Exercice de cours #7. Soient f

Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

année UE Approfondissement en analyse

Complément #3 – 22 mars 2020 –

Exercice de cours #7. Soient f

, f

:]0, 1[→ R deux fonctions dérivables. Soit f :]0, 1[

→ R ,

f (x

, x

) := f

(x

) + f

(x

), ∀ x

, x

∈]0, 1[.

Montrer que f est différentiable et calculer d

f, ∀ a ∈]0, 1[

.

Solution. Rappelons que si g :]b, c[→ R est dérivable (en a ∈]b, c[), alors g est différentiable (en a ∈]b, c[) et

d

g(1) = g

(a). (1)

De (1), nous avons, par linéarité de la différentielle,

d

g(h) = d

g(h · 1) = h d

g(1) = g

(a) h, ∀ h ∈ R . (2) Soient f

et f

comme dans l’énoncé. Pour a

, a

∈]0, 1[, nous avons (en uti- lisant la formule (2) appliquée à f

au point a

et la définition de la différentielle)

f

(a

+ h

) = f

(a

) + f

(a

) h

+ ε

(h

),

∀ h

∈ R tel que a

+ h

∈]0, 1[, (3)

avec

ε

(h

) = o(h

) quand h

→ 0, j = 1, 2. (4)

En sommant les formules (3) avec j = 1, 2, nous obtenons, avec a = (a

, a

) ∈ ]0, 1[

et h = (h

, h

),

f(a + h) = f((a

+ h

, a

+ h

)) = f

(a

+ h

) + f

(a

+ h

)

= f

(a

) + f

(a

) h

+ ε

(h

) + f

(a

) + f

(a

) h

+ ε

(h

)

= f

(a

) + f

(a

)

| {z }

=f(a)

+ f

(a

) h

+ f

(a

) h

| {z }

:=`(h1,h2)=`(h)

+ ε

(h

) + ε

(h

)

| {z }

:=ε(h1,h2)=ε(h)

= f(a) + `(h) + ε(h), ∀ h ∈ R

tel que a + h ∈]0, 1[

.

(5)

1

Notons ensuite que ` est une application linéaire. L’égalité (5) va nous amener aux conclusions suivantes : f est différentiable en tout point a = (a

, a

) ∈]0, 1[

, et

d

f(h) = `(h) = f

(a

) h

+ f

(a

) h

, ∀ h = (h

, h

) ∈ R

,

à condition de montrer que

ε(h) = o(h) quand h → 0. (6)

Grâce à la propriété o(h) + o(h) = o(h) et à la définition ε(h) := ε

(h

) + ε

(h

), pour obtenir (6) il suffit de montrer que

ε

(h

) = o(h) quand h → 0, j = 1, 2. (7)

Fixons j. Soit ε > 0. Puisque ε

(h

) = o(h

), il existe δ > 0 tel que

|h

| ≤ δ = ⇒ |ε

(h

)| ≤ ε |h

|. (8) De (8), nous avons

khk

≤ δ = ⇒ |h

| ≤ δ = ⇒ |ε

(h

)| ≤ ε |h

| = ⇒ |ε

(h

)| ≤ ε khk

,

ce qui implique (7) et complète la démonstration.

Petit exercice # 9. Si f est trois fois différentiable, montrer que les dérivées par- tielles du second ordre de f sont différentiables.

Solution. Par définition des fonctions trois fois différentiables : f est une fois dif- férentiable (et donc les dérivées partielles ∂f

∂x

, j = 1, . . . , n, existent), et les dé- rivées partielles ∂f

∂x

, j = 1, . . . , n, sont deux fois différentiables. Ce qui revient, par définition des fonctions deux fois différentiables, à : ∂f

∂x

est différentiable, j = 1, . . . , n (et donc les dérivées partielles ∂

f

∂x

∂x

, j, k = 1, . . . , n, existent), et les dérivées partielles ∂

f

∂x

∂x

, j, k = 1, . . . , n, sont différentiables.

2