Mécanique du point
3. OSCILLATEURS MECANIQUES Ø Oscillateurs forcés
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Sommaire
1. Objec2fs
2. Oscilla2ons forcées 3. Etude de l’élonga2on 4. Etude de la vitesse
1. OBJECTIFS
• Savoir u2liser la nota2on complexe pour la résolu2on du problème de l’oscillateur forcé.
• Comprendre qu’un oscillateur peut, en étant excité et sous certaines condi2ons
d’amor2ssement, entrer en résonance.
• Assimiler la no2on de résonance en
mécanique en faisant la différence entre
l’évolu2on de l’amplitude et celle de la vitesse en fonc2on de la fréquence de pulsa2on.
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2. OSCILLATEURS FORCES
a) DéfiniIons
• Oscillateur harmonique
• Oscillateur amor2
⇒ Oscilla2ons libres de période
déterminée par les caractéris2ques de
l’oscillateur
• Remédier à l’amor2ssement des
oscilla2ons (ex. balancier d’horloge)
– apporter l’énergie juste nécessaire pour compenser les pertes et entretenir les oscilla2ons
– le système con2nue à osciller avec la même période que celle fixée par le système
⇒ Oscilla2ons entretenues
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• Forcer l’oscillateur à osciller à une fréquence différente de celle avec laquelle il oscille librement
⇒ Oscilla2ons forcées
• Amplitude des oscilla2ons ↗↗ dans certaines condi2ons
⇒ Résonance ⇒ rupture
b) Le pendule élasIque verIcal
• Quatre cas
1) Ressort AB au repos :
• longueur l
02) {Ressort + masse} à l’équilibre :
• longueur l
e• allongement Δ l
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3) {Ressort + masse} déformé :
• allongement Δl = l – l0 = Δle + x(t)
4) {Ressort + masse} soumis à une vibra2on extérieure :
• déplacement de A par rapport à sa posi2on d’origine Ω
• allongement Δl = Δle + x(t) – X(t)
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O Ω
fixeA A A
A
B
l
0Δ l
ex(t)
X(t)
x
u
x• Résolu2on du problème de dynamique → équa2on différen2elle du mouvement
avec F(t) force excitatrice sinusoïdale
e amplitude des oscilla2ons F = ke amplitude de la force
) ( )
( .
) ( . )
( . )
(
. x t x t k x t k X t F t
m + α + = =
) cos(
) cos(
)
( t ke t F
0t
F = ω = ω
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• Équa2on obtenue
⇒ équa2on différen2elle de
l’oscillateur amor2 auquel on
applique une force excitatrice F
F x
k x
x
m . + α . + . =
c) SoluIon de l’équaIon différenIelle
• SG = SG ESSM + SP EASM
– Solu2on Générale de l’Equa2on Sans
Second Membre : correspond au régime transitoire avec retour à la posi2on
d’équilibre (cf. oscillateur amor2)
– Solu2on Par2culière de l’Equa2on Avec Second Membre : correspond au régime permanent → mouvement sinusoïdal de même pulsa2on que la force excitatrice mais de phase différente (déphasage ϕ)
EvoluIon de l’amplitude de l’oscillateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement
L’amplitude passe par un maximum pour une valeur proche mais inférieure à la pulsa;on propre sauf si l’amor;ssement devient trop fort.
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EvoluIon de la phase de l’oscillateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement
ÉvoluIon de la vitesse du résonateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement.
La résonance de vitesse se produit toujours à la pulsa;on propre du résonateur et elle est d’autant plus aigüe que l’amor;ssement est faible.
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ÉvoluIon de la phase de la vitesse du résonateur par rapport à la phase de l’excitateur en foncIon de la pulsaIon de l’excitateur pour différentes valeurs de l’amorIssement.
Bandes passantes observées pour deux valeurs de l’amorIssement Pour une valeur de Q élevée, la résonance est aiguë et la bande passante étroite.
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