Mécanique du point

(1)

Mécanique du point

4.   TRAVAIL – ENERGIE -‐ PUISSANCE

(2)

Sommaire

1.   Objec3fs

2.   Travail d’une force

3.   Puissance d’une force 4.   Energie

5.   États liés et stabilité d'un système mécaniquement isolé

6.   Chocs entre par3cules

(3)

1.   OBJECTIFS

•  Savoir calculer le travail d’une force (variable ou pas) sur un déplacement quelconque

•  Savoir u3liser le théorème de l’énergie ciné3que

•  Savoir déterminer l’énergie poten3elle dont dérive une force conserva3ve

•  Savoir u3liser l’énergie mécanique pour

résoudre des problèmes

(4)

2.   TRAVAIL d’une FORCE

a) DéﬁniJon

(5)

• –  force appliquée en un point M se déplaçant sur une courbe AB

–  peut varier avec la posi3on du point M sur la courbe

• –  déplacement inﬁniment pe3t du point M

–  déplacement aussi pe3t qu'on veut → n'a pas le temps de changer

( ) ^M ^:

F 

:

' d M

MM l

d  

=

( ) ^M

F 

(6)

•  Travail élémentaire de la force sur le dépl.

⇒   produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement

•  Travail de la force sur le déplacement AB :

( ) ⁼ _∫ ( ) ⁼ _∫ ^B ^{( )}

A B

A

AB F W F F M d l

W    

δ .

( ) ^F

W 

δ

:

' d M

MM l

d  

=

( ) ^F ^F ^d ^l

W   

= .

δ

( ) ^F

W _AB 

en Joule (J)

1 J = travail d’une

force de 1 N sur

1 m

(7)

b) Exemple 1 Force constante

(8)

•  vecteur constant sur le trajet AB

•  travail de la force sur [AB] → même résultat

⇒   Le travail d'une force constante ne dépend pas du

chemin suivi mais uniquement de la distance directe AB et de l'angle α que fait la force avec le segment AB

( )

( ) ^{( )} ^α

δ

cos .

. .

AB F

l d F

l d M F

F W

l d F F

W

B A B

A

AB

= = = =

⇒

=

∫

∫ ^ ^ ^ ^



 



( ) ^:

, F M F

M  

=

∀

(9)

•  Force motrice

–  α < π/2 ⇒ cos α > 0 –  W

_AB

(F) posi3f

–  Travail moteur

•  Force résistante

–  α > π/2 ⇒ cos α < 0 –  W

_AB

(F) néga3f

–  Travail résistant

F

A α B

M

F

A α B

M

(10)

•  Force ⊥ déplacement

–  α = π/2 ⇒ cos α = 0 –  W

_AB

(F) nul

–  Travail nul

F

A α B

M

(11)

c) Exemple 2 Force constante → le poids d'un corps

(Axe z ver3cal vers le haut)

( ) ^P ^P ^d ^l ^P ^AB

W

_AB



^B

 .   .

=

= ∫

(12)

•  En u3lisant le cosinus de l’angle α entre et :

•  En u3lisant les composantes des vecteurs et dans la base cartésienne :

( ) ⁽

^A ^B

⁾

AB

P mg AB mg z z

W ^ = ^. ^. ^cos α = −

mg g

m et

z z

y y

x x

AB

A B

−

=

−

= 0

 0

P 

AB

( u 

x

u 

y

u 

z

) AB ,

,

( ) ⁽

^B ^A

⁾

AB

P P AB mg z z

W  =  . = − −

(13)

•  Travail du poids en fonc3on de la diﬀérence d’al3tude :

–  ⇒ ⇒ point M ↓ ⇒ W moteur –  ⇒ ⇒ point M ↑ ⇒ W résistant

( ) ^P ^mg ^h

W

_AB

 = − Δ

( ) ^P ^> ⁰

W

_AB



< 0 Δh

> 0

Δh ^W

^AB

( ) ^P ^ ^< ⁰

(14)

d) Exemple 3 Force non-‐constante → la

tension d'un ressort Ressort : raideur k Masse m

Au repos : -‐ long. l

₀

E3ré : -‐ long. l

-‐ allongement Δ ^l -‐ déplacement élémentaire

u dx l

d  

=

:

l

d 

(15)

•  Tension du ressort :

•  Travail élémentaire sur un dépl. élémentaire

•  Travail de la tension du ressort de A à B :

( )

_x _x

x

k l l u k x u

u l k

T    

−

=

−

= Δ

−

=

₀

dx x

k u

dx u

x k l

d T

W =   = − 

_x



_x

= − .

δ .

: l d 

( )

^B

A

x

x B

A B

A AB

k x dx

x k

dx x

k T

W ⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡

=

−

=

−

= ∫ ∫ ₂ ^²



( ) ₂ ¹

^A

^² ₂ ¹

^B

^²

AB

T k x k x

W  = −

(16)

⇒   Le travail de la tension du ressort ne dépend

pas du chemin suivi mais uniquement de la

posi3on ini3ale et ﬁnale du ressort

(17)

a) DéﬁniJon

•  Un même travail ΔW peut être eﬀectué pendant une durée Δ t plus ou moins importante. Plus une force pourra eﬀectuer un même travail rapidement plus la puissance sera grande.

•  Puissance moyenne :

3.   PUISSANCE d’une FORCE

P

_m

= ! W

! t

en Wal (W)

1 W = 1 J pendant 1 s

(18)

•  Puissance instantanée :

–  travail eﬀectué par une force pendant la durée dt

–  puissance de cele force

•  Ce qui donne :

P t ( ) ⁼ ^! ^W

dt =

F.d ! ! l

dt = !

F. d ! l

dt = ! F. !

v

:

δ w ^F ^

( ) ^t ^:

P

! ^W = P t ( ) ^dt ⁼ ^F. ^! ^{v dt} ^! ^! ^W

^AB

⁼ ^F. ^! ^{v dt} ^!

B

"

(19)

a) DéﬁniJon

•  Energie mécanique E :

–  Energie ciné3que E

_c

→ liée au mouvement du point –  Energie poten3elle E

_P

→ liée à la posi3on du point

4.   ENERGIE

(20)

b) Energie cinéJque

•  Point matériel G se déplace, dans un référen3el Galiléen (R), sous l’ac3on d’un ensemble de forces extérieures :

•  Au cours d'un déplacement élémentaire , la somme des travaux élémentaires des forces

extérieures est donnée par :

F !

_ext

! ⁼ ^m ^a ^!

^{G R}

⁼ ^m ^d

v !

_G

dt d l 

G G

ext

m v d v

dt l v d

d m l

dt d v m d

l d

F   

 

 . = . = = .

∑

(21)

•  L’intégra3on de cele rela3on sur un trajet AB donne :

F !

_ext

! ^. ^d ^l ^!

v_A v_B

" ⁼ ^! ^W

^AB

( ) ^F ^!

^ext

m !

v

_G

. d ! v

_G

v_A v_B

" ⁼ ^m ^# _$% ¹ ₂ ^v

²

^& _'(

v_A v_B

= 1

2 m v

_B²

) 1

2 m v

_A²

(22)

•  Pour un point matériel de masse m se

déplaçant à la vitesse v dans un référen3el (R) galiléen, la fonc3on d’état énergie

ciné3que E

_c

est déﬁnie par :

2 ²

1 m v

E

_C

=

(23)

-‐ = Δ E

_c

Théorème de l’énergie cinéJque

•  Dans un référen3el galiléen, la varia3on d'énergie ciné3que d’un point matériel, soumis à un ensemble de forces extérieures, entre une posi3on A et une posi3on B, est égale à la somme des travaux de ces forces entre ces deux points.

∑

^→

( )

=

−

_A _A _B _ext

B

m v W F

v

m 

2 ²

² 1 2

1 E

_c

(B) E

_c

(A)

(24)

c) Energie potenJelle

•  Forces conserva3ves (notées )

–  forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du point de départ et du point d'arrivée.

–  Ex. : travail du poids, travail de la tension du ressort, travail d’une force constante

•  Forces non conserva3ves (notées )

–  autres forces dont le travail dépend du chemin suivi –  Ex. : les forces de frolement.

C

F 

ext

extNC

F 

(25)

•  Par déﬁni3on le travail des forces conserva3ves ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de l’état ini3al et ﬁnal.

•  Le travail de ces forces s’exprime à l’aide d’une fonc3on d’état appelée énergie poten3elle E

_p

.

•  La varia3on d'énergie poten3elle entre deux

points A et B est égale à l'opposé du travail de la force conservaJve entre ces deux points.

W

_A!B

! F

_ext^C

( ) ⁼ ^" ⁽ ^E

^p

^{( )} ^B ^" ^E

^p

^{( )} ^A ⁾

(26)

z p

y p

x p

p C

ext

u

z u E

y u E

x E E

grad

F    

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

−

=

•  Forme intégrale :

•  Forme diﬀéren3elle :

•  Forme locale :

( ) ⁻ ( ) ⁼ ⁻ ∫

B A

C ext p

p

B E A F d l

E  

.

( ) ^F

^ext^C

^F

^ext^C

^d ^l ^dE

^p

W  =   = −

δ .

20/02/17 26

(27)

d) Energie potenJelle de pesanteur

•  Pesanteur → force conserva3ve

•  Déﬁni3on intégrale (d’après §2c) :

W

_AB

!

( ) P ⁼ ^P ^! ^. ^{" !} ^AB ^"" ⁼ ^{mg z} ⁽

^A

^! ^z

^B

⁾ W

_AB

!

( ) P ⁼ ^E

^pp

^{( )} ^A ^! ^E

^pp

^{( )} ^B ⁼ ^!" ^E

^pp

#

$ %

&%

' E

_pp

( ) z

E

_pp

( ) z ⁼ ^{m g z} ⁺ ^cte

C

F 

ext

E

_pp

ne dépend

que de z, posi3on du c.i. du système

—  Axe Oz ver3cal vers le haut

—   E

_pp

(0)=0 ⇒ cte=0

(28)

•  Déﬁni3on diﬀéren3elle (d’après §2a) :

( ) ^z ^m ^g ^z ^cte

E

_pp

= +

) (

) .(

) (

. )

(

pp z y

x z

E d

z g m d

dz g

m P

W

u dz u

dy u

dx u

g m P

W

l d g m P

W

−

=

−

=

−

=

+ +

−

=



 



δ δ δ

—   Repère (O,x,y,z)

—  Axe Oz ver3cal vers le haut

(29)

•  Déﬁni3on locale :

z z

pp

z pp

y pp

x pp

C pp ext pp

u g m dz u

P dE

z u u E

y u E

x P E

E grad

F P P

z g m E



 



 



−

=

−

=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

−

=

⎪⎭ ⇒

⎪ ⎬

⎫

=

C ext

p F

E 

⇒

(30)

•  L'énergie poten3elle de pesanteur correspond à l’énergie qu’un opérateur a fourni pour

amener la masse m à l’al3tude z :

–  En montant, la masse m emmagasine de l’énergie.

–  En retombant, la masse m res3tue cele énergie.

⇒   L'énergie poten3elle de pesanteur augmente

avec l'al3tude.

(31)

e) Energie potenJelle élasJque

•  Déﬁni3on intégrale (d’après §2d) :

•  Tension du ressort→ force conserva3ve

W

_AB

!

( ) T ⁼ ¹ ₂ ^{k x}

^A²

^! ¹ ₂ ^{k x}

^B²

extC

F  W

_AB

!

( ) T ⁼ ^E

^pe

^{( )} ^A ^! ^E

^pe

^{( )} ^B ⁼ ^!" ^E

^pe

( ) ^x ^k ^x ^cte

E

_pe

= ² + 2

1 ^E

pe

ne dépend

que de x, posi3on de l’extrémité

libre du ressort

—  E

_pe

(0)=0 ⇒ cte=0

(32)

•  Déﬁni3on diﬀéren3elle (d’après §2a) :

( ) ^x ^k ^x ^cte

E

_pe

= ² + 2

1 ⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

=

−

=

2 ² ) 1

(

. .

) (

kx d

dx x

k T

W

u dx u

x k l

d T T

W _x _x



 



δ δ

—  Repère (O,x,y,z)

—  Axe Oz ver3cal vers le haut

(33)

•  Déﬁni3on locale :

x x

pe

z pe

y pe

x pe

pe C

ext pe

u x

k d

dE u T

z u u E

y u E

x T E

E grad T

F T

x k E



 



 



⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

−

=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

−

=

⇒

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

=

2 ² 1 2 ²

1 C ext

p F

E 

⇒

(34)

•  L'énergie poten3elle élas3que correspond à l’énergie qu’un opérateur a fourni pour

l’amener dans cet état :

–  En se comprimant ou en s’é3rant, le ressort emmagasine de l’énergie.

–  En retournant à son état d’équilibre, le ressort res3tue cele énergie.

⇒   L'énergie poten3elle élas3que augmente avec

la déforma3on.

(35)

f) Energie mécanique

•  Point M soumis à des forces ext.

•  M se déplace de A → B

•  D’après le Th. E

_c

c ext nc

ext F

F  

&

! E

_c

= W

_A"B

! F

_ext

( )

#

E

_c

( B ) $ E

_c

( A)

[ ] ⁼ ^# ^W

^A^"^B

( ^Fn ^!

^ext^nc

) ⁺ ^# ^W

^A^"^B

( ) ^F ^!

^ext^c

E

_c

( B ) $ E

_c

( A)

[ ] ⁺ _%& ^E

^p

⁽ ^B ⁾ ^$ ^E

^p

⁽ ^A ⁾ _'( ⁼ ^# ^W

^A"B

( ) ^F ^!

^ext^nc

E

_c

( B ) + E

_p

( B)

%& '($ %& E

_c

( A ) + E

_p

( A) '( = W

_A"B

!

F

_ext^nc

( )

#

(36)

Point M soumis à des

forces ext. L’énergie mécanique E d’un système est égale à la somme des

énergies ciné3que et poten3elle. C’est une fonc3on d’état :

E = E _c + E _p

M

c ext nc

ext F

F  

&

(37)

Théorème de l’énergie mécanique E

•  La varia3on d'énergie mécanique E d'un

système entre deux points A et B est égale à la somme des travaux des forces non

conserva3ves appliquées au système entre ces deux points :

•  forces non conserva3ves = forces résistantes

⇒   E d'un système ↓ au cours du temps

∑

^→

( )

=

−

=

Δ E E B E A W

_A _B

F 

_ext^nc

)

( )

(

(38)

Théorème de l’énergie mécanique pour un système conservaJf

•  Système conserva3f :

–  système qui ne subit que des forces extérieures conserva3ves. Le système est dit aussi

« mécaniquement isolé ».

•  L'énergie mécanique d'un système conserva3f se conserve au cours du temps :

= 0

⇒

= +

= dt

cte dE E

E

_c _p

(39)

5.   ÉTATS LIÉS D'UN SYSTÈME MÉCANIQUEMENT ISOLÉ

a) Etats liés déﬁnis par :

⇒   Condi3on restreignant les états énergé3ques possibles du système

0 0 2 ²

1 ⇒ − >

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

>

=

= +

=

p c

E v E

m E

cte E

E

(40)

b) Exemple {Masse + ressort}

k x E

x k x

x E k

E 2 _m _m 2

0 2 ²

1 ≥ ⇒ − = − ≤ ≤ =

−

Puits de potenJel

E

2 ² 1k x E_p =

E

_c

E

_p

(41)

c) Stabilité d'un système

•  Recherche d'un état d'équilibre pour un système conserva3f pour lequel l'énergie poten3elle associée ne dépend que d'une variable appelée x.

•  Posi3on d’équilibre ⇒ extremum de la fonc3on énergie poten3elle

0 0 ⇒ − =

=

−

=

−

=

dx F dE

dx u E dE

grad F

p

x p

p

 

(42)

Equilibre dit :

–  Stable → si, à la suite d’une perturba3on qui a

éloigné le système de la posi3on d’équilibre, celui-‐

ci y retourne spontanément

–  Equilibre stable pour x = x

₀

⇒ E

_p

(x

₀

) minimale

–  Instable → cas contraire

–  Equilibre instable pour x = x

₀

⇒ E

_p

(x

₀

) maximale

0 )

² ( 0 ²

)

( ₀ ₀

0 ⇔ = >

= x

dx E et d

dx x x dE

x ^p ^p

0 )

² ( 0

)

( = <

⇔

= d E x

et dE x

x

x ^p ^p

(43)

•  Un système, livré à lui-‐même, évolue donc

spontanément vers un état d’équilibre qui

correspond à une posi3on pour laquelle

l’énergie poten3elle est minimale.

(44)

6.   CHOCS entre PARTICULES

O

v  1 v  ₁ '

v  2

2 ' v 

OC CH

(45)

a) DéﬁniJon

•  Référen3el galiléen

•  Deux par3cules (ou points matériels)

indépendantes mécaniquement isolées :

–  masses m

₁

et m

₂

–  mouvements rec3lignes et uniformes dans le plan –  vitesses et

•  Rencontre des deux billes ⇒ CHOC

•  Après le choc (durée très courte) :

–  mouvements rec3lignes uniformes –  nouvelles vitesses et

v  1

v  2

1 ' v 

2 '

v 

(46)

b) Propriétés

•  ConservaJon de la masse

–  les par3cules ne changent pas de nature après le choc

⇒   Les 2 masses m

₁

et m

₂

restent iden3ques

avant et après le choc

(47)

•  ConservaJon du vecteur quanJté de mouvement totale

ParJcule

m

₁

ParJcule

m

₂

Ensemble

{m

₁

,m

₂

}

Avant le

choc Mécaniquement

isolée Mécaniquement

isolé

Pendant le choc

Ac3on de m₂ → m₁ =

ac3on extérieure Ac3on de m₁ → m₂ =

ac3on extérieure Aucune ac3on ext.

Ac3on de m₂ → m₁ ou ac3on de m₁ → m₂ = ac3ons

intérieures

Après le

choc Mécaniquement

isolée Mécaniquement

isolé

(48)

' '

0 p p p ₁ p ₂ p ₁ p ₂

dt p

d    avant  aprés    

+

= +

⇒

=

⇒

=

–  Système {m

₁

,m

₂

} pseudo-‐isolé ⇒ pas de forces extérieures (principe d’iner3e)

⇒   1 rela3on vectorielle → 3 rela3ons algébriques

'

' ₂ ₂

1 1

2 2

1 1 v m v m v m v

m    

+

=

+

(49)

–  Remarque

§  Si non-‐conserva3on de la masse :

m ₁ → m ₁ ’ et m ₂ → m ₂ ’

§  Mais il y a toujours conserva3on de la qté de mvt totale :

' '

'

' ₁ ₂ ₂

1 2

2 1

1 v m v m v m v

m

p

p _avant _aprés



+

= +

⇒

=

(50)

•  ConservaJon de l’énergie

–  Choc de durée assez brève

⇒   posi3on par3cules ne change pas

⇒  

–  Deux cas :

a.   Choc élas3que → conserva3on de E

_c

= 0 Δ E _p

E c

E = Δ Δ

'² '²

²

² ₂ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂

1 1 v m v m v m v

m

E

E _c _avant _c _aprés

+

= +

⇒

=

(51)

b.   Choc inélas3que → E

_c

ne se conserve pas

§  Perte d’énergie par échauﬀement → E

_c

↓

§  avec

§  Choc élas3que : ε = 1

§  Choc mou : les deux par3cules restent liées après le choc

ε

=

avant c

aprés c

E

E 0 ≤ ε ≤ 1

(52)

c) DéterminaJon des vitesses après le choc Vitesses avant le choc

CONNUES

OC CH

Vitesses après le choc

Mécanique du point