E679- Les premiers serpentiformes
On considère trois tableaux carrés de côté n = 3, 4, 5 qui ont 9, 16 et 25 cases que l’on
remplit respectivement avec les entiers de 1 à 9, de 1 à 16 et de 1 à 25. Dans quel(s) tableau(x) est-il
possible de ranger ces entiers de sorte que la somme des entiers contenus dans deux cases
adjacentes quelconques est toujours un nombre premier.
Nota : lorsqu’une solution au moins existe dans un tableau de côté n, on donnera celle qui minimise la
somme des nombres contenus dans le carré de côté n – 2 au centre du tableau..
Solution proposée par Jean Nicot
.
Deux nombres de même parité ne peuvent pas être voisins. Les tableaux sont des damiers ; une
couleur est affectée à une parité.
Cas n=3
Il y a 5 nombres impairs et quatre pairs. La case centrale est donc impaire, ses 4 voisines
sont paires. Il n’y a pas de suite de 4 nombres premiers jumeaux. Ce cas est impossible
Cas n=4
Il existe une solution, avec un carré central de somme minimale
7 12 5 6 10 1 2 11
13 4 3 8
16 15 14 9
Cas n=5 Il existe une solution.
Le carré n=3 aurait été possible en remplaçant 8 par 10 et c’est le minimum. On peut alors compléter son périmètre en respectant la condition du texte.
11 12 17 20 23
18 5 2 3 14
25 6 1 4 15
16 7 10 9 8
13 24 19 22 21
Cas n=6 Il existe une solution. On part du carré n=4 et on complète le périmètre
23 30 17 26 35 22
24 7 12 5 6 31
19 10 1 2 11 36
18 13 4 3 8 21
25 16 15 14 9 20
34 27 32 29 28 33
