une application d'un espace métrique dans un espace métrique F . dit que est continue en un de E
,
,
que soit il existe 0 tel que
On peut aussi dire : si quelle que soit la boule ayant pour centre existe une boule de centre a dont
l'image par soit dans la précédente.
n peut encore dire que soit voisinage de , il existe , voisinage de , que
On peut encore dire : si l'image réciproque de tout voisinage de
- - est un voisinage de a .
1
Une application de dans F est dite continue, si elle continue en tout point a de E .
La première définition de la fait essentielle-ment intervenir la métrique. Les deux dernières, au contraire, ne font intervenir que les ouverts et les voisinages, mais non la métrique elle même. On en verra l'intérêt plus tard
La fonction , c'est-à-dire l'application de l'espace métrique E , de l'origine la droite réelle, dans l'espace
droite réelle, est une application partout continue.
Théorème Pour qu'une application d'un espace métrique E dans un espace métrique soit continue, il faut et il suf-fit que l'image réciproque par de tout ouvert de soit un ouvert de E .
Démonstration Montrons d'abord que la condition est nécessaire : Supposons continue, soit B un ouvert de F , et posons A soit
or B est un voisinage de
est continue
en a , donc A doit être
un de a Ainsi A est un voisina e ses points, donc un ensemble ouvert
de chacun de théorème 1).
Montrons maintenant que la condition est suffisante : Supposons que l'image réciproque par de tout ouvert de F soit un ouvert de E . pour tout point a de E ,
un voisinage de dans .
Alors contient un ouvert B contenant réciproque
donc l'image
contient qui est un contenanta.
Alors est un voisinage de , ce qui prouve que l'application est continue en .
Théoreme 8 Pour qu'une application d'un espace métrique E dans un espace F , soit continue, il faut et il suffit que , l'image de tout fermé de soit un de .
Démonstration : passe du précédent à celui-ci en remplaçant les parties ouvertes considérées dans et dans par leurs parties complémentaires fermées, et en uti-lisant la formule (1,
Remarque : Si, dans les deux théorèmes précédents, on rem-plaçait les images réciproques par des images directes on aboutirait à des résultats inexacts. Considérons par
exem-en premier lieu, une application constante de E Une telle application est manifestement continue. Cependant
l'image par cette application de n'importe quel ouvert de en particulier de lui-même, est réduite à un point de et en une partie réduite à un point n'est pas ouver-te. par ailleurs nous considérons la fonction définie dans l'exemple ci-dessus, l'image par cette de l'ensemble E tout entier c'est-à-dire d'une partie fermée, est, dans , le de l'origine, qui n 'est pas une partie fermée,
Théorème Si E est un espace vectoriel normé, sa norme, application de E dans la munie de sa métrique naturelle, est une fonction continue.
Démonstration :
On en deduit en effet de que, si 0 est donné, pour que
Théorème 10 L'application composée de deux applications continues est continue.
Démonstration Soient G espaces métriques, et l'application composée d'une application!
de E dans F, et . On
suppose en outre
'une application de F dans G continue en un point a de E , et continueau point = .
soit c = . un voisinage de c dans G . L'application étant
proque
continue au point 8 l'image réci-) est un voisinage de .
L'application étant continue au point , l'image réci-proque est un voisinage de dans . Mais
= n'est autre que , et alors
ceci prouve bien que est continue au point . On en déduit bien év demment que,
continues, alors
si et sont partout est aussi partout continue. On peut d'ailleurs le voir directement en utilisant le théorème 7 ou le théorème 8.
On appelle homéomorphisme d'un espace métrique E sur un espace métrique toute bijection de sur F qui soit
continue ainsi que sa bijection réciproque.
A titre d'exercice, une autre démonstration en utilisant la première définition (métrique) de la continuité, avec Ve, . . . .
Théorème 11 Pour qu'une application bljective et contlnue, de E dans un homeomorphisme, est
et suffisant que l'image directe par de tout ouvert de E soit un ouvert de F . 11 est aussi'nécessaire et suffisant que directe par de tout fermé de E
soit un fermé .
En effet ces images directes ne sont autres que des réciproques, relatives la bijection réciproque = et les conditions précédentes ne sont autres que celles qui sont données dans le 7 et dans le théorème 8 pour la continuité de
Remarque Il ne faudrait pas croire que toute application -
-bijective et continue soit nécessairement un homéomorphisme.
Par exemple, si E est la droite munie de sa métrique discrète, et si F est la droite munie de sa métrique naturelle, l'application identique de dans F est continue et bijective, mais n'est manifestement pas un homéomorphisme.
On dit que deux espaces métriques sont homéomorphes, s'il existe au moins un homéomorphisme de l'un sur l'autre.
Ces deux espaces ont alors les propriétés topologiques, c'est-à-dire les mêmes propriétés pour tout ce qui concerne les ensembles ouverts, les ensembles fermés et les voisinages.
Exemple L'intérieur d'un disque et l'intérieur d'un trian-gle, dans un plan euclidien, sont des espaces métriques homéomorphes. Le demi-plan 0 , la région
située au-dessus de la parabole , la région
située au dessous de cette parabole, dans le plan , sont homéomorphes .
Les deux espaces métriques définis par les lignes tracées sur la figure qui suit sont homéomorphes.
A titre d'exercice, définir chaque fois un homéomorphlsme entre les espaces métriques homéomorphes considérés.
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Mais attention Cela ne veut nullement dire qu'il existe
Z
un homéomorphisme du premier plan sur le deuxième, qui amène le premier sous-espace sur le deuxièmeLa droite réelle, réelle,
munie de sa métrique naturelle, et la droite munie de la métrique discrète, ne sont pas homéomorphes, puisque, sur cette dernière, toutes les parties sont ouvertes et qu'il n'en est pas de sur la première
A partir de la notion de distance, nous avons pu définir, sur un espace métrique E les notions d'ensemble ouvert, d'ensemble fermé, de voisinage, d'intérieur, d'extérieur, de frontière, d'adhérence, d'ensemble dense, d'application conti-nue. Toutes ces notions de déduisent de celle d'ensemble ouvert.
peut arriver que deux métriques différentes, sur le même espace E , aient le même système d'ensembles ouverts.
Elles ont alors les mêmes parties fermées, les mêmes voisi-nages de chaque point, etc....
Par exemple, si est un espace métrique et est sa fonction distance, la fonction distance c'est-a-dire telle que la distance de deux points soit 2
donne bien évidemment les mêmes ensembles ouverts.
On dit que deux métriques sur un même ensemble E sont
équivalentes, si elles ont le même système d'ensembles ouverts. --On dit encore qu'elles définissent la même topologie sur . Cela revient dire que identique de , muni de la lère métrique, sur E , munie de la 2ème metrique, est un homeomorphisme.
Sur un espace vectoriel, 2 normes sont dites équivalentes, si les métriques correspondantes-sont équivalentes.
12 Pour que 2 normes sur un espace vectoriel notées sous la forme et soient il faut et il suffit qu'il existe des Constantes
l'on ait, pour tous les de E :
, nous indiqué que l'application identi-que n'était pas un homéomorphisme de 1 une sur l'autre. Nous disons ici qu'il n'existe aucun homéomorphisme de l'une sur l'autre, ce qui est un résultat plus fort.
55
Démonstration Appelons B,(R) B,(R) la boule fermée de centre origine et de rayon R , pour la première norme (resp. pour la Supposons alors que les deux normes soient équivalentes, c'est-à-dire donnent les mêmes
ouverts.
Alors contient un ensemble ouvert la lère métrique, contenant l'origine: il contient donc aussi un ensemble ouvert, dans la l'origine; il
existe par suite un nombre tel que 1 on Par une homothétle de rapport , on en déduit la relation
B,(R) . Elle signifie que R II, ; mais la première inégalité est vraie avec R II, , la seconde donne alors
En opérant de même en sens inverse, la nécessité de la condition est bien démontrée. Exprimons maintenant que condition est suffisante. Si elle est
R .
en résulte que toute boule, pour la lère
contient nécessairement une boule pour la et vice versa;
ce que nous venons de dire pour les boules ayant pour centre l'origine est vrai, par translation, pour les boules ayant un centre quelconque.
Comme un ouvert pour la topologie est un ensemble qui, les fois qu'il contient un point, contient au moins une boule ayant pour centre ce point, les propriétés que nous venons de
boules entrainent l'identité des ouverts les deux métriques.
Remarque e t sont les distances définies par 2 nor-mes equivalentes, il donc une constante telle que,
quels que et
Cette circonstance est très spéciale aux métriques lentes définies par des normes équivalentes sur - - espace vectoriel.
Voici une autre démonstration. S'il n'existait pas de tel nombre alors, pour tout entier n 0 il exis-terait un point tel que . En' rempla-çant au besoin par un homothétique, on peut toujours sup-poser que . Alors . Donc la suite des
convergerait vers 0 pour la 2ème norme et pas pour la première, et elles ne seraient pas équivalentes (cette dé-monstration utilise les suites convergentes, qui seront vues
plus loin).
Mais, si est la distance d'une métrique quelconque sur un ensemble
définie par
, aussitôt que fonction distance'
, est aussi'une
vérifier est trivial
que la métrique définie par est équivalente a la mé-trique initiale (les boules de rayon
Or, lorsque varie de 0
sont les mêmes).
n'y a donc pas d’ varie de 0 .
entre elles d'inégalités du type est un espace vectoriel, et si est la distance définie a partir d'une norme, il n'en est plus de même de Cet exemple montre que, étant une métrique sur ,
on trouver eouivalente pour
laquelle soit
Corollaire Les 3 normes données au début pour l'espace vectoriel - - sont équivalentes.
On a en effet, les inégalitis :
Plus généralement nous admettrons le suivant, dont la démonstration est délicate
Théorème 13 Sur un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels ou des complexes, 2 normes quelconques sont équivalentes; il existe par suite un seul système d'ensembles ouverts, d'ensembles fermes, etc.... valable pour toutes les normes possibles.
est bon de remarquer, comme nous en verrons plus tard des exemples, que cette propriété ne subsiste absolument pas pour des espaces vectoriels de dimension infinie.
Nous sommes ainsi amenés, pour des espaces métriques, à introduire deux sortes de propriétés : les propriétés
On trouvera une (facultative) la page 72 avec le théorème
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qui dépendent explicitement de la elle-même,
comme la distance de deux points, la propriété des côtés d'un triangle ou d'une figure formée par plusieurs points,
les boules, part, les propriétés topologi-ques qui ne dépendent pas de la métrique elle-même mais
seulement de l'ensemble des parties ouvertes, des parties fermées etc.... us on oonçoit qu'il soit même possible d'introduire une topologie, sans passer par l'intermédiaire d'une métrique :
appelle espace topologique E , un ensemble E sur lequel on a aistinguéune famille de parties, appelées les parties ouvertes de la topologie.
C'est une famille absolument quelconque de parties astreinte seulement satisfaire aux propriétés
données page 42
Nous voyons qu'un espace métrique est un espace
logique particulier, mais il existe des espaces topologi-ques qui ne peuven pas être définis partir d'une
Le fait, pour une partie de , d'être
définition page 39) est une propriété métrique et non ensemble des entiers n est pas borné si on le munit de la métrique il devient borné si on le munit de la métrique
que ces deux métriques sont équivalentes. Mais, pour les espaces vectoriels normés, 2 normes équivalentes donnent mêmes parties bornées, d après le theorème 12. Voir remarque de la page 55
Généralement, aux ouverts d'une topologie que les axiomes . Si en outre l’axiome est
vérifié, on dit que 1 espace topologique est séparé. Les espaces non séparés n'ont qu'un usage très limite en
analyse , et nous n'en aurons jamais besoin. C'est pourquoi, pour nous, un espace topologique sera toujours supposé
sépare, et les ouverts devront vérifier 1 axiome .
Dans un espace non sépare, une partie rdduite un point n'est pas nécessairement fermée, et une suite convergente peut avoir plusieurs limites distinctes (voir théorème
On dit qu'un espace topologique est métrisable s'il existe une métrique qui donne naissance sa topologie.
La plus grande partie des espaces que nous rencontrerons sont des espaces
Il est bon de remarquer que presque toutes les définitions et les théorèmes que nous avons donnés présent pour les espaces métriques, faisaient simplement intervenir la topologie et non la métrique elle-même; on démontre facilement qu ils sont pour des espaces topologiques quelconques.
Toutefois les théorèmes 2, 12 et 13 ne sont vrais que pour des espaces ils faisaient essentiellement inter-venir la métrique dans leur énoncé même.
Tout toujours un système fondamental de ouverts (puisque tout voisinage de contient un ouvert a , qui est un voisinage ouvert de
pas nécessairement un système fondamental de voisinages fermés. Un topologique est dit régulier si
a un fondamental de voisinages
métrisable est régulier., Par contre, il est tou-jours vrai que l'intersection des voisinages fermés de
Se a que de
les voisinages de a réduit : si en effet il existe, l'axiome de
tenant et d'intersection vide; es un
un espace topologique, on peut faire en prenant comme ouverts les
Sections des ouverts de la topologie de E . On dit alors
F est un sous-espace topologique de E que sa topologie la induite par celle de .
Dans la suite, nous énoncerons les théorèmes dans les
topologiques, fois que ce sera possible; mais nous ne Pas Pour ne donner la démonstration que dans les espaces métriques, cela doit simplifier. Les élèves ne Seront
de connaître que ce qui est relatif aux espaces métriques.
(Voir page 22 du Chap. 1) On d'une topologie, en definissant ses ensembles ouverts de la façon suivante : Une partie U de est ouverte lorsque :
a) Si elle contient un point de R , elle contient
au moins un intervalle ouvert contenant ;
b) elle contient le point CO contient au moins un intervalle A
elle contient le point , elle contient
au moins un i .
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On démontre que l'ensemble d'ouverts ainsi-défini satisfait bien à tous les axiomes voulus pour de un espace topologique. est facile de voir cette topologie, est métrlsable, et nous donnerons plus loin une infinité de métriques equivalentes donnant naissance à cette topologie
(théorème 38, page ); mais aucune de ces métriques ne s'impose de façopnaturelle plus que les autres. est un sous-ensemble , sur ce sous-ensemble la topologie induite par celle est la topologie définie par la métri-que naturelle.
5 LIMITES. CONVERGENCES
Une essentielle des espaces topologiques est qu'il est possible, dans ces espaces, de parler de suites convergentes.
soit Une suite de points d'un espace métrique E On dit que cette suite est convergente vers
point de ou a pour limite si la suite de un nombre fini de valeurs de
Ces deux dernières définitions sont valables est un espace topologique; même est métrique, la convergence d'une suite est une propriété topologique, et non métrique.'
existe bien d'autres notions de qui ne sont pas relatives aux suites :
Considérons par exemple une suite double
entier 0 , c 'est-à-dire une application de dans E.
On dit que cette suite double converge vers l'élément de E tendent simultanément vers l'infini,
On sous-entend l'expression : "Quand tend vers + Si les sont réels, on peut prendre ; on considère alors que la suite est sur .
Cette définition montre en outre que la convergence d'une suite est Indépendante de l'ordre de ses termes.
Changer l'ordre des termes d'une
c'est la remplacer par la suite ,
une -même; si la suite initiale
conver-ge vers en est de même de la suite modifiée.
6 0
si, quel que soit , il existe des entiers
tels que
On dit au contraire que converge vers 1
ou tend vers l'infini, si uel soit 0 , il existe des entiers tels que
.
est une application de la droite dans E l'expression vers lorsque tend vers par valeurs strictement supérieures" signifie què, quel que
il existe
d . 0 tel que a)
Dans les mêmes conditions, vers lorsquer tend vers + signifie que , quel que soit&
il existe A réel tel que A Toutes ces limites se définissent aisément est un espace topologique, non nécessairement métrique. Elles ren-trent dans un cadre bien plus général, que voici. Soit X un espace topologique, A une partie de X point de X adhérent à A . On dira, si est une de A dans E,
que tend vers lorsque tend vers par valeurs dans A que soit le voisinage de
il existe un voisinage de CL dans tel que n A) c Ainsi, dans le cas des suites (cas X
Dans A = {
Dans
Dire qu'une application d'un espace topologique E dans un espace topologique est continue en un point a de E ,
En abrégé 0) (3
ou
Très souvent, . ce
suppose toujours en taupe : quand on dit que tend vers on suppose a. Ici nous ne nous placerons pas forcément dans ce cas : on peut avoir a A ou
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c'est alors exactement dire que tend vers quand - tend vers - --
Théorème Si une suite admet une limite, cette limite est unique.
Démonstration Supposons qu'une suite
de puisse admettre deux limites distinctes a,& de E
On sait qu'il existe, d'après l'axiome de séparation de HAUSDORFF, un voisinage de a, et un voisinage de qui sont sans point commun. Alors il doit exister d'une
un entier tel que ,
d'autre part un entier tel que entrafne
Alors ce qui est
absurde puisque cette intersection est vide.
Théorème 15 Pour qu'un point a d'un espace métrisable soit une partie A de E , il faut et il suffit
existe une suite d eléments de A qui converge vers a
Démonstration Il est évident que la condition est suffi-sante, car, s'il existe une telle suite, alors tout voisi-nage de contient au moins un point de la suite et par conséquent un point de A , et est bien adhérent à A (théorème
Réciproquement, si a est adhérent à A , et si nous choisissons une métrique définissant la topologie de E
alors la boule de centre et de rayon contient au moins un point appartenant à A . suite
ainsi formée appartient bien A et converge bien vers a . Ainsi l'adhérence de A est l'ensemble des limites des suites de qui sont dans E .
Corollaire Pour qu'une partie d'un espace topologique , soit fermée, il faut et il suffit qu'elle contienne toutes les limites de ses suites convergentes dans E .
Si E est topologique non métrisable, la condition reste suffisante mais non nécessaire.
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Théorème Pour qu'une application d'un espace
dans un espace métrisable soit continue en un point de il faut et il suffit que l'image par de toute suite de points de E convergeant vers soit une suite de points de convergeant vers .
La condition est nécessaire. Supposons en effet continue
en et suite convergeant vers
dans E . que soit voisinage de dans , son image réciproque par est un de a dans Alors, pour tous les entiers sauf au plus un nombre fini,
est dans et par suite est dans , ce qui
est dans et par suite est dans , ce qui