Théorème Si, dans un espace métriaue E une suite de
CAUCHY admet un point d'accumulation cette suite est convergente vers
Démonstration : Etant donné , existe tel que
mais existe
une infinité dem, donc au moins une, telles que : on en déduit alors que entrafne
.
Corollaire 1 Toute suite de CAUCHY, ou est te, auquel cas elle n a qu'un seul point
bien n'a aucun point d accumulation.
Corollaire 2 Si une suite de CAUCHY est telle qu'une de ses suites partielles est convergente, alors cette suite
même est convergente.
En effet 1 hypothése entrafne que la suite admet un point d'accumulation
On dit qu'un espace métrique est complet, toute suite de CAUCHY de E est convergente.
Nous avons vu au début l'utilité de la notion d'espace complet; nous aurons donc besoin de critères permettant de
qu'un espace métrique donné est complet.
Remarquons tout de suite que la notion d'espace complet n'a aucun sens pour un espace topologique non métrique.
D'ailleurs il est facile de voir que deux métriques
lentes; n'ont pas nécessairement les mêmes suites de CAUCHY et que pour l'une d'entre elles, l'espace peut être complet, sans être nécessairement complet pour l'autre. La notion d'espace complet est une notion métrique et non
Considérons par exemple la droite ; si nous la munissons de la métrique naturelle, nous verrons plus loin qu'elle est complète (on l'a vu en Mathématiques Spécia-les). La suite N des entiers n'est pas une suite de CAUCHY dans cet espace métrique. Si au contraire nous considérons sur la droite achevée l'une quelconque des métriques définies page elle induit sur la droite une métrique, qui est équivalente à la métrique naturelle.
Cependant, pour cette n'est pas complète; si en effet nous considérons la suite des entiers , elle est une suite de CAUCHY puisque'elle converge
vers , donc elle est une suite de CAUCHY or elle ne converge pas.
41 Tout espace métrique E , dans lequel toutes les boules sont compactes, est complet. En particulier, tout espace métrique compact est complet, et tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.
Démonstration Soit une suite de CAUCHY.
Cette suite est bornée d'après le théorème donc contenue dans une boule fermée convenable c'est-à-dire dans un
Alors, d'après le théorème
elle Possède au moins un point d'accumulation; donc,
théorème elle est convergente, est bien complet.
Remarques Les hypothèses du théoréme Impliquent que E
soit localement compact. Mais un espace métrique localement compact n'a pas nécessairement toutes ses boules fermées compactes . Par exemple : si nous muni de l'une des métriques définies le
Le fait, pour un espace métrique d'être localement une propriété topologique; le fait d'avoir ses boules fermées compactes est une propriété métrique.
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espace R muni de cette métrique est localement compact puisque muni de sa topologie naturelle; cependant comme nous l'avons vu il n'est pas complet. Il est facile de vérifier en effet que toutes ses boules fermées ne sont pas
pour suffisamment grand, une boule de tout entière, puisque est alors une boule de rayon
pas compacte.
tout entlere, qui n est 2") Les espaces vectoriels de dimension
infinie peuvent être complets ou non complets, nous donnerons ultérieurement des exemples de ces deux cas. Naturellement les cas intéressants sont ceux où l'espace est complet.
3") Il existe des espaces métriques non localement compacts qui sont quand même complets, c'est précisément ce qu'indique la remarque
De même que la de le fait
pour un espace métrique d'être complet est une propriété ve l'espace lui-même. Cependant, si est une partie d'un espace métrique E , on dira que est complet si, en tant qu'es-pace métrique muni de la métrique induite,11 est complet.
Théorème 42 Soient E un espace métrique, F une partie de E.
SI est complet, il est fermé dans E .
Démonstration un point de E adhérent à . D'après le théorème 15, il existe une suite cc,,
qui converge vers a c'est donc une suite de CAUCHY dans E , donc dans F . Comme est complet, elle a une limite a'
Ceci prouve-par exemple que le des nombres rationnels, muni de sa métrique naturelle, n'est pas
complet. On forme d'ailleurs très simplement une suite de CAUCHY qui n'est pas convergente; il suffit de
prendre une suite qui converge dans vers un nombre irrationnel. Ce qui fait précisément la nécessité d'intro-duire le corps des réels et de ne pas se contenter du
corps des rationnels, ce sont les deux propriétés possé-dées par les réels et non possépossé-dées par les rationnels, à savoir d'une part que majorée non vide admet une borne supérieure, et d'autre part que toute suite de CAUCHY est convergente.
Corollaire 2 Si E est un espace vectoriel un
sous-espace vectoriel de dimension finie, est ferme dans E.
En effet, ce qui a été dit avant le théorème 41, est complet.
démontre que ce résultat subsiste si E est seulement un espace vectoriel topologique.
Naturellement la réciproque du théorème précédent est inexacte. Par exemple E est toujours fermé dans E, et il n'est pas nécessairement complet. Mais :
Théorème 43 Si E est un espace métrique complet, toute partie Eest elle aussi complète.
Démonstration : Soit suite de CAUCHY de F c'est aussi une suite de CAUCHY de E , et comme est supposé complet, elle converge vers un point de Mais comme tous les sont dans est nécessairement adhérent à F (théorème donc supposé fermé, et la suite de CAUCHY converge vers un élément , qui par conséquent bien complet.
L'ensemble des deux théorèmes 42 et montre que, est il y a identité entre les parties complètes et les parties de E . On notera la ressemblance entre ces propriétés et les propriétés correspondantes des ensembles compacts.
Théorème Soient et deux espaces métriques complets.
Alors le produit F, l'une quelconque des métriques définies page , est lui aussi
plus généralement, appelons et les distances sur E, et , et soit une distance sur le produit E, p ossédant les deux propriétés suivantes :
elle définit sur x la topologie produit des topologiesdéfiniespar et sur ,et .
Il existe un nombre tel que, pour tout d'éléments de E, x , on ait les :
3) l
Nous allons démontrer que, pour une telle métrique, est complet. Soit en une suite de CAUCHY de ce produit. D'après l'hypothèse relative a la métrique, la suite des est une suite de CAUCHY sur , et la suite est une suite de CAUCHY sur . Comme ces espaces sont ces suites convergent respective-ment vers des élérespective-ments a, de E, et de ; mals alors, pour la topologie produit, c'est-à-dire pour la métrique considé-rée, la suite des ) converge vers (a,, a,) dans
qui est bien complet.
99
Théorème 45 Soient et F des métriques, un espace dense de application dans F on suppose continue sur E, et F complet.
Alors il existe une application! et une seule de dans qui soit continue et qui prolonge ; en outre, cette applica-tion est uniformément
Démonstration 1') Même est seulement continue et si n'est pas complet, il ne peut pas exister plus d'une applica-tion.# ayant les propriétés indiquées. Supposons en effet qu'il en existe une. un point de E ; comme est dense, il existe, d'après le théorème une suite de E,
convergeant alors, est le théorème
1.6, la suite des converge vers dans . Ainsi est entièrement connu, puisqu'il est la limite des
ce qui prouve bien de .
2") Pour montrer l'existence de , nous sommes obligés de supposer plus, nous avons supposé la continuité uniforme
et nous avons supposé F complet.
un de
Soit alors de nouveau
, choisissons une suite E, ,
convergeantvers . Alors c'est une suite de CAUCHY dans ; il en résulte immédiatement que la suite des est une suite de CAUCHY dans F . En effet, si 7 est donné, il existe, d'après l'hypothèse de continuité uniforme, un nombre
tel que E,, , entraîne .
Comme est une suite de CAUCHY, il existe un
entier tel que
et par suite qui prouve bien ce que nous affirmions.
Comme alors est supposé complet, la suite des admet une limite dans F appelons la . faut
d'abord montrer que bien déterminé quand est connu, c'est-h-dire, ne dépend pas du choix de la suite des . Or, si nous considérons deux quelconques de ces suites : et
toutes les deux convergentes la suite "mélangée",
c'est-a-dire est encore une suite
de vers , alors la suite :
, doit converger vers un élément de , ce qui prouve bien que les deux suites
.
ont la même limite Ayant démontré cela, nous venons bien de une
application de E . Cette application prolonge trivialement , car, si appartient E, , nous
pour-rons la suite , . . . convergeant
100
, l'image est alors la limite de la suite c'est-à-dire . Il nous reste donc prouver la continuité uniforme de l'application . Soit alors 0 un nombre le nombre qui lui est associé comme il est dit ci-dessus,
me de .
par la continuité unifor-Soientx et des points quelconques de tels
. Nous allons démontrer que l'on a ce qui prouvera bien la continuité uniforme. Soient
des suites de respectivement vers et . Alors, d'après la continuité de la fonction distance
17 existe un entier tel que, pour , on ait
convergentes respectivement vers , alors converge vers on a donc aussi
ceci achève la démonstration du théorème.
Remarque est essentiel de supposer l'espace F
Si par exemple nous prenons E, lui-même, et pour 1 appli-cation identique de , elle ne peut pas se prolonger en une application continue de E dans E, . Il n'est pas non plus suffisant de supposer
continue. Prenons par exemple E muni de 1 une quelcon-que des métriquelcon-ques indiquées au théorème 38, et pre-nons pour la munie de sa métrique naturelle;
alors F est Identique
et on voit facilement que l'application de continue, mais n'est pas uni-formément continue. ne peut pas se prolonger en une application continue de dans Si en effet nous considérons le point + de E
il est limite dans de la suite des entiers , mais l'image de cette suite,
alors qu'elle
n'est pas convergente dans , devrait converger vers . existait.
Nous vu de telles propriétés : le théorème 13, le théorème le corollaire 2 du théorème 41. Il nous reste à démontrer la propriété page 74 :
Théorème 45 bis (Frédéric Pour qu'un espace vectoriel soit localement compact, il faut et il suffit qu'il soit de dimension finie.
101 Démonstration
Pour simplifier, nous supposerons que E est un espace vec-toriel normé; des modifications infimes donneraient le
général. Nous déju que s'il est de dimension finie, est localement compact; c'est la réciproque qu'il nous faut montrer, Supposons donc que E ait un voisinage compact de Nous emploierons les natations suivantes : si A est une partie de E, A, scalaire, est l'ensemble des A ; si et B sont deux parties de E
(attention, 2A est dans A +A , mals en généra est l'ensemble
Un sous-espace de E est alors caractérise pour tout . est encore un voi-sinage 0 et, pour est un voisinage de a;
est un yoisinage ouvert de Lorsque varie dans les a+ forment un recouvrement ouvert de
d'après l'hypothèse de compacité, il en existe un nombre fini
a que les recouvrent
vectoriel par les il dimension finie, et M recouvre .
Alors En multipliant par 2,
Et ainsi de suite : pour tout n, Mals
la réunion des est l'espace entier, donc est l'espace entier . Nous allons en déduire que M est
l'espace entier E , qui sera donc bien de dimension finie. SI ce n était pas vrai, il existerait un pointa Mals M est fermé (corollaire 2 du théorème Donc il existerait une boule de centre qui ne rencontrerait pas M cette boule
s'écrire a + , B boule de centre origine. Alors ne contiendrait pas a . Pour 0
ne contiendrait pas on aurait M M
ais compact donc borné, est contenu dans
grand; alors on aurait On dit que est une contraction, s'il existe une constante positive ,
couple d'éléments telle que l'on ait, pour tout , l'inégalité
l
Cela entraîne évidemment que soit et par conséquent uniformément continue. On dit que a est un point fixe pour une application si l'on
Théorème 46 Toute contraction d'un espace métrique complet E dans lui-marne admet un point fixe et un seul.
102
Démonstration L 'unicité du point fixe est même n'est pas complet. Si en effet et sont deux points fixes, on doit avoir
On a donc nécessairement sont confondus.
Démontrons donc l'existence du point On va utiliser la méthode dite des approximations successives.
un point quelconque de E , posons : = . . . = Nous formons ainsi une suite Infinie
d'éléments de . Nous allons montrer que c'est une suite de CAUCHY. Comme est une contraction, on a la suite
tés :
,
Alors
On en déduit bien que tend vers 0 quand tend vers donc que la suite des est une suite de CAUCHY;
par suite, elle admet une limite a , puisque est suppose oomplet. Comme alors tend versa, on voit que
tend vers d'après la continuité , et, comme
aussi versa , on a bien = a, et est un point fixe.
Le procédé précédent donne non l'existence du point fixe, mals une méthode pratique pour le trouver.
Remarquons que la suite des On a en effet :
est rapidement convergente.
Remarques L'hypothèse 1 sable,
est absolument indispen-la condition n'est pas suffisante pour entrainer ni l'existence ni l'unicité du point fixe.
L'application identique d'un espace métrique dans
même vérifie toujours 1 inégalité avec et tous les points sont des points fixes. Par ailleurs,
droite, une translation avec 1 ,
x+1 vérifie aussi l'inégalité mais ne possède aucun point fixe.
Soit$ est une application de E dans E aui n'est pas nécessairement une contraction. SI l'une de ses itérées est une contraction. alors l'application a encore un et un seul.
Rappelons que les applications itérées d'une application d'un ensemble dans lui-même, sont définies par la formule :
Soit alors point fixe de fixe pour l'une quelconque de ses
est aussi un point itkrées, mais, l'une d'elles, est une contraction, elle ne possède pas plus d'un point
ce qui prouve elle-même n'a pas plus d'un point fixe: Pour montrer 1 existence, supposons réciproquement que a soit le point fixe unique de , alors
peut s'écrire de deux manières, soit
ce qui prouve que est un autre point Comme est une contraction, elle n'a qu'un on a nécessairement
fixe
= est un point a bien le point fixe unique . En outre on peut toujours l'obtenir par les mêmes approximations
successives : la suite par
converge vers a . En effet chacune des suites partielles
converge vers a uis ue c'est une suite successives
imations ce qui signifie
que la suite toute entière vers a-.
(Remarquons que l'hypothèse que l'application itérée soit une contraction, n'implique pas nécessairement soit continue).
Supposons maintenant que la contraction dépende de façon suffisamment régulière d'un paramètre
toute valeur de ,
. Alors, pour elle possède un point fixe et un
Nous nous proposons de chercher si le point fixe dépend d'une manière continue du paramètre .
Théorème 46 bis Soit E un espace complet, un espace topologique, une application de E A dans E Supposons gue, pour tout x fixé dans , l'application partielle
soit continue de dans E , et pour tout l'application : soit une contrac-tion de E dans , correspondant un nombre (formule
de si l'on appelle point fixe de , il dépend continuement du paramètre autrement dit l'application de dans est
104
Démonstration : Appelons un point de . Soit 7 o donné. On a alors les inégalités :
D'aprks la continuité partielle par rapport à
pour x fixé en , de
dans tel que
Alors entrainera aussi ce qui prouve bien la continuité de l'application considérée, au point
.
DES ESPACES VECTORIELS ET DES ESPACES DE BANACH
Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le que nous supposerons toujours être ou le corps des réels ou le corps des complexes
application de dans F . Rappelons que l'on
une est linéaire, si l'on a :
est de dimension finie, une application linéaire de E est nécessairement continue, et même lipschitzienne, donc uniformément continue. En effet, comme toutes les normes sur E sont alors équivalentes (théorème il suffira, pour la continuité aussi bien que pour la
conti-nuité uniforme muni d'une
base ,
de supposer que est
, et que, pour tout vecteur de coor-données la norme est définie =
. . Tout espace vectoriel sur le corps des complexes'est a fortiori un espace vectoriel sur le corps des réels. Si alors,
et sont des espaces vectoriels, l'un sur les réels, l'autre sur les complexes, on les considérera tous deux comme espaces vectoriels sur les réels.
On convient de noter par le même symbole les neutres (généralement distincts) de et . On a . On note aussi généralement par le même symbole II II les normes dans E et dans F
La continuité est une propriété topologique non métrique. Il n'en est pas de même de la continuité uniforme;
mals le théorème 12 assure que , pour la continuité uniforme d'une application d'un espace vectoriel normé dans un autre, on peut remplacer les normes par des normes
qui prouve bien notre affirmation.
Si au contraire E est de dimension infinie, n'en est plus du tout ainsi; si paradoxal cela paraisse priori, exis-te des applications linéaires discontinues.
Donnons un exemple : Prenons pour E l'espace vectoriel, sur le corps des réels, des polynômes à coefficients réels . Prenons la norme suivante :
Il s'agit bien d'une norme, car toutes les inégalités voulues sont trivialement vérifiées (l'existence du considéré résulte de la continuité de du théorème on a
= , si est un nombre réel, et
et sont 2 polynomes; d'autre part le fait que 0, ait: 0
P ,
résulte de ce que, si = 0 alors le nul sur l'intervalle , est nul.) Prenons pour la fonction réelle sur E , qui, chaque
P , fait correspondre sa valeur au point 3 :
C'est manifestement une forme linéaire sur E ; montrons que cette forme linéaire est discontinue. Pour cela il nous suffit de considérer la suite de polynômes définie par
On a bien évidemment = donc cette suite converge vers dans E ; cependant : donc la suite des valeurs u tend vers , ce qui prouve bien la discon-tinuité de .
Théorème Toute application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel normé F , continue l'origine, est continue partout; elle est donc uniformément continue. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit qu'il existe une constante 3 0 telle l'on ait :
II II pour tout de .
L'addition et la multiplication par les réels sont l'addition usuelle des polynomes et leur multiplication usuelle par les réels;
E est bien un espace vectoriel, dont l'élément est le
0 L'espace vectoriel des polynômes de degré a la ; une de ses bases est constituée par les
L'espace vectoriel de tous les polynômes a donc une dimension infinie.
106 l'origine,
La continuité deu l'existence d'un
nombre 0
Alors, par une homothétie de rapport , u-étant linéaire, II entrafne . Mais la première de ces deux inégalités est toujours vérifiée si l'on prend
on en déduit que l'on a toujours l'inégalité ce qui est bien l'inégalité cherchée si l'on
. Inversement, supposons qu'il existe un nombre l'on ait l'inégalité (II Alors non
est continue l'origine, continue, et lipschitzienne, car en vertu de la linéarité de on a :
Ce contient le 12 comme cas particulier. En effet, écrire que 2 normes sur un espace vectoriel E sont équivalentes, c'est écrire que l'applica-tion identique de E
normes, sur
muni de l'une quelconque de ces deux de l'autre norme, est continue;
4 ; 1
alors
Soient E, des espaces vectoriels sur un corps ,
Soient E, des espaces vectoriels sur un corps ,