D601 - Comment un cercle peut remplacer un compas
Solution
Avant d’aborder la construction proprement dite de la droite parallèle à L passant par P, on rappelle au préalable une propriété bien connue des droites céviennes : soient O,R et Q d’une part et O,S et P alignés dans cet ordre sur deux droites concourantes (voir 1ère figure ci-
dessous). PR et QS se coupent au point I tandis que PQ et RS se coupent au point V. OI coupe PQ en U. Les points P,U,Q,V constituent une division harmonique, c’est à dire que
UP/UQ = VP/VQ.
On en déduit que d’un point P on peut mener une droite parallèle à une droite L si on dispose du milieu M d’un segment AB quelconque situé sur cette droite. En effet à partir du point P on trace les droites PA,PM et PB. On prend un point I quelconque de PM. Les droites BI et AI coupent PA et PB en C et D. La droite CD est parallèle à la droite L. En effet si CD
rencontrait la droite D en un point N, on aurait MA/MB = NA/NB =1/2, ceci n’est possible que si N est rejeté à l’infini.
Grâce à cette propriété que nous appellerons par la suite PR, la construction de la parallèle à L passant par P est rendue plus aisée. Le cercle de centre O va être utilisé pour construire sur la droite L un segment et son milieu.
Soit une droite D1 quelconque qui passe par O et coupe le cercle en deux points E et F. Soit une deuxième droite quelconque D2 distincte de D1, qui passe également par O et coupe le cercle en G et H. Grâce à la propriété PR, on sait construire avec le segment GH de milieu O sur la droite D2 les parallèles L1 et L2 à la droite D2 passant respectivement par E et F. La figure ci-après fait apparaître les deux droites parallèles L1 et L2 en rouge sans les tracés intermédiaires.
La droite D et les deux droites L1 et L2 coupent la droite L respectivement en M,A et B.
Comme O est milieu de EF, M est milieu de AB. Dès lors, on trace PA, PM et PB. La droite L2 coupe PA en C et PM en I. La droite AI coupe PB en D. En raison de la propriété PR, CD est parallèle à L.
