On voit Intuitivement que certains espaces topologlques peuvent être comme d'un seul tenant, par exemple une sphère, une boule, dans un espace que d'autres sont composes de plusieurs 'morceaux" distincts, par exemple l'espace formé par la réunion de deux sphères sans point commun,ou le complémentaire d'une sphère dans . Il s'agit de préciser cette notion intuitive.
Définition On qu'un espace topologique est connexe, s'il n'admet pas de partition formee de deux parties ouvertes ou encore s'il n'admet pas de partition formée de deux
parties ou encore s'il dans d'autres
parties soient la fols ouvertes et fermées que et Ces trois définitions sont manifestement
d'après la définition des comme complementalres des ouverts. Comme la compacité, est une propriété de l'espace topologlque cependant, est une partie de , on dira que est une partie connexe, en tant qu'espace de la topologie est connexe.
Théorème 32 Pour qu'une partie
E
de la droitesoit un espace connexe, Il faut et Il suffit qu'elle soit un intervalle ouvert, semi-ouvert ou fermé.
Définition page 13 du 1
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Démonstration Soit donc une partie connexe de .
Soient deux points distincts de ; montrons tout l'intervalle fermé est contenu dans E S'il n en était pas ainsi, existerait au moins un point cet intervalle, qui n'appartiendrait pas à E . Alors, sur , les deux ensem-bles sont tous les deux ouverts, et leur intersection avec définirait sur ce dernier une partition' (parce que ) formée de deux parties ouvertes.
ne serait pas connexe. Si alors nous appelons (resp. ) la borne inférieure (resp. supérieure) des points de E , ce que nous venons de voir montre que est nécessairement identique l'un des quatre intervalles [a,~],
Réciproquement, un intervalle . Soit A une partie non vide de E , à la fois ouverte et fermée dans E ; et H , ce qui est absurde puisque est la borne supérieure
. a donc A , et en outre si . En faisant à gauche de C le raisonnement que nous venons de
faire à droite, on voit de même que c A et si
; donc A = E , et E est bien connexe.
Corollaire des nombres rationnels n'est pas connexe.
Théorème 33 L'image directe par une application continue d'un espace topologique connexe, est connexe.
Démonstration une application continue de E dans F nous supposons E connexe. Naturellement, il n'est pas question de dire soit connexe;
l'image directe
mais nous allons montrer que de est connexe. Si en effet, il n'en
était pas ainsi, partition formée de
deux parties ouvertes A ; alors leurs images réciproques formeraient une partition de E (d'après , leur inter section est vide;
ou
à A ou à x à
donc leur réunion est E
par vide,
; aucun n'est vide, car et comme est contenu
image réciproque n est pas vide) et seraient des ouverts d'après
le théorème ce qui serait contradictoire avec l'hypothèse que E est connexe.
Corollaire Si est une fonction continue sur un espace connexe à valeurs dans , l'ensemble de ses valeurs
intervalle ouvert, semi-ouvert ou fermé de . Démonstration En effet ce doit ètre une partie connexe
il suffit alors d'appliquer le précédent théorème. On exprime souvent ce corollaire en prenant le cas particulier où est lui-même un intervalle ouvert, semi-ouvert ou fermé de . Enfin on dit souvent simplement qu'une fonction réelle
conti-nue sur un espace connexe ne peut prendre deux valeurs sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Cette propriété s'appelle la propriété des valeurs intermédiaires. est bon de noter que cette propriété ne caractérise pas les fonctions continues, il existe des fonctions discontinues sur un espace connexe et qui possèdent la même propriété.
Par exemple la fonction définie par pour
définie sur la droite réelle, est discontinue à l'origine, et pourtant possède cette propriété que l'ensemble de ses valeurs est l'intervalle fermé ; dans tout intervalle
ne peut prendre 2 valeurs sans prendre toutes les valeurs intermédiaires.
Par contre on peut donner du théorème la réciproque suivan-te :
Théorème 34 un espace topologique E est tel que toute fonction reelle continue sur E ne puisse prendre deux valeurs sans prendre aussi toutes les valeurs intermédiaires, alors E est connexe.
Si en effet E n'était pas connexe,
rait une partition formée de deux parties ouvertes A ; alors la fonction réelle prenant la valeur 0 sur A et la valeur 1 sur serait continue, parce que l'image réciproque de tout ouvert serait l'une des quatre parties ouvertes
elle prendrait les valeurs 0 et
prendre aucune'des valeurs intermédiaires, ce qui serait contraire à l'hypothèse. Donc est connexe.
Il est utile d'avoir des critères pour reconnaître qu'un espace est connexe. C'est pourquoi nous introduirons la notion d'espace connexe par arcs.
On appelle arc ou chemin joignant un point un d'un espace topologi ue E
d'un Intervalle 3
toute application continue
de droite réelle dans E , telle que = , On dit aussi que et sont l'origine et 1 extrémité du chemin.
Il est bon de ne pas confondre cette application, qui constitue la définition même du chemin, avec l’image par de l'intervalle appelle l'image du chemin.
Par exemple, si l'application est constante, cette image se réduit à un point, on pourra dire d'ailleurs dans ce cas que le chemin se réduit à un point, mais le chemin n'en est pas moins l'application elle-même.
De la même manière si nous considérons une lemnlscate de BERNOULLI, elle peut être "parcourue" de deux manières différentes, alors que la lemniscate en tant qu'ensemble est la même dans les deux cas; les deux manières de la parcourir correspondent a deux chemins différents, à-dire à deux applications différentes d'un Intervalle dans le plan.
On dira qu'un chemin passe par un point de E si l'image ; on dira que le chemin rencontre une partie A de E si A .
On volt immédiatement que si les deux points A et vent être joints par un chemin, et si les deux points
peuvent également être joints par un chemin, alors les deux points et peuvent encore être joints par un chemin.
Théorème 35 Si est un espace topologique, tel que 2 quelconques de ses points puissent être joints par un chemin, alors E est connexe.
Démonstration Supposons qu'il n'en soit pas ainsi. Alors il existerait une de formée de deux ensembles ouverts A et B . et des éléments respectifs de A . Par hypothèse, serait possible de joindre par un
chemin et soit K l'image de ce chemin. K II A et seraient deux parties ouvertes complémentaires de K (théorème 5) et aucune d'elles ne serait vide puisque
a et seraient respectivement dans l'une et dans l'autre.
On aurait ainsi obtenu une partition de K formé
parties ouvertes, ce qui est contraire au théorème 33 qui dit que , image par une application continue de l'espace connexe connexe. Nous aboutissons donc bien une contradiction, et est connexe.
La réciproque de ce théorème est Inexacte. Si par exemple, nous considérons, dans le plan muni de deux axes de coordonnées, formé de la réunion de la courbe
de la du segment vertical
on vérifie que E est connexe, et que cependant les deux
un chemin.
ne peuvent pas être joints par On dit qu'un est connexe par arcs, si deux quelconques de ses points peuvent être joints par un arc ou chemin. C'est une propriété plus forte que la
Exemple Tout espace vectoriel normé est connexe par arcs.
En effet deux quelconques de ses points peuvent être joints par un chemin, défini exactement par le segment qui les a
comme origine et comme extrémité.
On vérifie également qu'une boule, une sphère dans un espace sont connexes par arcs.
Théorème du passage des douanes 36 E est un espace
que, A une partie de E , tout chemin joignant un point de de A à un point de l'extérieur de A rencontre nécessairement la de A .
Comme l’image K du chemin est connexe d'après le théorème le présent théorème est un cas
du suivant :
Toute partie B connexe de E , et rencontrant la fols l'intérieur et l'extérieur de A , rencontre nécessairement sa Cette propriété est évidente car, s'il n'en
était pas serait contenu dans la réunion de
l'inté-rieur et de l'extél'inté-rieur de A et les intersections
avec ces deux parties une partition de B formée de deux parties ouvertes, ce serait Impossible.
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10 DE TOPOLOGIE SUR LES ESPACES CONNEXES
Théorème 36 bis Tout ensemble de parties connexes
d'un espace E ,
intersections non vides, connexe.
Démonstration SI en effet il n'en était pas ainsi, A pourrait être considérée comme de deux par-ties et disjointes, et toutes les deux ouvertes relativement à A . alors nous
partie
considérons chaque , les intersections n et sont ouvertes relativement A; disjointes
comme A; est connexe,
et de réunion deux parties est nécessairement vide,
l'une de ces et l’autre est A;;
est toute entière contenue dans ou toute entière contenue dans Comme alors de deux parties quelconques et est non vide, elles sont nécessairement toutes les d ux contenues dans ou toutes les deux contenues dans de sorte que, fina-lement, les parties A; sont toutes oontenues dans ou toutes contenues dans ; donc A c ou A . Ceci est contraire l'hypothèse suivant laquelle A est réunion des parties disjointes non vides B’ et . Nous
ainsi
avons donc abouti a une contradiction, et il est démontré que A est connexe.
Théorème 36 ter est un espace topologique, A une partie connexe de l'adhérence de - A dans est encore -connexe.
Démonstration Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi, et que soit réunion de deux parties et disjointes, non vides, et tnutes les deux rela-tivement à A. Comme alors A est fermée, elles sont aussi fermées relativement (théorème 6). Nécessairement A est alors la réunion des deux parties A et A
qui sont disjointes et relativement A . Commé A est supposée connexe, l'une des deux est vide, et l'on a, par exemple, e t
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On en puisque est fermée dans E : c et ceci est contraire à l'hypothèse suivant
est réunion des parties disjointes non vides et Nous avons donc bien abouti une contradiction, et est bien connexe.
Définition On dit que deux points x et d'un espace topologique sont connectés , s'il existe une partie connexe de E contenant à la fois et . Deux points qui peuvent ètre joints par un chemin sont connectes.
Théorème La relation sont connectés
dans E est une dans .
Démonstration Cette relation est évidemment réfléxive et symétrique, il suffit donc de montrer qu'elle est transitive. Or, six sont si d'autre part
et sont il d une part, une partie connexe contenant et , et, d autre part, une partie connexe contenant . La réunion de ces deux parties est nécessairement connexe, puisqu'elles sont toutes les deux connexes, et que leur intersection, contenant , n'est pas vide (théorème bis); par conséquent et
sont contenus dans une partie connexe, et, par consé-quent, connectés, ce qui le théorème.
Définition Une classe de E par rapport la relation d'équivalence
dans
x sont connectés s'appelle une composante connexe . est alors la réunion de ces composantes connexes, qui sont deux deux disjointes, On appelle composante connexe d'un de E la composante connexe qui le contient.
36 qulnto La composante connexe d'un de E , identique l'ensemble des points de E qui sont connectés
est la plus grande p artie connexe de E contenant . composantes connexes de E sont fermées.
Par définition même des classes la composante connexe de dans est l'ensemble des points de connectés à . Toute
partie de E est toute
entière dans puisque tous ses points sont connectés Inversement,
donc
si un point est dans , il est contenu dans au moins une
connexe de
partie . Ainsi est exactement la réunion de toutes les parties connexes de E
Comme ces parties connexes ont deux deux une intersec-tion non vide, puisque toutes contiennent il résulte du théorème 36 bis que cette réunion est
connexe, donc est bien connexe. C’est donc une partie connexe de , contenant , et contenant toute partie connexe de E c'est donc bien la plus grande partie connexe de contenant
D'après le thdorème 36 ter, l'adhérence de dans E est encore connexe; comme alors est la plus grande partie connexe de contenant , on a nécessairement , et par suite est fermée.
Définition dit qu'un espace est localement con-nexe, si, quel que soit le point a de et le voisinage9 de dans ,
dans ,
il existe un voisinage de a contenu et qui soit connexe. Comme l'indique son nom, le fait pour un espace d'être localement connexe, est une propridté locale, alors que le fait d'être connexe
est une globale. Ces deux n'ont
donc aucun rapport l'une avec l'autre :
Si, par exemple, nous considérons dans le plan , l'ensemble E formé des deux droites 0 et
, c'est une partie non connexe l elle est c pendant localement connexe, car, un
d'un point de E ce voisinage contient un Intervalle horizontal de a qui est une partie connexe. Cet exemple montre qu'un peut être localement connexe, sans être connexe.
Si nous appelons l'ensemble du constitué de toutes les parallèles à l'axe desx
nées rationnelles, et de l'axe des tout entier, on voit que cet espace topologique E n'est pas localement connexe : si on considère un point quelconque de E ,de coordonnées a ,
avec a 0 , et une boule ayant pour centre ce point et un rayon ce voisinage ne contient aucun
nage connexe. Par est connexe, et mème connexe par arcs . on peut joindre deux quelconques de ses points par un
de droite,
compose de la succession de trois segments le premier et le troisième étant des segments parallèles à l'axe
de l'axe des .
et le deuxième étant un segment cet espace est connexe être localement connexe.
Ce n'est pas la même chose que pour la compacité : tout espace compact est localement compact (la réciproque n'étant pas vraie), alors qu'un espace connexe n'est
localement connexe.
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Théorème sexto Si Eest un espace topologique localement connexe, alors toute composante connexe de E est
fols ouverte et fermée dans .
Démonstration Soit en effet la composante connexe Supposons que appartienne ; comme
alors possède un voisinage connexe, tous les points de ce olsinage sont à , et par conséquent aussi à , donc contient tout ce voisinage; ainsi ne peut contenir un point sans contenir tout un voisinage de , donc est ouverte; elle est fermée d'après le quinto.
Remarques : La réciproque n'est pas exacte. Ainsi, dans l'exemple donné plus haut, où est connexe sans être localement connexe, il n'y a qu'une composante con-nexe E elle est ouverte et cependant n'est pas localement connexe.
Supposons par exemple que soit un ouvert d'un espace vectoriel normé alors
ment E est localement connexe. En effet tout voisinage d'un point de E contient une boule de centre a dans et nous savons qu'une boule est connexe, et même connexe arcs, On pourra donc dans ce cas , appliquer le théorème. Les composantes connexes de sont nécessairement la fols ouvertes et fermées dans E . Elles sont alors aussi ouvertes dans .
existe un autre cas remarquable où toutes les composantes connexes sont à la fois ouvertes et fermées : c est celui où E n'a qu'un nombre fini de composantes connexes. Alors chacune de ces
qui est déjà fermée, est complémentaire de la
des autres une réunion finie de parties
est fermée; et par cette
composante est nécessairement ouverte.
Définition On dit qu'un espace topologique est locale-' ment connexe par arcs, si, quel que soit le point et le
de , il existe un autre voisinage de , contenu dans , qui soit connexe par arcs. Puisqu'un espace connexe par arcs est connexe, un espace localement connexe par arcs est localement connexe, Un ouvert d'un espace vectoriel est localement connexe par arcs,
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Théorème 36 septimo soit E un espace topologique localement connexe par arcs. S'il est connexe, il est connexe par arcs; s'il n'est pas connexe, chacune de ses composantes connexes est ouverte, fermee, et connexe par arcs.
Démonstration un point de E , et appelons l'ensemble des points de qui peuvent être joints par des chemins. Si est un tel point, il existe tout un voisinage de dont tous les points peuvent être joints
ar un chemin; mais alors comme peut être joint par un chemin, peut aussi être joint par un chemin;
autrement dit ne saurait contenir un point sans contenir tout un voisinage de est nécessairement ouvert.
Montrons maintenant que est fermé, et, pour cela, montrons que son complémentaire est ouvert. Supposons que appartienne à ce complémentaire, c'est-à-dire n'ap-partienne pas a . Il existe un voisinage de , dont tous les points peuvent être joints à par un chemin;
alors aucun point de ne peut appartenir à ; sans quoi on pourrait par un chemin joindre à , puis à , donc ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi le complémentaire de ne peut contenir un point sans contenir un voisinage d e ce point, et par suite est ouvert, est donc bien fermé.
alors E est est à la fois ouvert et fermé, et non vide puisqu'il contient E, et on voit bien que est connexe par
De toute façon, même si n'est pas connexe, soit la composante connexe der dans E comme , connexe par connexe, on a mais est connexe, et est à la fois ouvert et fermé dans E donc dans ,
donc en résulte bien que ouvert
et fermé, et connexe par arcs.
Remarques : Les 2 théorèmes précédents s'appliqueront en particulier est une variété (voir plus loin, cha-pitre III, ). En effet, tout voisinage d'un point de contient alors un voisinage homéomorphe une boule, et par conséquent connexe par arcs.
On pourra démontrer facilement d'autres théorèmes du même genre.
Supposons par exemple que E soit un ouvert d'un espace vectoriel normé. est alors localement connexe par lignes polygonales, en ce sens que tout voisinage d'un point
a contient un autre voisinage , (à savoir une boule de centre ), dont deux points quelconques peuvent ètre
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joints par une ligne polygonale (c'est-à-dire par un
chemin formé de la succession d'un nombre fini de segments de droite : pour une seul segment suffit). Alors la même que ci-dessus montrera que, est connexe, il est connexe par lignes polygonales, et que, même s'il n'est pas connexe, toute composante connexe est connexe par lignes polygonales.
Si est un ouvert d'un espace vectoriel normé de dimen-sion finie muni d’un référentiel, on démontrera de même que toute composante connexe de E est connexe 'par lignes polygonales a segments parallèles aux axes", autrement dit que deux quelconques des d'une composante connexe de peuvent être jointsparun chemin, formé de la succes-sion d'un nombre fini de segments, parallèles à des axes de coordonnées.
considérant l'ensemble des points qu'on peut joindre par une ligne polygonale.
De mème que la notion de nous a déjà fourni ) des moyens de que deux espaces topologiques donnés ne sont pas homéomorphes, la notion de
nous donne d'autres exemples; car si deux espa-ces sont homéomorphes, et si l'un d'eux est l'autre l'est aussi. Considérons par exemple la droite réelle ,et la . Nous avons vu que ce sont deux ensembles potents, donc il existe des bijections de l'un sur l'autre.
Il est facile de voir qu'il existe des applications continues surjectives du plan sur la droite : c'est le cas de la
projection JC de . PEANO a montré, et
c'est beaucoup plus compliqué, qu'il existe aussi des appli-cations continues surjectives de la sur le
mais ces applications, si paradoxal que cela paraisse, ne
mais ces applications, si paradoxal que cela paraisse, ne