COURS D'ANALYSE l .* 7 _~

COURS D'ANALYSE

l .*

_~ 7

Laupent Schwartz

Profess+ur à 1’Ecole Polytechnique et à la F$cultG des Sciences de Paris

Cours

professé 4 1’Ecole Polytechnique, Paris

1

Hermann

115 boulevard Saint-Germain Paris VI

,‘,.’

0 HERMANN, PARIS 1967

Tous droits de reproduction, m&ne fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, Y compris photographie, photocopie, microfilm, bande magn&ique, disque, ou autre, rÇservÇs pour tous Pays.

Toute reproduction, m?me partielle, non expres&ment autorisÇe, constitue une contrefaçon passible des peines pr&nes par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d’auteur.

Chapitre 1

THEORIE DE~ ENSEMBLES

$ 1 ENSEMBLES. OPERATIORS ELEMENTAIRES

Parties d'un ensemb3e . . . Relations d'inclusion complémentaires . . . RÇunion. Intersection . . . Ensemble produit . . . 5 2 APPLICATIONS, FONCTIONS

Exemples d'applications . . . Injections, surjections, bijections . . . Image directe et image réciproque d'une partie . . . Ensembles d'applications. Familles,suites Application Composée . . . Changements de variables et changements de fonctions . . .

0 3 RELATIONS D'EQUIVALENCE, ENSEMBLE QUOTIENT

Classes d'Çquivalence. Partitions ^...

Ensemble quotient ...

8 9 10

11 11 13 14

VIII

Quotient d'un groupe par un sous-groupe invariant . . . Quotient d'un espace vectoriel par un sous espace vectoriel . . .

§ 4 RELATIONS D'ORDRE

Exemples de relation d'ordre ...

Parties majorées, majorants, maximum, bor- ne supérieure ...

Fonctions croissantes ...

Droite achevÇe R ...

$ 5 PUISSANCES. ENSEMBLES DENOMBRABLES

Puissances. Cardinaux ...

Ensembles dénombrables ...

Puissance du continu ...

Nombres transcendants ...

Hypothèse du continu ...

$ 6 QUELQUES PRINCIPES DE LOGIQUE 32 14 15 16 17 19 20 22 22 23 27 29 30 32

TABLE

Chapitre II TOPOLOGIE

§ 1 ESPACES METRIQUES. EXEMPLES ELEMF,NTAIRES 37 Spherea, boules . . . 38 Espaces vectoriels normés . . . 39 5 2 OUVERTS. FERMES. VOISINAGES. INTERIEUR.

FRONTIERE. ADHERENCE. SOUS-ENSEMBLE DENSES Parties ouvertes ...

Partie6 fermées ...

Voisinages ...

Intérieur ...

ExtÇrieur ...

Frontiere ...

Adhérence ...

Sous-ensembles denses ...

Sous-espace. MÇtrique induite ...

0 3 FONCTIONS CONTINUES. HOMEOMORPHISMES

Homéomorphismes . . .

$ 4 ESPACES METRIQUES ET ESPACES TOPOLOGiQUES 54 Topologie de la droite achevée j7z 58 41 41 43 44 46 46 46 47 48 48 50 52

X

9 5 S L U C I I O M T N I E V T S E E . R S G . E N C E S

9 6 P T O R P O O D L U O I G T I E

S c u do u ip an . n tr nv . . . . . eo se sd r u g i e t n t e s

F c o d po n ve ln c a ut t r si i i in o a eu n b ue s l rs e s s

G t r oe o v ps u e op p c la e t oc s o ge r is i q e u l e s s ,

t . . . o p o l o g i q u e s

C p o d a fn 'd rd ot ue te ni n iu cn e ex tu l ii l ot e né

v . . . a r i a b l e s

9 C 7 E S P O P E R M A L O P C E P A E M R C S E I T N E S T T . A E I S R E S

E t s c o p. . . . o t a m a c p l e a e s c m t e s n t

P d o 'd si . . . . a' un cu it cn t ue e m u l a t i o n

L s i e ul mi t pi in ém tf ri eé it r ee i u e r u e r e

d s r ' . . . u é u i e n t l e e l e

5 8 P D RF EC O O S SOU PN U NN RC R T I T I EI N TO U E N E SS S

E C S O P M A P C A E C T

C u o . . . n n i t f i o n r u m i e t é

$ C 9 E S O P N A N C E E X S E S

E c s p ao . . . . . , . . . . p a rn a r cn c se e x s e s

9 C 1 0D OT GE M O S LE PP U EN LO R SE E L R MO A EG L N I E TE S

E C S O P N A N C E E X S E S

Q a u dp l en dep a lo el qt i ui c eo a sn t i o n s

c . . . o n n e x i t 6

E e cx td oli f ernas o étt n -ie c nn t uc i ie o t n é

c d if 's po mut rn onr oc nei qt o c ui t t eo o e n - m e n t

ne continue . . .

5 E M 1 1 S C E P O T A M R C P I E L Q S E U T E S S

P dr a eo up sl np o il n fi g oc e ra m mt e éi n mo t en ns t

c . . . o n t i n u e s

59

6 2

6 4

6 4

6 5

6 6

67 73 74

78

78 85 87 90

92

92 94

98

XI

Priorités particulières aux espaces

vectoriels topologiques de dimension finie

$ 12 THEOREME DJ POINT FIXE

5 13 THEORIE ELEmNTAIRE DES ESPACES VECTORIELS NORMES ET DES ESPACES DE EANACH

Noyau et image d'une application linéaire continue . . . Produits d'espaces vectoriels normes . . . Applications bilinéaires continues d'un produit d'espace vectoriel normé dans un espace vectoriel normé . . . Applications multilinéaires continues . . . .

$ 14 SERIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMES Changement d'ordre des termes d'une série Produit de deux séries numériques. Effet d'une application bilinéaire continue sur deux series . . . ..‘...

Critère de semi -convergence . . . 9 15 EXEMPLES USUELS D'ESPACES FONCTIONNELS ^;

CONVERGENCE SIMPLE ET UNIFORME

Convergence uniforme d'une suite de

fonctions . . . ..*...

Autres emplois de l'expression ^: conver- gence uniforme .,...,...

Espaces faisant intervenir à la fois la structure de E et la structure de F . . . . Séries de fonctions à valeurs dans un es- pace vectoriel normé . . . .,...a..

100 101 104

106 112

114 119 120 123

129

133

137 141 143 145 151

I

XII

$ 16 PRODUITS INFINIS DE NOMBRES OU DE FONCTIONS REE&S OU COMPLEXES

Produit infini et série deslogarithme Produits infinis de fonction6 réelles ou complexes . . . Application h la fonction r de Riemann . . . .

155 156 159 160

Chapitre III CALCUL DIFFERERTIEL

§l ESPACES AFFINES 167

DÇfinition . . . Vari6tés affines . . . Applications linéaires, applications affines . . Espaces affines normÇs . . . Ensembles convexes dans les espaces affines . . . Espaces vectoriels et affines euclidiens . . . Espaces vectoriels et affines hermitiens . . . Isomorphisme (ou semi-isomorphisme) d'un espace

euclidien (ou hermitien) de dimension fini et de son dual . . . ..*...

Bases orthonormales . . . Espaces euclidiens ou hermitiens g&&alisés . .

§2 FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE REELLE CONTINUITE A DROITE, A GAUCXE

168 169 170 172 174 175 176

178 179 181

Discontinuitki de première espèce. Fonctions

régl6es . . . ...*.. 184 D&rivée d'une fonction rÇelle de variable réelle 186 Fonctions convexes . . . 192

XIV

§3 DERIVEE D'UNE APPLICATION D'UN ESPACE AFFINE DANS UN AUTRE. VECTEUR DERIVE D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE SCALAIRE.

Dérivée partielle suivant un vecteur . . . .._.

Matrice dérivée. Déterminant jacobien . . . Insuffisance de la dérivée suivant un vecteur ^. DGrivée totale ou application dérivée . . . .

Interprétation géométrique de l'application dé- rivée ^: variété différeRtiable et variété linéaire tangente . . . .*...

Gradient d'une fonction réelle sur un espace euclidien . . . Dérivée d'une application bilinéaire continue..

Fonctions dérivables, fonctions continûment dhrivables . . . Espaces de fonctions dérivables . . .

4 THEOREME DES FONCTIONS COMPOSEES 214

$5 FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS

§6 DERIVEES D'ORDRE SUPERIEUR

D&rivées successives . . . Cas d'espaces produits ^: Dgrivabilité totale et dérivabilité partielle . . . Espaces de fonctions m fois dérivables . . . .

Dérivées d'un produit (formules de Leibnitz) . .

7 FORMULE DE TAYLOR - MAXIMA ET MINIMA

Applications de la formule de Taylor au calcul de dhrivées de fonctions . . . Applications h l'étude des maxima et minima . . .

192 quart0 193

195

196 197

201 204 209 211 212

232 241 245 250 251 252 257 260 269

xv

THEOREME DES FONCTIONS IMPLICITES

Existence de la fonction implicite . . ..0...

Derivabilité de la fonction implicite . . . .

Fonction réciproque comme fonction implicite . . Calcul des dérivées d'ordre supérieur d'une

fonction implicite . . . Technique du changement de variables et du

changement de fonction . . .

9 VARIETES DIFFERENTIABLES

Définltion d'une varieté par une reprÇsentation parametrique . . . Variétés reelles et varietés complexes . . . .

Varietés abstraites . . . Espace vectoriel tangent en un point d'une va-

riété d'un espace affine E de dimension N . . Espace vectoriel tangent en un point d'une

variété abstraite . . . Théoreme du rang constant . . . Fonctions dépendantes et fonctions independantes Variétés singulières ou paramétriques . . .

s

Manière pratique de procéder pour trouver un maximum ou un minimum relatif lie . . . Applications de la théorie des maxima li&s;

inégalites de H6lder et Minkowski . . .

5 ¹¹ CALCUL DES VARIATIONS

Position du probleme . . . Derivabilité de J . . . Condition nÇcessaire d'extrémum . . . Cas simple d'intégrabilité elémentaire des

Çquations d'Euler . . .

277 278 283 294 299

303 305 306 318 319 323 327 327 ter 332 334

338 341 350 ter 350 ter 353 359 363

XVI

Equation des géodésiques sur une surface ... 3 7 0

Problèmes d'extrêma liés ... 3 7 4

Effets d'un changement de variables ... 3 7 6 Extrémités variables. Conditions de transversa-

bilité ...

Equations canoniques d'Hamilton ...

3 8 2

39

Applications à la Mécanique ... 3 9 2

NOTATIONS

Paragraphe

1

1 1 1 2 2 3 3 3 3 6

6 249

Page 17.6 178 178 179 187 187 194 198 207 213 242

249

251

XVIII l

INDEX

Accroissements finis ...

t Application derivee ...

Applications derivées partielles ...

Applications linéaires, applications affines ...

Application ouverte ...

Atlas ...

Carte ...

Chasles (relation de) ...

Classe cnLpar morceaux (fonction de).

C ab diffeomorphisme ...

Col ...

Contingent vectoriel, contingent affine Derivée partielle suivant un vecteur . . D&riv&e totale ...

D&terminant jacobien ...

DiscontinuitÇ de lere espece ...

Espace affine ...

Espace affine euclidien ...

Espace affine hermitien ...

Espace affine norme ...

Espace t

euclidien

hermitien g&-i&ali& . . . Espace-temps (physique) ...

Extrema lies ...

Fonctions convexes ...

Fonctions dépendantes (independantes).

Paragraphe Page

2 189

5 232

3 197

3 207

2

8 299

7 274

3 ²⁰²

3 193

3 197

3 195

2 184

1 168

1 175

1 176

1 171

1 181

1 183

10 336

2 192

9 332

170 296 311 311 168 188

Fonctions implicites Fonctions monotones Fonctions réglées . . Galllien v. réf&en Gdoddsiques . . . .

Gradient . . . Haar (lemme de) . . . . Hamilton (équations Holder (inégalité de Homéomorphisme local Hyperplan . . . Jacobien ^{: v.} détermi Leibniz (formule de) Matrice dérivée . . . . Maximum, minimum rel Minkowskt (inégalitg Multiplicateurs de 1 Normal (syst. d'équa Partie convexe . . . Rang constant (thdor Référentiel, système Référentiel galilier Rolle (théorème de) Saut . . . Segment . . . Système normal d'éql Taylor (formule de)

Variation . . ...*....

Variété abstraite ^{. .} Varif5té affine, va&

...

...

...

el ...

...

...

...

!) ...

...

...

...

tnt jacobien ...

...

;if ...

le) ...

srange ...

LonsI ^: V. systèmt ...

ne du) ...

le référence ^...

...

...

...

...

tions ...

...

. . . . . . . .

té linéaire . . . .

a 2 2

277 190 186

11 370

3 ²⁰⁴

11 360

11 389

10 341

a 296

1 170

6 252

3 195

7 269

10 341

10 336

1 9 1 1 2 2 1 9 7

11

9 1

174 327 ter

169 183 18a 184 174 316 257 190 35Oter 319 169

xx

V d a i f r f. é. i r. e. é n. t. t i. a. é b. l. e. . . .

V l a it r na. i . én .é ag . t .ie . érn . et. .e . .

V d e . .éc . . . t.r . . e. i. . u. .v . r. . é. . . . . .

D E F I N I T I O N S

D T E O A OR P UDIPT L EV AI R CE LIA E T VE I E O NE ,

P a r P a g a r a g p h e e

3 2 0 1

9 3 0 5

3 2 0 4

3 1 q 9 u a2 r t e

s j u oa p ni dp o l t eiu'd ce v aau' est fir nup o t fn a nf i ic n e e

n E d ou e aa rns n fnF pm o f sa Ç ri c n m e e é

au point a de J2, , u a p n dp lo dei& tcéu a i or t i ikt o vn a e é l e e

l on dit que 4 admet

o d i fu ft é L r, o e e n u t s tia i sp ean lpLl lltl eeil ce z n t i é o n -

a c oid

Ê

~ ( Q x 1 + ~ ) = ~ ~ ~ ) + L ~ + ~ ( ~ ~ l l

o ( ( t ù vp z 0 e e Xjo l Z n t rr v + - T+dse s e q. n ru de s

D ES U R C IC E V S ES I E V SE S .

O d a én p r f i Ç a i c n un r r is r te i n c e

3

( en 0 E fi . _ )

S o i t

4

( I n - l )

, l d d éa m ' r1 o i- d , à i rev n d é t r ei fe i é e

u f osn f à n ue dcia v 9 ^, t r(lEa i^{% ,}1eA on ^_nu n l g ^,rs ' os i rF ) s

( W ) ^C j e- u ^a'é sld l^ln2 ét)e ; t

7))

t à é i d u ln e f ég n m emi ( { o -en (épË ^:n 'cm' ;at n oF& ')r r ( ea )

TABLE

Chapitre IV CALCUL INTEGRAL

§ 1 INTEGRALE DE RIEMANN SUR LA DROITE

Fonctions en escalier . . . Intégrale supérieure de Riemann d'une fonction '20, bornée, à support compact 3 Intégrale d'une fonction intégrable...

Calcul de l'intégrale d'une fonction par la méthode des sommes de Cauchy-Riemann.

Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle . . . 9 2 MESURES DE RADON SUR UN ESPACE LOCALEMENT

COMPACT

Mesures de Radon sur un espace compact ^. Mesures sur un espace localement compact%

Mesures vectorielles . . . . . . .

Partition de l'unit6 . . . ..a...

Support d'une mesure de Radon . . . Prolongement d'une mesure à des fonctions continues Y de support non compact . . . .

399 401

404 409

420

424

425 425 430 ter 435 436 444

450

X X I I l

P d r r ud e im de c no es o cr l ic l pe e ea m u e x n t

m . e . s . u 4 . r 5 . e 2 . s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M c e m o rs e .m éu s4 .p er u5 .l le r3 .e ls e .x e s .e s s ,

M r e p Ç ^. s o e ^. u s 4^. l r i ^. 5 l e^. t 5 e ^. s i s^. v ^. e ^{. .} s ^{. . . . .}

E o n r r s . é d e . t4 qo m . i5 un b . c5 an l . u re e . l ts s . e 0 . s . . . .

9 3 P DR M P'O E T OUL S H SNO U E IEN R O T G E R I E I V M E E E . N T

D L E E B E S G U E

M e e d x e s eo t n u su é s r v r e e e i m s r e b t u l s r e e s s

M i e d n c s . . . ' t o u u é m r n r p e i a e c u t r e

E m n m e s d e e s e e n s u m s s u r b e r a l m e b e b l s l e e s s ,

Ensembles de mesure nulle . . .

F f é o . . . ..*... i t n a c g t é i e o s n s

Fonctions boréliennes . . .

I d n f 'v t o éue é n tnc g c aet r t g o a i é r l o e i e n e l l e

4 5 7

4 5 8

4 6 0

4 b 6 i 0 s

4 t 6 e 4 r

4 7 0

4 7 2

4 7 3

I s n d u ft 'r p oé 4ué é ng 7ne r cr 4el i ta l e il e u oe + r n O e

I nd f teà o v és v a n e g l c c r e t - a u i b r o i s n l s i t e

t . o . . . . r . . . . . . . . .. . . i 4 * e 7 . l 7 . l . e . s . . . . . . .

I d Ln d e etf 'a béo u egn n src e gat uli eeo n

v v a e. . . . l c e 4 t u 7 o r 8 r s i e l l e s

I ne i ttd nf ée to gs én r gc a rt b ai i lo l en i ss t é

définies presque partout . . . 4 8 3

4 T D C H ED OLE E NEO VBR EEE RSM GGE EU NE C. E

L L ' 4 E S P A C E

C a d f r ei o a sn n c t c t e t é g i r r o i a n s b s a l t e i s o n

I ne m tt . . . . e é s g u r r a a b b i i l l i i t t é é

T d l h e 'à é d i p ao e n rr s t ti é ie g r r a t i o n

f c o e so n t en c mt t ii i -n o cu n oe s ns t i n u e s

i n. . . f é r i e u r e m e n t

P dr m n'o e oul s nno u +en r Og e .e .m .e .n .t . . .

4 8 3

5 0 0

5 0 3 - 2

5 2 1

XXIII

5 5 MULTIPLICATION D'UNE MESURE PAR UNE l?ONCTION Produit d'une mesure vectorielle par une fonction continue scalaire . . . PropriGtGs élémentaires . . . .

Cas OÙfi est une mesure réelle > 0 . . . Application au prolongement d'une mesure h valeurs vectorielles . . . Dualité entre L' et

L+’ . . . . . . . . . . . .

$

DE RADON

Convergence en norme, convergence locale en norme . . . Convergence vague . . . Les fonctions fi inthgrables Riemann . . . Convergence vague et convergence uniforme Convergence vague d'une suite de mesures vers une mesure de Dirac . . . Convergence étroite d'une suite de mesure de norme finie . . . 5 8 PRODUITS TENSORIEL3 DE MESURES. INTEGRALES

MULTIPLES

Position du problhme . . . Propriétés glhmentaires . . . .

Calcul d'une intégrale double par deux intégrations simples successives . . . Extension aux intégrales multiples quelcon- ques . . . Convergences vagues de produits tensoriels 5 9 PROPRIETES PARTICULIERES AUX MESURES DE

RADON SUR LA DROITE REELLER

521-12

521-12 523 523 531 534-1 535

550 550 551 554 559 564 570 575 575 582 583 593 595 596-3

XXIV

~

Intégrales indéfinies . . . Fonctions à variation bornee sur la droite Foncti.ons à variation bornée et intégrales indéfinies . . . Longueur d'un chemin dans un espace métrique Intégrale indéfinie et primitive . . . .

Primitives successives d'une fonctign conti- nue sur la droite . . . Formule de l'intégration par parties . . . Changement de variable dans le calcul des intégrales simples . . . .."...

Intégrales impropres sur la droite . . . .

Exemples d'application du critere d'Abel ^. Valeur principale de Cauchy . . .

$ 10 INTEGRALES MULTIPLES SURR&. LONGUEIJRS,

597 600

610 618 623

630 635

640 644 652 656

AIRES, VOLUMES, DAKS LES ESPACES EJJCLIDIENS AFFINES DE D11'IENSIOR FINIE. CHANGEMENTS DE

VARIABLES DAfiS LES INTEGRALES MULTIPLES SUR$? 662 Nesure des vcl wes dans un espace affine

euclidi.en de dimensi.on finie . . . . 673 Mesure des longueurs dans un espace affine

euclidien . . . . 678 Xesure des aires h dimensionnelles dans une

variété linéaire de dimension m+ d'un espace

affine euclidien de dimension finie . . . 679 Aire ~_dimensionnelle d'une vari.été parametri- quz de dimensi.on n . . . . 682 Calcul d'inté&rales de vo1w.e~ à partir

d'intÇgrales d'hyper*surface . . . 694

$ l:l FONCTZJOh 'S REPRESEETEES PAR DES SZRIES OU

xxv

Fonctions représentées par des s&ries . ..* 701 Continuité de la somme d'une série . . . 702 Intégrabilité de la somme d'urie série par

rapport à une mesure > 0 . . . 703 Dhrivabilité de la somme d'tine série . . . . . 704 Dérivabilité d'un produit infini . . . . 714 Fonctions représentées par des intégrales. 718 Continuité d'une fonction rqlrésentée par

une intégrale ..*... 718 Intégrabilité d'une fonction repréeentée

par une intégrale ..,... 720 Dérivabilité d'une fonction définie par

une intégrale . . . 720 Cas des intégrales impropres convergentes 726.

Application à la divisibiljté des fonctions

dérivables . . . 733

TABLE

Chapitre V

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

1 POSITION DU PROBLEME V.l

II THEOREMES D'EXISTENCE et D'UNICITE v.4 definitions . . . V.4 existence et unicite des solutions

locales . . . v.6 extension de la mÇthode de r&olu-

tion de certaines Çquations integra-

les . . . v.12 prolongement des solutions locales

d'une Çquation diffÇrentielle . . . V.14 majoration a priori des solutions

d'une Çquation dlfferentlelle . . . v.16 une condition d'existence de solu-

tions globales sur [ct,,&] . . . . v.20 application & la m&anique . . . V.24 Continuit&? de la solution en fonc-

tion d'un parametre . . . V.25 ddrivees d'ordre supÇrieur de la

solution d'une Çquation differen-

tielle . . . ..---... V.33

741 744

?44 746

752 754 756 760 764 '765

773

intÇgrales premieres d'une équation diff'érentielle . . . Çquation différentielle ddf'inie par un champ de vecteurs . . .

III EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES résolvante d'une Çquation différen- tielle linéaire . . . équation linéaire avec second membre cas d'une équation différentielle scalaire d'ordre?% avec second

membre . . . application de la théorie des equa- tions diffÇrentielles linéaires à la continuite et & la dérivabilitd de la solution d'une équation différen- tielle dépendant d'un parametre . . .

IV EQUATIONS DIFFE3ENTIELLES A COEFFI- CIENTS CONSTANTS 2

Cas particulier où c est de dimen- sion finie.

Construction de l'exponentlelle d'un operateur . . . Cas d'une Çquation diffÇrentielle d'ordre jv a coefficients constants Equation différentielle scalaire d ordre p a coefficients constants avec second membre . . . Solutions bornÇes des équations dif- férentielles lineaires a coefficients constants . . .

Page

v.34 v.37 V.42 v.47 V.54

774 777 782 787 794 v.5a 798

v.61 801

V.67 807

V.71 811 v.76 816

V.a2 822

v.80 %28

XXVIII

INDEX

Cauchy (condition de) Cauchy (théorème de ) Champ de vecteurs Condition initiale

Equation différentielle linéaire Equation différentielle reguliere Equation différentielle scalaire Equation intégrale

Equation lineaire associée Equation homogène associée Exponentielle

Heaviside (théorème de) Inequation diffÇrentielle

Intégrale d'une équation différentielle Intégrale première

Intervalle et boule de S&urité (systeme de s&urité)

Localement lipschitzienne

MÇthode des constantes variables OpÇrateur différentiel

Op&ateur résolvant RÇsolvante

SingularitÇ imprÇvisible Solution a droite

Solution prolongeable Systeme dafférentiel

v.4 v.6 v.37 v.46 V.42 va3 v.46 v.13 v.54 v-55 v.67 v.85 V.32 v.2 v.34

Pages 744 746 777 786 782

. 743

786 753 794 795 807 825 7?2 742 774

v.4 744

vo5 745

vo55 795

v:76 816

v.49 789

vta 788

v. 12 752

v.16 756

v.38 77%

v.2 742

0 A

Cm

@

-b

NOTATIONS

Page

v. 1

v. 1

v.2 V.6 V.12 v.14 v. 1'7 V.25 V.33 v.3e

V.42 V.42 v.45

Jr33

Page v.49 v.49

V.61 V.62 v.63

V. 80

v.62