On en déduit donc qued≡0 (2), c’est à dire quedest pair

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TS spécialité Trois exercices : PGCD _2013-2014

EXERCICE 1 :

Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels dont le PPCM(a, b) = m et le PGCD(a, b) = d vérifient la relation

8m= 105d+ 30 (⋆) d|105d

d|aeta|mdoncd|m

=⇒d|8m−105d c’est à dire d|30 doncd∈ {1,2,3,5,6,10,15,30}

De plus,

Si d≡ 1 (2), compte-tenu des compatibilités des congruences avec les opérations élémentaires, 105d≡1 (2) et donc 105d+ 30≡1 (2). Or 8m≡0 (2), ce qui rend l’égalité 105d+ 30 = 8mimpossible. On en déduit donc qued≡0 (2), c’est à dire quedest pair.

Ainsid∈ {2,6,10,30}

d|mdonc il existek∈Ntel quem=kd, ce qui « injecté » dans l’égalité (⋆) donne 8kd= 105d+ 30⇔d(8k−105) = 30

Une disjonction de cas donne

d 8k−105 k

2 15 15

6 5 knon entier

10 3 knon entier

30 1 knon entier

On a doncd= 2 et grâce à (⋆), on obtientm= 30 et en vertu de md=ab, il reste à déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels pairs (puisqued= 2) tels que ab= 60. Les deux seuls couples possibles sont donc (2,30) et

(6,10) . (aet bjouant un rôle symétrique)

EXERCICE 2 :

Pour tout entier naturel,nsupérieur ou égal à 5, on considère les nombres a=n³−n²−12netb= 2n²−7n−4

1. Démontrer, après factorisation, queaet bsont des entiers naturels divisibles parn−4.

2. On poseα= 2n+ 1 etβ=n+ 3. On notedle PGCD deαet β.

(a) Trouver une relation entreαetβ indépendante den.

(b) Démontrer quedest un diviseur de 5.

(c) Démontrer que les nombresαetβ sont multiples de 5 si et seulement sin−2 est multiple de 5.

3. Démontrer que 2n+ 1 etnsont premiers entre eux.

4. (a) Déterminer, en fonction den, le PGCD deaet de b.

(b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliersn= 11 etn= 12.

1. a=n³−n²−12n=n(n²−n−12) =n(n−4)(n+ 3) doncn−4|a.

b= 2n²−7n−4 = (2n+ 1)(n−4) doncn−4|b.

2. On poseα= 2n+ 1 etβ=n+ 3. On notedle PGCD deαet β.

(a) Pour tout n>5,2(n+ 3)−(2n+ 1) = 5.

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(2)

(b) ddiviseαet β doncd|2α−β, c’est à dired|5.

(c) 5|αet 5|β donc 5|α−β⇒5|n−2. Réciproquement 5|n−2 et 5|5 implique que 5|(n−2) + 5, c’est à dire 5|β et 5|n−2 et 5|5 implique que 5|2(n−2) + 5, c’est à dire 5|α.

3. 2n+ 1 etnsont premiers entre eux car pour toutn, 2n+ 1−2×n= 1 (égalité de Bézout).

4. (a) Soitδ= PGCD(α, βn). On a δ|αet δ|βn et comme αet nsont premiers entre eux, il existe (u, v)∈Z² tels queαu+nv= 1 et doncαβu+nβv=β. De sorte queδ|β.

Siδ|αet δ|β alorsδ|PGCD(α, β), c’est à direδ|d.

Ainsi PGCD(a, b) = PGCD(α(n−4), βn(n−4)) = (n−4)PGCD(α, βn) = (n−4)d.

Désormais, il faut remettre de l’ordre dans tout ce qui précéde, on résume :

• d|5 ;

• d= 5⇔5|n−2 ; (αetβ multiples de 5 et d|5 impliqued= 5)

• PGCD(a, b) = (n−4)d.

C’est ainsi que

⊲ Sin= 5k+ 2 alorsd= 5 et PGCD(a, b) = 5(n−4) ;

⊲ Sinond= 1 et PGCD(a, b) =n−4

(b) Cas particuliersn= 11 etn= 12 (laissé au lecteur).

EXERCICE 3 :

Un astronome a observé au jour J⁰ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 + 6), il observe le corps B, dont la période d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l’astronome.

Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J1.

1. Soientuet v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J⁰ et J¹. Montrer que le couple (u;v) est solution de l’équation (E¹) :

35x−27y= 2.

2. (a) Déterminer un couple d’entiers relatifs (x0;y0) solution particulière de l’équation (E2) : 35x−27y= 1.

(b) En déduire une solution particulière (u⁰;v0) de (E¹).

(c) Déterminer toutes les solutions de l’équation (E¹).

(d) Déterminer la solution (u; v) permettant de déterminer J¹. 3. (a) Combien de jours s’écouleront entre J⁰ et J¹?

(b) Le jour J⁰ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J¹? (L’année 2000 était bissextile.)

(c) Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu’à la prochaine conjonction des deux astres ?

1. EntreJ0 etJ1 :

• Aaura effectué upériodes, il se sera écoulé 105ujours ;

• B aura effectué vpériodes, 81v+ 6 jours se seront écoulés. (apparition deB 6 jours aprèsJ0)

On a donc, en raison de la définition deJ1, 105u= 81v+ 6 ⇔35u−27v = 2. Le couple (u, v) est donc bien solution de l’équation 35x−27y= 2.

(3)

2. (a) 35 et 27 sont premiers entre eux donc l’équation 35x−27y= 1 admet des solutions (théorème de Bézout).

Soit (x⁰;y0) une solution particulière de l’équation (E²). On remonte l’algorithme d’Euclide : 35 = 1×27 + 8 35×10 = 10×27 + 8×10 35×(−10)−27×(−13) = 1

27 = 3×8 + 3 27×3 = 9×8 + 3×3 27×3−1 = 10×8 8 = 2×3 + 2 8 = 2×3 + 3−1 8 + 1 = 3×3 3 = 1×2 + 1 2 = 3−1

(x0;y0) = (−10,−13)

(b) (u0;v0) = (2x0; 2y0) = (−20,−26) solution de (E1).

(c) Soit (x;y) un couple quelconque de solutions de (E1).

35u⁰−27v⁰= 2 et 35x−27y= 2⇒35u⁰−27v⁰= 35x−27y⇔35(x−u0) = 27(y−v0) (∗) première interprétation de (∗) :

35|27(y−v0) 35 et 27 sont premiers entre eux

donc d’après le théorème de Gauss : 35|y−v0 et il existe k∈Ztel quey−v0= 35k

deuxième interprétation de (∗) : 27|35(x−u0)

pgcd(35; 27) = 1

donc d’après le théorème de Gauss : 27|x−u0 et il existek^′∈Ztel que x−u0= 27k^′

En reportant x−u0 et y−v0 dans (∗), on prouve quek = k^′. Les couples (x, y) solutions de (E1) sont donc de la forme (−20 + 27k,−26 + 35k). On vérifie que tout couple de cette forme vérifie l’équation (E¹) : 35(−20 + 27k)−27(−26 + 35k) = 1, ∀k∈Z, ce qui permet de donner l’ensemble des solutions de (E¹)

{(−20 + 27k,−26 + 35k), k∈Z}

(d) La solution (u;v) permettant de déterminer J1 est obtenue aveck= 1 (premier couple d’entiers naturels) donc (u;v) = (7; 9).

3. (a) Entre J0 et J1, 105×7 jours s’écouleront soit 735 jours.

(b) Jour J0 : mardi 7 décembre 1999. On ajoute 735 jours. 735−(24 + 366) = 345 ce qui donne la date du 11 décembre 2001.

(c) Le jour J2 sera obtenu lorsque k = 2 dans l’ensemble des solutions. On obtient (x², y2) = (34,44) et 105×34 = 3570 jours. Or ce nombre de jours est calculé à partir deJ0, on souhaite le calculer à partir de J1 donc pour voir la prochaine conjonction des deux astres, il devra attendre 2835 jours (3570−735).