Préambule sur la contraposée : montrer que « si n2 est un nombre pair alors n est un nombre pair. » revient à montrer que « si n est impair alors n2 est impair ».
Démonstration : soit n un entier impair. Il existe un entier k tel que n=2 k +1 . Donc n2
=4 k2+4 k +1=2(2 k2+2 k )+1
2 k2+2 k étant un entier, on peut affirmer que n2 est impair. On a montré que : si n est impair, alors n2 est impair. La contraposée est vraie : si n2 est pair, alors n est pair. Exercice 1 :
1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les réponses. a) Si K est le milieu de [AB], alors KA=KB .
Par définition, K est le milieu de [AB] ⇔ K ∈ [AB] et KA=KB Donc il est vrai que : K est le milieu de [AB] ⇒ KA=KB Par contre, la réciproque est fausse.
b) Si KA=KB , alors K est le milieu de [AB]. On vient de dire que c'est faux...
N'importe quel point de la médiatrice de [AB] distnct du milieu de [AB] peut servir de contre-exemple... c) Si K est le milieu de [AB], alors AK +KB=AB .
K est le milieu de [AB] ⇒ K ∈ [AB]
Et K ∈ [AB] ⇒ AK +KB=AB (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire) Donc, K est le milieu de [AB] ⇒ AK +KB=AB
L'implication est vraie.
Par contre, la réciproque est fausse.
d) Si AK +KB=AB , alors K est le milieu de [AB]. On vient de dire que c'est faux...
N'importe quel point du segment [AB] distnct du milieu de [AB] peut servir de contre-exemple... e) Si K appartient à [AB], alors KA +KB=AB .
On a déjà précisé dans le c) que cette implcation est vraie. La réciproque est vraie aussi.
C'est le cas dégalité de l'inégalité triangulaire (vue en classe de cinquième) Rappel de l'inégalité triangulaire :
Soit A et B deux points distincts (fixes) du plan. Soit M un point (mobile) du plan. AM +MB⩾AB
Cas d'égalité : AM +MB=AB ⇔ M ∈ [AB]
On dit aussi : « Le plus court chemin pour rallier un point (A) à un autre (B) est la ligne droite. »
Remarque : la relation de Chasles dit : ⃗AM +⃗MB=⃗AB et peut servir à décrire un chemin qui partirait de A pour aller à B en passant par M.
∥
⃗AM+⃗MB∥=∥
⃗AB∥=ABMais ∥⃗AM∥+∥⃗MB∥=AM+MB⩾AB
De manière générale, ⃗
∥⃗
u∥+∥⃗v∥⩾∥⃗u +⃗v∥ (c'est l'inégalité triangulaire avec les vecteurs...) Raisonnement et éléments de logique – Langage mathématique - corrigéA B M ⃗ u ⃗v ⃗ u+⃗v
f) Si AK +KB=AB , alors K appartient à [AB]. On vient de dire que c'est vrai...
2. Associer chacune des phrases qui suit à une implication de la question 1, et répondre à la question posée. Toutes les phrases proposées ici sont vraies...
A) Il faut que KA=KB pour que K soit le milieu de [AB]. Est-ce une condition suffisante ? La proposition A) est associée à la proposition a) : K est le milieu de [AB] ⇒ KA=KB
On a vu que la réciproque est fausse : il ne suffit pas que KA=KB pour pouvoir affirmer que K est le milieu de [AB]...
B) Il suffit que K soit le milieu de [AB] pour que AK +KB=AB . Est-ce une condition nécessaire ? La proposition B) est associée à la proposition c) : K est le milieu de [AB] ⇒ AK +KB=AB On a vu que la réciproque est fausse : il n'est pas nécessaire que K soit le milieu de [AB] pour avoir
AK +KB=AB …
C) Il suffit que AK +KB=AB pour que K appartienne à [AB]. Est-ce une condition nécessaire ? La proposition C) est associée à la proposition f) : AK +KB=AB ⇒ K ∈ [AB]
On a vu que la réciproque est vraie : Il faut que AK +KB=AB pour que K appartienne à [AB]. AK +KB=AB est une condition nécessaire et suffisante pour que K appartienne à [AB].
Exercice 2 : On donne ci-dessous des phrases ou des égalités . Écrire toutes les implications vraies.
Remarque : il y a six propositions. On peut les numéroter de 1 à 6. Écrire une implication utilisant deux de ces propositions revient à choisir une liste ordonnée sans répétition de deux chiffres pris parmi 6 (tirage successif sans remise de deux éléments de {1;2;3;4;5;6}).
premier chiffre deuxième chiffre 6 choix possibles 5 choix possibles
On peut donc écrire 30 implications avec ces six propositions.
On pourrait les écrire toutes et préciser lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses...
Si l'on s'aperçoit sufisament tôt que quatre de ces propositions peuvent être ramenées à deux, on gagnera cependant en efficacité ! En effet, IM+IM' =MM ' ⇔ I ∈ [ MM' ]
et, par définition, M ' est l'image de M par la symétrie de centre I ⇔ I est le milieu de [ MM' ] Il ne reste alors plus que 12 implications à tester :
IM=IM ' ⇒ I est le milieu de [ MM' ] FAUX
IM=IM ' ⇒ I ∈ [ MM' ] FAUX
IM=IM ' ⇒ M ' ∈ (IM) FAUX
I est le milieu de [ MM' ] ⇒ IM=IM ' VRAI I est le milieu de [ MM' ] ⇒ I ∈ [ MM' ] VRAI I est le milieu de [ MM' ] ⇒ M ' ∈ (IM) VRAI
On aurait aussi pu schématiser ce problème de dénombrement à l'aide d'un arbre...
I ∈ [ MM' ] ⇒ IM=IM ' FAUX I ∈ [ MM' ] ⇒ I est le milieu de [ MM' ] FAUX
I ∈ [ MM' ] ⇒ M ' ∈ (IM) VRAI
M ' ∈ (IM) ⇒ IM=IM ' FAUX
M ' ∈ (IM) ⇒ I est le milieu de [ MM' ] FAUX
M ' ∈ (IM) ⇒ I ∈ [ MM' ] FAUX
Exercice 3 : Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes : 1. Le carré de tout réel est positif.
Pour tout x ∈ ℝ, x2 ⩾0 .
2. Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré. Il existe x ∈ ℝ tel que x⩾ x2.
3. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres. Pour tout N ∈ ℕ, il existe n ∈ ℕ tel que n> N . 4. Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
Pour tous réels a et b tels que a<b , il existe un nombre rationnel q tel que a<q<b .
Exercice 4 : Raisonnement par l'absurde. Montrer que
√
2 n'est pas un nombre rationnel.Mener un raisonnement par l'absurde consiste à émettre une hypothèse, dont on sait qu'elle est fausse, et à mener à partir de cette hypothèse un raisonnement déductif qui entraîne une contradiction : cela permet d'affirmer que l'hypothèse de départ est fausse, et donc que sont contraire est vrai...
Supposons que
√
2 est un nombre rationnel, autrement dit qu'il peut être écrit sous la forme d'une fraction irréductible.Donc, il existe deux entiers m et n, premiers entre eux, tels que
√
2=m n .On a donc : m2=2 n2. m2 est pair, ce qui implique, on l'a vu en préambule, que m est pair. Donc il existe un entier k tel que m=2 k . Par suite, m2
=4 k2. Or, on sait que : m2
=2 n2. Donc, 4 k2=2 n2 n2=2 k2 Donc, n2 est pair et n l'est aussi.
Om a montré que m et n sont tous les deux pairs !!! Alors qu'on avait fait l'hypothèse qu'ils étaient premiers entre eux !!! Il y a là une contradiction qui prouve que notre hypothèse est fausse.
Finalement, cela prouve que
√
2 n'est pas un nombre rationnel. Exercice 5 : Montrer une équivalence... ou pas.1. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 15, alors il est multiple de 3 et multiple de 5. ». Cela revient aussi à dire que « Tout nombre multiple de 15 est à la fois multiple de 3 et de 5. » .
Soit n un entier multiple de 15. Il existe un entier p tel que n=15 p .
n=3×(5 p) et 5 p est un entier, donc n est muliple de 3. n=5×(3 p) et 3 p est un entier, donc n est multiple de 5.
b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel. Montrer que cette réciproque est vraie.
La réciproque est : « Si un nombre est multiple de 3 et multiple de 5, alors il est multiple de 15. » Un autre énoncé possible est : « Tout nombre multiple à la fois de 3 et 5 est multiple de 15. » Démonstration :
Soit n un entier multiple de 3 et de 5.
Il existe deux entiers p et q tels que n=3 p et n=5 q .
Donc 3 p=5 q . Donc 3 p est multiple de 5. Mais, 3 et 5 étant premiers entre eux, on peut également
affirmer que p est multiple de 5 (ce résultat, qui paraît assez « évident », est connu sous le nom de théorème de Gauss... Il sera démontré en spécialité mathématiques, en classe de terminale S).
Donc il existe un entier r tel que p=5 r . Finalement, n=3×(5 r)=15 r .
n est bien multiple de 15.
On a montré que : Si un nombre est multiple de 3 et multiple de 5, alors il est multiple de 15.
2. a) Montrer que « Si un nombre est multiple de 24, alors il est multiple de 6 et il est multiple de 4 ». Soit n un entier multiple de 24.
Il existe un entier p tel que n=24 p .
n=4×(6 p) et 6 p est un entier, donc n est muliple de 4. n=6×(4 p) et 4 p est un entier, donc n est multiple de 6.
On a montré que : Si un nombre est multiple de 24, alors il est multiple de 4 et multiple de 6. b) Énoncer la réciproque puis en écrire une autre formulation à l'aide d'un quantificateur universel.
Montrer que cette réciproque est fausse en montrant que le contraire (de la formulation avec le quantificateur) est vrai.
La réciproque est : « Si un nombre est multiple de 4 et multiple de 6, alors il est multiple de 24. » Un autre énoncé possible est : « Tout nombre multiple à la fois de 4 et 6 est multiple de 24. » Le contraire est : « Il existe un nombre à la fois multiple de 4 et de 6 qui n'est pas multiple de 24. » Ce dernier énoncé est vrai : en effet, 12 est multiple à la fois de 4 et 6, et n'est pas multiple de 24. Les deux énoncés de la réciproque sont donc faux.
Exercice 6 : Pourquoi faut-il travailler par équivalence quand on résout une équation ? 1. L'implication « Si x=2 alors x2
=4 » est vraie et assure l'existence d'une solution à l'équation x2=4 . Sa réciproque est-elle vraie ?
2 est-elle l'unique solution de l'équation x2=4 ? x=2 ⇒ x2
=4
La réciproque, qui pourrait s'énoncer « Tout nombre dont le carré vaut 4 est égal à 2. » est fausse.
Son contraire, « Il existe un nombre donc le carré vaut 4 et qui n'est pas égal à 2. » est vrai : en effet, le cerré de −2 est 4 et −2 n'est pas égal à 2...
L'implication vraie « x=2 ⇒ x2
=4 » assure l'existence d'une solution à l'équation x2=4 , mais pas son unicité.
Résoudre une équation, c'est résoudre un problème dit « d'existence et d'unicité » (l'existence et l'unicité des solutions de l'équation...)
Il est alors très pratique de travailler par équivalence... x2=4 ⇔ x=−2 ou x=2
2. L'implication « x+3
4 x2+5 x−21=0 ⇒ x=−3 » est vraie. Elle peut être lue : « S'il existe un nombre x tel
que x+3
4 x2
+5 x−21=0 , alors ce nombre ne peut être que −3 . » Le problème de l'existence d'une solution à l'équation x+3
4 x2+5 x−21=0 n'est cependant pas résolu... Cette équation a-t-elle une solution ?
Et non... En effet, 4×(−3)2+5×(−3)−21=36−15−21=0. −3 annule le dénominateur de x+3
4 x2+5 x−21 et ne peut donc pas être solution de
x+3
4 x2+5 x−21=0 . Cette équation n'a pas de solution...
3. Résoudre une équation consiste à prouver l'existence et l'unicité des solutions (s'il y en a) et à trouver ces solutions. Dans le cas de la question 2., l'équation, de la forme A
B=0 , est équivalente au système
{
A=0B≠0 . L'accolade est dans ce cas un symoble mathématique voulant dire « et ».Résoudre l'équation x 2 +4 x +4 x2−1 =0 . x2 +4 x +4 x2−1 =0 ⇔
{
x 2+4 x+4=0 x2−1≠0 ⇔{
(x +2) 2 =0 x≠−1 x≠1 ⇔ x=−2 L'équation x 2 +4 x +4x2−1 =0 admet −2 pour unique solution.
Exercice 7 : Encore des équivalences...
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j) . Soit A (2 ;3) .
On note c le cercle de centre A et de rayon 5. Et on note s l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation x2 +y2 −4 x−6 y −12=0 . Montrer que c = s. M( x ; y ) ∈ c ⇔ AM2=25 ⇔ (x−2)2+(y−3)2=25 ⇔ x2 −4 x +4+ y2−6 y +9−25=0 ⇔ x2 +y2−4 x−6 y −12=0 ⇔ M( x ; y ) ∈ s Finalement, c = s
