A. KHELDOUNI
Date: Année Universitaire 2016 / 2017.
www.al3abkari-pro.com
1.
Chapitre II : Fonctions continues sur un espace vectoriel normé
Sauf mention du contraire, les evn considérés sont des Respaces vectoriels.
§ II.1 Généralités
Dans ce chapitre nous étudierons les fonctions d’un R-espace vectoriel normé de dimen- sion …nie dans un autre. Soient E et F deux evn. Une fonction f : E ! F est une correspondance qui à un vecteur x de E associe un et un seul vecteur y =f(x) de F appelé image dex parf.
Le domaine de dé…nition def noté D(f) est le sous ensemble deE des vecteursx pour lesquels f(x) existe. On a alors l’application:
fjD(f) : D(f) E ! F x ! y=f(x)
Remarque:
Le cas où E et F sont de dimension …nie n et m respectivement, quand on se …xe une base fe1; e2; :::; eng dans l’espace de départ, l’étude de telles fonctions se ramène à celle des fonctions de plusieurs variables réelles (le nombre des variables est égal à la dimension de l’espace de départ n) à valeurs vectorielles.
8x2D(f); x=
n
i=1xiei f(x) =f(
n
i=1xiei) := f(x1; x2; :::; xn)2F
Si on se …xe une base f"1; "2; :::; "mg de F, bien entendu,f(x)2F =vect("1; "2; :::; "m) et donc va s’écrire sous la forme:
f(x) =f(x1; x2; :::; xn) =
m
j=1fj(x)"j
ceci nous permet de considérer f comme une fonction de Rn à valeurs dans Rm:
f : Rn ! Rm
(x1; x2; :::; xn) ! (f1(x1; x2; :::; xn); :::; f2(x1; x2; :::; xn))
www.al3abkari-pro.com
Si on désigne par prj : Rm ! R (y1; y2; :::; ym) ! yj
la jème projection, on a fj =prj f
l’application f va s’écrire : f =
q
j=1fj"j. les applications
fj : A E ! R
x 7! fj(x)
sont appelées les applications composantes ou coordonnées de f, ce sont des fonctions de Rn à valeurs dans R.
Exemples :
1) f(x; y) = Log(x+y)
D(f ) = f (x; y) 2 R2 = x+y > 0 g C’est le demi-plan supérieur limité par la droite y= x.
2) g : R2 ! R
(x; y) ! (exp( (x2+y2));ln(1 x2 y2)) D(g) = R2\B(0;1) =B(0;1)
3) h: R2 ! R3
(x; y) ! ( xy x2+y2; 1
xy;p
1 x2 y2) D(h) = R2 f(0;0)g \R .
4) ' : R2 ! R
(x; y) ! ln(1 x2 y2 z2)
Elle est dé…nie sur la boule ouverte B((0;0;0);1)
Dans le cas où m = 1; le vecteur image admet une seule compostante f(x)2R:
f : Rn ! R
x= (x1; x2; :::; xn) ! f(x) on dé…nit alors le graphe de f par
(f) =f/(x1; x2; :::; xn; y)2Rn+1 = (x1; x2; :::; xn)2D(f) et y=f(x1; x2; :::; xn)g C’est un sous ensemble de Rn+1 appelé sous variété de Rn+1 de dimensionn d’équation
y =f(x1; x2; :::; xn)
qu’on appelle tout simplement surface dans le cas particulier de n = 2. Sur une telle surface, il n’y a jamais deux points sur une même verticale, puisque tout point de la surface est déterminé par sa projection sur le plan xOy.
www.al3abkari-pro.com
Exemples :
1) Le graphe de la fonction l(x; y) =ax+by est le plan d’équationax+by z= 0 2) f(x; y) = x3+ 3xy
D(f ) =R2 etIm(f ) =R
(f ) est la surface d’équationz =x3+ 3xy 3) f(x; y) = p
1 x2 y2, est dé…nie sur le disque fermé de centre (0;0) et de rayon 1.
Son image est[0;1]. Son graphe est la surface d’équationz=p
1 x2 y2, c’est la demi sphère unité.
Remarque :
Pour une surface d’équation z = f(x; y) …xer la composante y en posant y = a (resp.
x = a) revient à couper la surface par le plan vertical d’équation y = a (resp. le plan vertical x = a). Cette section détermine une courbe dont la projection sur le plan xOz (resp. sur le plan yOz) a pour équation z =f(x; a) (resp.z =f(a; y))..
Par exemple
- dans la surface d’équation ax+by z = 0 si on …xe y = k, on obtient la droite d’équation : z =ax+bk
- dans la surface d’équation z =x3 + 3xy
si on …xe y= 0, on obtient la courbe d’équation z =x3
www.al3abkari-pro.com
-4 -2 2 4
-4 -2 2 4
x z
si on …xe y= 1, on obtient la courbe d’équation z =x(x2 3)
-4 -2 2 4
-4 -2 2 4
x z
De façon analogue, …xer z =c dans l’équation z = f(x; y), revient à chercher les points d’intersection du plan horizontal z = c avec la surface (f). La projection de cette intersection sur le plan xOy est une courbe qu’on appelle courbe de niveau de f.
Considérons l’exemple suivant:
f : R2 ! R
(x; y) 7! xy2
Si on demande quels sont les points (x; y) pour lequels f(x; y) = 0 , c’est à dire xy2 = 0, on reconnait qu’il s’agit là de l’ensemble
N0 =f(x; y)2R2 = x= 0 ou y= 0g=R f0g [ f0g R
réunion des deux axes Ox etOy. On dit que l’ensemble N0 est la courbe de niveau 0 de la fonction f ou aussi de la surface d’équation z =f(x; y).
la courbe de niveau 4de la fonction f est l’ensemble N4 =f(x; y)2R2 = xy2 = 4g Soit f une fonction de R2 dans R.On appelle courbe de niveau de f ou de la surface d’équation z = f(x; y) , l’ensemble des couples (x; y) 2 D(f) tels que f(x; y) prend une même valeur constante.
une courbe de niveau k de la fonction f est donc l’intersection de la surface d’équation z =f(x; y) avec le plan horizontalz =k.
www.al3abkari-pro.com
Dans le cas de f : Df R3 ! R, on parlera de surface de niveau au lieu de courbe de niveau.
Dans ce qui va suivre, plusieurs résultats seront énnoncés dans leur généralité dans le cardre d’un evn quelconque sans aucune considération sur la dimension.
§ II.2 Notion de limite
Soient E et F deux evn et f une application d’une partie A deE à valeurs dans F. Soit a un point adhérent à A. Soit l2F
Dé…nition II.2.1. On dit que f admet pour limite l quand xtend vers a si et seulement si
8" >0 ; 9 >0 tel que 8x2A ; (kx akE < ) kf(x) lkF < ") Ceci équivaut à dire que: lim
x!a(kf(x) lkF) = 0 Remarques:
1) La dé…nition précédente équivaut à: pour tout W voisinage de b dans F, il existe V un voisinage de a dans E tel que f(V \A) W.
En e¤et, Supposons que limf = b, et soit W 2 v(b), et soit " > 0 telque B(b; ") W, alors 9r >0 tel que f(B(a; r)\A) B(b; ") W. Donc il existe V =B(a; r)2v(a) tel que f(V \A) W.
Inversement, Pour tout " >0; la boule ouverte de centreb et de rayon " est un voisinage W de b donc il existe V un voisinage dea dans E tel que f(V \A) W;mais commeV est un voisinage de a, il va exister unr >0tel queB(a; r) V; et8" >0, 9r >0tel que 8x2B(a; r)\A V \A, on af(x)2W.
2) Il est facile de véri…er que si une telle limitelexiste alors elle est unique. On écrit alors lim
x!a x6=a
f(x) = l ou lim
x!af(x) = l ou tout simplement lim
a f =l
en e¤et,
Supposons que f admet deux limites distinctes l et l0. On aura pour tout" >0 9 >0tel que, 8x2A; kx akE < =) kf(x) lkF < "2
9 0 >0 tel que, 8x2A; kx akE < 0 =) kf(x) l0kF < "2
mais pour = min( ; 0), comme a 2 A , B(a; ) rencontre A et on peut choisir un x2B(a; )\A. Pour un tel xon aura:
kl l0kF kf(x) lkF +kf(x) l0kF < " ce qui donne l=l0.
www.al3abkari-pro.com
3) Notons que le fait queasoit adhérent àAest essentiel dans l’unicité de la limite, sinon ce n’est plus vrai. En e¤et si a =2A 9 0 >0 tel que B(a; 0)\A=;et alors:
8l 2F et 8" >0 , 8x2A; kx akE < 0 =) kf(x) lkF < "
et tout l2F serait limite de f en a.
4) Il est facile de voir que l’existence et la valeur de la limite ne dépendent pas de la norme choisie que ça soit dans E ou dansF, si les normes en question sont équivalentes.
On étend sans problème la dé…nition de la limite au cas de l’in…ni:
| si f : [a;+1[!F
lim+1f =l , 8" >0; 9 A >0= 8x2[a;+1[ (x A) kf(x) lkF < ")
| si f :E !F
On dit quef admet pour limite l quandkxk tend vers +1 si et seulement si 8" >0 ; 9 A >0 =8x2E (kxk A ) kf(x) lkF < ")
| si f :X E !R et a2X
lima f = +1 , 8A >0; 9 >0= 8x2X (kx ak ) jf(x)j A)
Proposition II.2.2. Si f :A E !F admet une limite …nie l en a 2A alors f est bornée au voisinage de a (i.e 9 V 2vE(a) et 9 C 0 = 8x2A\V ; kf(x)k C ):
Démonstration:
Pour "= 1; 9 V 2v(a) = 8x2A; (x2V \A) kf(x) lk 1) mais jkf(x)k klkj kf(x) lk 1
d’où kf(x)k 1 +klk.
Nous avons une caractérisation séquentielle de la notion de limite:
Proposition II.2.3. Soient f :A E !F et a2A alors
lima f =l() 8(xn)2AN; (limxn=a=)limf(xn) =l Démonstration:
supposons lim
a f =l
8" >0 ; 9 >0 tel que, 8x2A; kx akE < =) kf(x) lkF < "
soit8(xn)2AN, commelimxn=a, on a pour >0
9n0 2N tel que, 8n 2N ; n n0 =) kxn akE < et donckf(xn) lkF < "
ce qui veut dire que limf(xn) = l.
Réciproquement supposons que 8(xn)2AN; (limxn =a=)limf(xn) = l
On va faire un raisonnement par l’absurde. Supposons que malgré tout, limf 6= l, Il va donc exister un voisinage de l, W 2 v(l) tel que pour tout voisinage V 2 v(a) de a, il
www.al3abkari-pro.com
existe un x2 E (x 2V et f(x)2= W) On prend alors successivement pour voisinagesV de a:B(a;1n)
8n 2N ; 9un 2A : (un 2V etf(un)2= W)
la suite (un) est alors une suite telle que limun = a et limf(un) 6=l ce qui est contraire à l’hypothèse.
Notons en…n que les propriétés sur les opérations algébriques usuelles connues (Somme produit et quotient quand c’est bien dé…ni) sur les limites sont aussi valables. On peut les véri…ées en utilisant les mêmes propriétés précédement démontrées pour les suites:
Proposition II.2.4. Soit A une partie d’un evn E. Soient f; g; h trois fonctions de E dans R, et a2A. si lim
a f(x) = lim
a h(x) = l ; et si9V 2v(a) tel que pour toutx2A\V ; f(x) g(x) h(x) alors lim
a g(x) =l.
Proposition II.2.5. Soient E,F et G trois evn, A E et B F. Soient a 2 A et b 2B: Considérons f :A!F et g :B !G tels que f(A) B et l2G. Si
lima f(x) =b et lim
b g(x) = l alors lim
a g f(x) = l.
Proposition II.2.6. Soit A une partie d’un evn E , a 2 A , et f; g : A ! F. Soit :A!R ; 2R; et l; l0 dans F. On a
1. f(x)!a l =) kf(x)k !a klk
2. f(x)!a l et g(x)!a l0 =) f +g !a l+l0 3. f(x)!a l et (x)!a =) f !a l
Cette limite quand elle existe , ne doit pas dépendre de la direction prise par x pour approcher a. De façon plus générale, on dé…nit la notion de limite suivant une partie Dé…nition II.2.7. Soient f : A E ! F et Y une partie de A. Soient a 2 A et l 2F. On dit que f admet pour limite l en a suivant Y si et seulement si la restriction (fjY ) de f à Y admet la limite l en a. On écrit alors l= lim
a; x2Yf(x).
Bien évidement si f admet une limite l au point a, alors elle admet la limite l suivant toute partie de A. Parcontre, si suivant deux parties distinctes f tend vers deux valeurs di¤érentes, f n’admet pas de limite
Exemple :
www.al3abkari-pro.com
lim
(x;y)!(0;0)
xy
x2+y2 n’existe pas car, si on calcule cette limite suivant la droite x = y on trouve 1
2 alors que suivant la droite y= x c’est 1 2. Cas des evn de dimension …nie
Dans le cas des R-espaces vectoriels de dimension …nie, du fait que les normes sont équiv- alentes, la notion de limite ne dépend pas de la norme choisie.
Soient E etF deux evn etf une application d’une partieAdeE à valeurs dansF. On suppose que dimF =q.
Soit ("1; : : : ; "q) une base deF, et
fi =pri f : A E ! R x 7! fi(x) les applications composantes.
Proposition II.2.8. Soit f une application dé…nie sur une partie Ade E à valeurs dans F. Soit a2A, et (f1; : : : ; fq)les applications composantes de f. Soit l= (l1; : : : ; lq)2F. Alors,
l = lim
x!af(x) si et seulement si, pour tout k = 1; : : : ; q, lk = lim
x!afk(x).
Démonstration: Immédiate
Ainsi, pour reconnaitre les limites des fonctions à valeurs dans un evn de dimension …nie, il su¢ t de savoir reconnaitre les limites des applications composantes qui sont des fonctions à valeurs dans R.
§ II.3 Continuité
Dé…nition II.3.1. Soient (E; NE) et (F; NF) deux evn sur R .
Une application f : A ! F d’une partie A de E à valeurs dans F est dite continue en a2A si et seulement si
8" >0;9 >0tel que (x2A et NE(x a)< alors NF(f(x) f(a))< . Autrement dit f est continue en a sif est dé…nie au voisinage de a et si lim
a f =f(a) Si f est continue en tout point deA, on dit qu’elle est continue surA.
Exemple :
www.al3abkari-pro.com
Soient u:E !F une application linéaire d’un evn de dimension …nie d;(E; N1)dans un evn (F; NF). u est une application continue sur E. Pour le voir, il su¢ t de montrer la continuité de uau point 0. Pour cela, on choisit une base (ei)di=1 deE. On a
NF(u(x)) = NF(u(
1 i dxiei)) i jxi jNF(u(ei)), donc si on poseK =M ax(NF(u(e1)); : : : ; NF(u(ed))) nous obtenons NF(u(x)) KN1(x) qui est inférieur à " >0 dès que N1(x) est inférieur
à = "
K. Remarque:
1) b= lim
x!af(x)si et seulement si a est adhérent à A, et la fonction:
g : A[ fag ! F
x 7! g(x) = f(x) si x2A b si x=a
est continue au point a. La fonction g est dite obtenue à partir de f par prolongement par continuité au point a.
2)f est continue ena si et seulement si pour tout ouvert O deF contenant f(a)il existe un ouvert U deE contenant a tel que f(U) O.
Supposons f continue en a, et soit O un ouvert de F contenant f(a). On choisit un
" > 0 tel que B(f(a); ") O. Comme f est continue en a il va exister un >0 tel que f(B(a; )) B(f(a); "). On prend alors U =B(a; ).
Inversement, supposons que pour tout ouvertO deF contenantf(a)il existe un ouvertU deE contenantatel quef(U) O, montrons quef est continue ena. Pour tout" >0, la boule ouverteB(f(a); ")est un ouvert contenantf(a), il va donc exister un ouvertU 3a tel que f(U) B(f(a); ") comme U est ouvert, il existe un r > 0 tel que B(a; r) U. Conclusion, pour tout " >0, il existe r >0tel que f(B(a; r)) f(U) B(f(a); ").
3) Si f est continue en a, et si A est une partie deE telle que a2A alors, f(a)2f(A).
En e¤et, soitOun ouvert deF contenantf(a), le problème est de montrer queO\f(A)6=
;
Soit alors U l’ouvert de E contenant a tel que f(U) O, nous avons U \A 6= ;, donc O\f(A) f(U)\f(A) f(U \A)6=;. Donc f(a)2f(A).
Proposition II.3.2. Soit f : (E; NE)!(F; NF) une fonction. Les assertions suivantes sont équivalentes:
1) f est continue
2) Pour toute partie A de E, f(A) f(A)
3) L’image réciproque par f d’un fermé de F est un fermé de E.
4) L’image réciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert de E.
Démonstration : 1)) 2) : c’est la remarque qui précède.
www.al3abkari-pro.com
2) )3) : Soit un fermé de F, et A = f 1( ); f(A) f(A) = f(f 1( )) = . Donc A f 1( ) =A i.e A est un fermé deE.
3) )4) Soit O un ouvert deF. On a f 1({O) ={f 1(O).
4) )1) est immédiat.
Exemple:
X =f (x; y)2R2 = xy > 1g est un ouvert de R2. En e¤et la fonction
f : R2 ! R
(x; y) ! xy 1
est continue. L’ensemble ]0;+1[ est un ouvert de R; donc X =f 1(]0;+1[).
Il faut faire attention, l’image directe d’un ouvert par une application continue n’est pas nécéssairement un ouvert. Pour s’en convaincre, il su¢ t de penser à l’application constante sur R. De même, l’image dircte d’un fermé par une application continue n’est pas nécessairement un fermé; par exemple arctan([0;+1[) = [0; 2[
Proposition II.3.3. Soit (an) une suite de points de A (E; NE) qui converge vers a, si f :A!(F; NF) est continue en a, la suite (f(an)) converge vers f(a) dans F. Inversement, Si f transforme toute suite de points de A convergente vers a en une suite qui converge vers f(a), alors f est continue en a.
Démonstration : Pour tout " > 0 , il existe > 0 tel que , si x 2 A et NE(x a) <
alors NF(f(x) f(a)) < " , mais pour chaque donné, on peut trouver un rang no tel que n no ) NE(an a) < . Ainsi pour n no, si an 2 A, et NE(an a) < on a NF(f(an) f(a))< ".
Réciproquement, nous allons montrer que si f n’est pas continue ena, alors il existe une suite (an)de points de A, qui converge vers a et telle quelimf(an)6=f(a).
f n’est pas continue en a si et seulement si :
9" >0; =8 >0; 9x véri…ant x 2A et NE(x a)< et tel queNF(f(x ) f(a)) "
Choisissons alors successivement = 1; = 1
2; : : : ; = 1
n; : : :, nous obtenons alors une suite (xn)de points deA telle queNE(xn a)< 1
n etNF(f(xn) f(a)) ". C’est à dire une suite dans A qui converge versa et dont l’image parf ne converge pas vers f(a), ce qui est faux.
Dans ce chapitre nous nous intéresserons plutôt aux fonctions dé…nies sur des evn de dimension …nie; examinons cependant quelques exemples sur des espaces fonctionnels.
Exemples :
www.al3abkari-pro.com
1) Soit E =C([a; b]) Considérons l’application
f : E ! R
7! Rb a (t)dt pour tout couple ( ; ) d’éléments de E, on a
jf( ) f( )j=j Z b
a
( (t) (t)dt j Z b
a
j( (t) (t)jdt=N1( )
donc f est continue en chaque 0 de E si l’on munit E de la norme N1. En e¤et, une condition su¢ sante pour que j f( ) f( 0) j soit inférieur à ", est que N1( 0) soit inférieur à ".
Notons que f reste toujours continue si l’on munitE de la normeN2 ouN1, du fait que N1( ) p
b aN2( ) etN1( ) (b a)N1( ).
2) Toujours dans le même espace E on considère pour tout 2[a; b], l’application
ev : E ! R
7! ( )
on a clairement, jev ( ) ev ( )j N1( ). Il en résulte que ev est continue dans (E; N1). Munissons cette fois E de la norme N1.
On prenda= 0 ,b =
2, et on considère la suite dansE dé…nie parfn(t) = cosn(t). Nous avons N1(fn) =R 2
0 jcosn(t)jdt=R
0 jcosn(t)jdt+R 2
jcosn(t)jdt ; où 2[0; =2]
donc N1(fn)<R
0 1dt+R 2
jcosn(t)jdt = + (2 )cosn( ) + 2cosn( )
La suite (N1(fn)) converge vers 0. En e¤et, > 0 étant donné, choisissons 2]0; 2[ tel que 2; alors pourn su¢ sament grand, on a N1(fn)<
2+
2 = .
Notons …nalement que la suiteev0(fn)est constament égale à1, et ne peut donc converger vers ev0(0) = 0. Ainsi, l’applicationev0 n’est pas continue si l’on met sur E la norme N1. Nous constatons sur ce dernier exemple que la notion de continuité dépend des normes qu’on met sur E et F. Désignons par AN(a; NE) le sous-ensemble des suites dans A convergentes vers a pour la norme NE. L’application f :A!F induit une application
fb: AN(a; NE) ! FN (an) 7! (f(an))
dire que f : (E; NE) ! (F; NF) est continue sur A revient à dire que l’application fb envoie AN(a; NE) dans FN(f(a); NF). Si on remplace les normes NE et NF par E et
F, les espaces AN(a; NE) et FN(f(a); NF) changent, et il n’y a aucune raison pour que l’application fbenvoie AN(a; E) dans FN(f(a); F).
www.al3abkari-pro.com
Bien sûr, si E et F sont respectivement équivalentes àNE etNF, les espacesAN(a; E)et FN(f(a); F)sont identiques àAN(a; NE)etFN(f(a); NF)respectivement, et la continuité de f pour (NE; NF) équivaut à la continuité de f pour ( E; F). En particulier, si les evn considérés sont de dimension …nie, la continuité d’une fonction ne dépend pas de la norme choisie
§ II.4 Théorèmes généraux sur la continuité
1) Somme :
Soient (E; NE)et (F; NF)deux evn et A E. Si f :A !F et g :A!F sont continues en a2A , alors f+g est continue en a.
Démonstration : Soit >0 , puisque f est continue en a, il va exister un 1 >0 tel que chaque fois que x 2 A et NE(x a) < 1 on a NF(f(x) f(a)) <
2. De même pour g 9 2 >0 tel que chaque fois que x2A etNE(x a)< 2 on a NF(g(x) g(a))<
2 alors pour x2A, etNE(x a)< :=inf( 1; 2), on a
NF(f(x) +g(x) f(a) g(a)) NF(f(x) f(a)) +NF(g(x) g(a))<
2) Composition :
Soient (E; NE);(F; NF);(G; NG) trois evn, A E , et f : A ! F une application continue en a. Si B F est tel que f(A) B, et si g : B ! G est une application continue en b=f(a)2B, alors g f est continue en a.
Démonstration : Donnons-nous un > 0. Comme g est continue en b, il va exister un
>0 tel que
(y2B etNF(y b)< ))(NG(g(y) g(b))< ) et puisque f est continue en a, il existe un >0tel que
(x2A etNE(x a)< ))(NF(f(x) f(a))< )
Ainsi pour tout >0,x2AetNE(x a)< ) NG(g(f(x)) g(f(a))) < . 3) Produit :
Soient (E; NE)et (F; NF)deux evn et A E. Si f :A!F et g :A!Rsont continues en a2A , alors f g :A!F est continue en a.
Démonstration : Soit(an)une suite dansAconvergente vers a. La suite(g(an))converge vers g(a), et la suite (f(an)) converge vers f(a), donc la suite g(an)f(an) converge vers
www.al3abkari-pro.com
g(a)f(a)d’après la remarque I.3.4. Ceci étant vrai pour toute suite(an)convergente vers a, donc la fonction gf est continue au point a.
Notons que si l’espace F est muni d’un produith1h2 tel que NF(h1h2) NF(h1)NF(h2)
et si f etg sont deux fonctions continues ena, alorsf g est continue en a.
4) Quotient :
Soient (E; NE), A E et f : A ! R une application continue en a 2 A. Si f(a) 6= 0 il existe un voisinage V de a dans E tel que f ne s’annule pas sur V \A, de plus l’application f1 :V \A!R est continue en a.
Remarque
Considérons un sous-ensemble A fermé borné d’un evn de dimension …nie E.
Soit ' :A!R une application continue surA, alors
1)'est majorée (i.e il existe une constante réelleM telle que'(x) M pour toutx2A) En e¤et, si un tel M n’existait pas, alors pour tout K 2R il va exister un a2A tel que '(a)> K. Prenons successivementK = 1;2; : : : ; n; : : :, nous obtenons alors une suite(an) de points de A telle que '(an) n. La suite (an) étant bornée, on peut en extraire une sous-suite (a (n)) convergente vers un certain a0. A est fermé, donc ao 2A; la continuité de ' entraine cependant que la suite '(a (n)) converge vers '(a0), ce qui est absurde puisque par construction même, la suite '(a (n)) tend vers 1 ('(a (n)) (n) n).
2) Soit S = sup
x2A
'(x), alors il existe un point x0 2A tel que S ='(x0).
car pour tout > 0 , il existe un a 2 A tel que '(a) S , et si on prend = 1;1
2; : : : ; 1
n; : : : on obtiendra une suite (an) qui véri…e
S 1
n '(an) S+ 1 n
c’est à dire que('(an))converge versS. Puisque(an)est bornée, on peut en extraire une sous-suite(a (n))convergente versa0 qui appartient àAcar c’est un fermé. Donc la suite ('(a (n)))converge vers '(a0), et par unicité de la limiteS ='(a0).
Ainsi, nous avons le résultat suivant:
Proposition II.4.1. Toute application continue f sur un sous-ensemble A fermé borné d’un evn de dimension …nie E est bornée et atteint ses bornes.
Continuité uniforme
www.al3abkari-pro.com
Rappellons qu’une fonction f : E ! F est dite continue en a s’il existe une fonction :]0;+1[!]0;1[ telle que
8 >0; 8x2A ; si NE(x a) ( ); alors NF(f(x) f(a))
et dire que f est continue en tout point de A c’est dire qu’il existe une fonction : A ]0;+1[!]0;1[telle que
8 >0; 8a2A; 8x2A ; si NE(x a) (a; ); alors,NF(f(x) f(a))
On remarque alors que dans la dernière dé…nition la fonction dépend de et de a 2A.
Dans certains cas, ne dépend que de et non dea. C’est une situation plus particulière de la continuité : la continuité uniforme.
Dé…nition II.4.2. On dira que f est uniformément continue sur A si l’on peut choisir pour fonction (a; )une fonction indépendante de a. En d’autres termes : 8 >0;9 >
0tel que 8x2A ;8a2A ;
si NE(x a) ( );alors NF(f(x) f(a)) : Exemple :
1) Les applications linéaires u: Rn !F sont uniformément continues. En e¤et ku(x) u(x0)k=ku(x x0)k=ki(xi x0)u(ei)k Mkx x0k dès quekx x0k = =M; où M =max(ku(ei)k).
2) Une fonction lipschitzienne sur A est uniformément continue sur A.
3) Toute fonction deRdansRcontinue sur[a; b]y est uniformément continue (cf Analyse S1). En fait ce dernier résultat est un cas particulier d’une situation plus générale; c’est le théorème de Heine:
Proposition II.4.3. Soient E un evn et A une partie compacte de E. Toute fonction continue sur A y est uniformément continue.
Démonstration : Supposons que malgré tout, f n’est pas uniformément continue. Il existerait alors un >0 tel que 8 >0; 9a 2A et 9x2A tels que NE(x a) ) NF(f(x) f(a))> .
En prenant successivement = 1;1
2; : : : ; 1
n; : : :, nous obtenons deux suites (an) et (xn) dans A, véri…ant:
8n ; NE(xn an) 1
n et NF(f(xn) f(an))>
Mais A étant compact, de la suite (an) on peut extraire une sous-suite convergente dans A vers , etNE(x'(n) a'(n)) 1
n entraine que la suite(x'(n))converge aussi vers . La
www.al3abkari-pro.com
continuité de f donne la convergence des suites (f(xn)) et (f(an)) vers la même limite f( ). Ce qui est absurde car pour toutn nous avions NF(f(a'(n)) f(x'(n)))> . Remarque:
On a un résultat plus général englobant les énoncés précedents, et en particulier les evn de dimension in…nie:
E un evn, l’image d’un compact de E par une application continue est un compact de F. en e¤et, soit K un compact de E, et soit (yn) 2 f(K)N une suite dans f(K). Nous avons yn = f(xn) avec (xn) une suite dans K; comme K est compact, il existe une extractrice ' telle que (x'(n)) converge vers l dans K. Comme f est continue la sous suite y'(n) =f(x'(n)) converge vers f(l): Ainsi de toute suite de f(K) on peut extraire une sous suite convergente, donc f(K) est un compact de F.
Les applications linéaires de E dans F
Nous avons vu que dans le cas où E est un espace de dimension …nie toute application linéaire deE dansF est continue. Ce n’est plus le cas siE n’est pas de dimension …nie : Exemple d’application linéaire non continue :
Soit E = R[X] l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coe¢ cients réels muni de la norme
kPk= sup
0 t 1
(jP(t)j)
La forme linéaire :P !P(3) n’est pas continue dans E car la suite de terme général Pn(t) = (t
2)n tend vers 0 mais (Pn) = (32)n diverge
Proposition II.4.4. Soit f 2L(E; F). Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1. f est continue en 0.
2. f est continue sur E.
3. f est uniformément contiinue sur E 4. f est lipschitzienne.
5.f est bornée sur la boule unité 6.f est bornée sur la sphère unité
7. Il existe une constante M >0 telle que kf(x)kF Mj kxkE pour tout x2E.
Démonstration:
www.al3abkari-pro.com
(1) ) (2) : f étant continue en 0pour tout " > 0 il existe >0 tel que pour tout x de E :
(jjxjj ) jju(x)jj ")
Pour tous x et y de E tels que kx yk " on a kf(x) f(y)k =kf(x y)k ", donc f est continue dansE, et même uniformément continue puisque ne dépend que de".
(2) ) (3) : si f est continue dans E elle est continue en 0 donc f est uniformément continue dans E d’après la démonstration précédente.
(3) )(4) : f étant continue il existe >0 tel que kxk ) kf(x)k 1. Pour tout x non nul de E on a donc f(kxxk) 1
soitkf(x)k 1 kxk, inégalité valable aussi pour x= 0.
Pour tous x ety de E on a donc :
kf(x) f(y)k=kf(x y)k 1
kx yk et donc f est lipschitzienne.
(4) )(5) : f étant lipschitzienne il existe k >0 tel que pour tousx et y deE : kf(x) f(y)k kkx yk
Pour tout x de la boule unité B de E on a donc kf(x)k kkxk k, donc f est bornée dans B.
(5) )(6) : évident.
(6) ) (7) : f étant bornée sur la sphère unité S de E il existe un réel a > 0 tels que kf(x)k apour toutxdeS. Pour toutxdeE f0gon ax=kxk 2S donc f( x
kxk) a;
soitkf(x)k akxk, inégalité encore valable si x= 0.
(7) )(1) : évident.
Proposition II.4.5. L’application
f ! kfkLc(E;F) = sup
kxkE=1jf(x)j
dé…nit une norme sur l’espace vectoriel Lc(E; F) des applications linéaires continues.
Démonstration:
1) kfkLc(E;F) = sup
kxkE=1jf(x)j = 0 () 8 x 2 SE , jf(x)j = 0. Mais alors pour tout x2Enf0g on a f(x) = f(kxkkxxk) = kxkf(kxxk) = 0. D’oùf = 0.
2) k fkLc(E;F) = sup
kxkE=1j f(x)j=j j sup
kxkE=1j f(x)j=j j kfkLc(E;F)
3) kf+gkLc(E;F)= sup
kxkE=1jf(x) +g(x)j sup
kxkE=1jf(x)j+ sup
kxkE=1jg(x)j
www.al3abkari-pro.com
Dé…nition II.4.6. Soient E et F deux evn, A E et B F. Une application f :A!B est un homéomorphisme de A sur B si
1- f est une bijection de A sur B 2- f et f 1 sont continues.
Dans ce cas on dit que A et B sont homéomorphes Exemple :
1) L’application identique id:Rn!Rn est un homéomorphisme de Rn surRn. 2) f :R!R qui àx associex3 est un homéomorphisme de R surR.
3) f : [0;1[[f2g ! [0;1]
x ! x si x2[0;1[
1 si x= 2
est une bijection continue, mais ce n’est pas
un homéomorphisme carf 1 n’est pas continue en 1.
4) Si E est un evn de dimension in…nie idE : (E; N) ! (E; ) n’est pas nécessairement un homéomorphisme. C’en est un si les deux normes N et sont équivalentes.
5) Si on note S1 := f(x; y) 2 R2 =x2 +y2 = 1g le cercle unité, et N = (0;1) le pôle nord de S1, nous avons un homéomorphisme de S1 fNg sur R donné par la projection stéréographique S :S1 fNg !R qui à (x; y) associe x
1 y. Continuité dans des evn de dimension …nie
Dans ce qui va suivre, et sauf mention du contraire, les evn considérés sont desR-espaces vectoriels de dimension …nie . Nous avons vu déjà que dans ce cas, la continuité d’une application deE dans F est indépendante des normes choisies surE etF, puisque toutes les normes sont dans ce cas équivalentes.
Soit ("1; : : : ; "p) une base de F, on a vu q’une application f de E dans F va s’écrire : f =
p
i=1fi"i. et que nous avons la ième fonction composante fi =pri f
Proposition II.4.7. f est continue en a si et seulemement si pour tout i= 1; : : : ; p les applications composantes fi sont continues au point a.
Démonstration : Comme fi = pri f, la continuité de f entraine évidement celle des applications fi.
Réciproquement, supposons que les fi sont toutes continues en a. Remarquons que f =
Xp k=1
ik fk (A)
www.al3abkari-pro.com
où ik : R ! Rp
t 7! (0; : : : ;0; t;0; : : : ;0)
on déduit immédiatement la continuité de f à partir de celle des fk.
Ainsi, pour reconnaitre les applications continues à valeurs dans un evn de dimension …nie, il su¢ t de savoir reconnaitre les applications continues à valeurs dans R. En général, les applications que nous rencontrerons sont données par des formules faisant intervenir les coordonnées du point, et les fonctions classiques à une variable.
Soit maintenant f une fonction dé…nie sur un ouvert U d’un espace vectoriel E de dimension …nien à valeurs dans F. Soit(ei)ni=1 une base deE; tout vecteurx2E s’écrit
x= P
1 i n
xiei, etf apparait comme une fonction f(x1; : : : ; xn)de n variables réelles.
Soit a = P
1 i n
aiei un point deU E, on considère les n fonctions
a;k : R ! E
t 7! (a1; : : : ; ak 1; t; ak+1; : : : ; an)
et on dé…nit la keme fonction partielle de f au point a : fa;k :R!F par fa;k =f a;k (B)
comme les applications a;k sont continues au pointak, on déduit que sif est continue au point a, alors pour tout k= 1; : : : ; n, la fonction partielle fa;k est continue au point ak. Il faut faire attention car la réciproque du résultat précédent n’est pas vraie. Il existe des fonctions dont toutes les fonctions partielles sont continues sans pour autant être continues. Pour s’en convaincre, il su¢ t de considérer l’exemple suivant dû à Cauchy
'(x; y) =
( xy
x2+y2 si (x; y)6= (0;0) 0 si (x; y) = (0;0)
Les fonctions partielles au point(0;0), '(0;0);1 et '(0;0);2 sont identiquement nulles, pour- tant, ' n’est pas continue en (0;0), car la suite ((1
n;1
n)) converge vers (0;0) mais son image par ' est la suite constante 1
2 qui ne saurait converger vers 0.
