un spin ½, de moment magnétique M = S, plongé dans un champ magnétique B0 de composante Bx = - x / , By = - y / , Bz = - z / . Le terme d’interaction magnétique vaut alors WM .B₀. On pose 0 = -  B₀ .

1. Montrer que l’opérateur d’évolution de ce spin s’écrit U(t,0)exp



iMt



avec



xSx ySy zSz



M   



1 .

Calculer la matrice représentant M



xxyyzz



2

1 dans la base



 , 



des vecteurs propres de Sz. On rappelle que 

 



 0 1

1 0

x , 

 



 

 0

0 i

i

y et 

 





 

1 0

0 1

z sont

les trois matrices de Pauli.

Montrer enfin que ²



^{2 2 2}



^{0 2}

2 4

1 



 









 _x _y _z 

M .

2. Mettre l’opérateur d’évolution sous la forme 



 



 



 



 

sin 2 2

cos 2 ) 0 ,

( ⁰

0

0 t

i M t t

U 



 . On

rappelle les relations

)!

2 ) ( 1 ( ) cos(

2

n x x

n

n



^ n

 et

)!

1 2 ) ( 1 ( ) sin(

1 2

 





^x_n ^

x

n

n

n . Expliciter la matrice U(t,0)correspondante.

3. On considère un spin qui à l’instant t = 0 est dans l’état 

 

0   .

Montrer que la probabilité P++(t) que l’on a de le trouver à l’instant t dans l’état  est donnée par P_(t) U(t,0) ², et établir la relation 



 



 



 

 ( ) 1 ₂ sin² 2⁰

0 2

2 t

t

P ^{x y} 





 .

Interprétation géométrique.