A1717. Du rififi chez les phi (1er épisode)

A1717. Du rififi chez les phi (1er épisode)

La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.

 Q1 Déterminer toutes les solutions des équations : o 1ère équation : phi(n) = 32,

o 2ème équation : phi(n) = 256, o 3ème équation : phi(n) = 1024 [***]

 Q2 Pour les très courageux : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2^m [*****]

Solution proposée par François Tisserand

Considérations préliminaires :

Soit n un entier strictement positif, qui se décompose en ses facteurs premiers p_i de puissance α_j. (1) n= Πij piα

j

avec pi premier et αj>0.

La valeur de l’indicatrice d’Euler est donné par : (2) φ(n)=n*Πi (1-1/pi) soit en reportant (1) (3) φ(n)= Πij pi(α

j-1⁾ *Πi (pi-1)

Solutions de la première équation : φ(n)=32 Trivialement on a 32=2⁵ Donc, en reprenant (3)

(4) φ(n)= Πij pi(αj-1)

*Πi (pi-1)=32=2⁵

(5) Donc (4) implique que (pi-1) soit une puissance de 2, donc que p_i=2^ki+1 avec dans le cas de la première équation k≤5. Le tableau suivant donne les valeurs de pi possibles.

ki 2^ki+1 pi

0 2 2

1 3 3

2 5 5

3 9 pas premier

4 17 17

5 33 pas premier Les seules valeurs de pi possibles sont {2,3,5,17}

Le nombre maximum de pi (qui sont tous différents, de valeurs croissantes) est donné par le fait que la somme des puissances de 2 doit être au plus égale à 5, donc Trois facteurs maximum (0+1+2=3 et 0+1+2+3=6>5 donc pas possible d’avoir 4 facteurs).

Cas de 1 seul facteur :p_i=p Si on reprend (4) on a :

(6) φ(n)= p^(αj-1) *(p-1) =2⁵

Qui a pour première possibilité : p=2 et α-1=5 donc α=6

Qui a pour deuxième possibilité α=1 et p=2⁵+1=33 qui n’est pas premier La seule solution de la première équation à 1 seul facteur est n=2⁶=64 Cas de 2 facteurs :pi=p & q premiers avec p<q

Si on reprend (4) on a :

(7) φ(n)=p^(α-1) *q^(β-1) *(p-1)*(q-1)=2⁵,

prenons le cas p=2 , comme q>2 il faut que β=1 alors (7) devient : (8) φ(n)=2^(α-1)*(q-1)=2⁵

le tableau suivant donne les valeurs de α et de q possibles :

α 2^(α-1) q-1 q

1 1 32 33 pas premier

2 2 16 17

3 4 8 9 pas premier

4 8 4 5

5 16 2 3

On retrouve le fait que si p=2, alors q ne peut prendre que les valeurs 3, 5 et 17 (cf tableau (5)) Il y a donc 3 solutions a 2 facteurs qui sont :

q p n

17 2 68

5 2 80

3 2 96

(9) pour le cas p=2 les trois valeurs de n possibles sont n={ 68, 80,96,}

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 alors (7) devient :

(10) φ(n)= (p-1)*(q-1)=2⁵,ce qui prenant en compte la primalité de 2^ki+1 du tableau (5) donne :

(11) p=3 et q=17 donc n=51

(12) pour le cas p≠2 la seule valeur de n possible est n={ 51}

Cas de 3 facteurs :pi=p & q &r premiers avec p<q<r Si on reprend (4) on a :

(13) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)=2⁵

prenons le cas p=2 , comme q et r>2 il faut que β=1 et γ=1 alors (13) devient : (14) φ(n)= 2^(α-1)*(q-1)*(r-1)=2⁵

les seules valeurs possibles de q sont 3, 5 et 17 et comme 5 et 17 ne donnent pas de valeurs de r compatibles, les deux seules solutions pour cas p=2 sont :

α 2^(α-1) q r p n

1 1 3 17 2 102

3 4 3 5 2 120

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 et γ=1 alors (13) devient : (15) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1)=2⁵

qui n’est pas compatible avec les 3 seules valeurs possibles de p, q, r {3, 5, 17}. Donc pas de solution pour cas p≠2

Conclusion pour l’équation 1 : φ(n)=32

Les solutions sont au nombre de 7 et sont les suivantes : (16) n={51, 64, 68, 80, 96,102, 120}

Solutions de la deuxième équation : φ(n)=256 Trivialement on a 256=2⁸ Donc, en reprenant (3)

(17) φ(n)= Π_ij p_i^(αj-1) *Πi (p_i-1)=256=2⁸

Donc (17) implique que (pi-1) soit une puissance de 2, donc que pi=2^ki+1 avec dans le cas de la première équation k≤8. Le tableau suivant donne les valeurs de pi possibles.

k_i 2^ki+1 p_i

0 2 2

1 3 3

2 5 5

3 9 pas premier

4 17 17

5 33 pas premier 6 65 pas premier 7 129 pas premier

8 257 257

Les seules valeurs de p_i possibles sont {2, 3, 5, 17, 257}

Le nombre maximum de pi (qui sont tous différents, de valeurs croissantes) est donné par le fait que la somme des puissances de 2 doit être au plus égale à 8, donc quatre facteurs maximum

(0+1+2+3=6<8 et 0+1+2+3+4=10>8 donc pas possible d’avoir 5 facteurs).

Cas de 1 seul facteur :pi=p Si on reprend (17) on a :

(18) φ(n)= p^(α-1) *(p-1) =2⁸

Qui a pour première possibilité : p=2 et α-1=8 donc α=9

Qui a pour deuxième possibilité α=1 et p=2⁸+1=257 qui est premier

La deux solutions de la deuxième équation à 1 seul facteur sont n={257, 512}

Cas de 2 facteurs :pi=p & q premiers avec p<q Si on reprend (17) on a :

(19) φ(n)=p^(α-1) *q^(β-1) *(p-1)*(q-1)=2⁸,

prenons le cas p=2 , comme q>2 il faut que β=1 alors (19) devient : (20) φ(n)=2^(α-1)*(q-1)=2⁸

le tableau suivant donne les valeurs de α et de q possibles : α 2^(α-1) q-1 q p n

1 1 256 257 2 514

5 16 16 17 2 544

7 64 4 5 2 640

8 128 2 3 2 768

pour le cas p=2 les quatre valeurs de n possibles (à 2 facteurs) sont n={514, 544, 640, 768}.

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 alors (19) devient :

(21) φ(n)= (p-1)*(q-1)=2⁸,ce qui prenant en compte la primalité de 2^ki+1 du tableau (17) donne : p=2 et q=257 pas compatible avec l’hypothèse p≠2

Nota : il s’agit d’examiner la décomposition de 8 en la somme de deux chiffres (différents) 8=8+0, 8=7+1, 8=6+2, 8=5+3 qui ne donne pas de solution avec pi premier (hormis p=2)

(22) pour le cas p≠2 pas de solution à 2 facteurs Cas de 3 facteurs :pi=p & q &r premiers avec p<q<r

Si on reprend (17) on a :

(23) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)=2⁸

prenons le cas p=2 , comme q et r>2 il faut que β=1 et γ=1 alors (23) devient : (24) φ(n)= 2^(α-1)*(q-1)*(r-1)=2⁸

La valeur maximale de q est donnée par (q-1)²< (q-1)*(r-1)=2⁸ (cas α=1) donc qmax<17 les seules valeurs possibles de q sont 3, 5,

les valeurs de r compatibles, sont données dans le tableau suivant :

α 2^(α-1) q r p n

4 8 3 17 2 816

6 32 3 5 2 960

α 2^(α-1) q r p n

3 4 5 17 2 680

les trois solutions pour 3 facteurs pour cas p=2 sont : n={680,816, 960}

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 et γ=1 alors (23) devient : (25) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1)=2⁸

Cela revient a trouver une somme de 3 chiffres qui donne 8 (8=a+b+c), en se limitant pour a,b,c à 1, 2, 4, 8 selon les possibilités du tableau (17) qui n’est pas possible.

Donc pas de solution à 3 facteurs pour cas p≠2.

Cas de 4 facteurs :pi=p & q & r & s premiers avec p<q<r<s Si on reprend (17) on a :

(26) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *s^(τ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)=2⁸

prenons le cas p=2 , comme q, r et s>2 il faut que β=1 et γ=1 et τ=1 alors (26) devient : (27) φ(n)= 2^(α-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)=2⁸

si on pose q=2^a+1, r=2^b+1 et s=2^c+1, Ce qui revient à chercher une solution à 8= α-1+a+b+c avec 0<a<b<c compatibles des valeurs k_i du tableau (17) à savoir (1,2,4,8) ce qui conduit à la solution a=1, b=2, c=4 et α=2

La solution pour p=2 de la deuxième équation à 4 facteurs est n=2²*3*5*17=1020 prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 et γ=1 et τ=1 alors (17) devient :

(28) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1) *(s-1)==2⁸

Cela revient a trouver une somme de 4 chiffres qui donne 8 (8=a+b+c+d), en se limitant pour a,b,c,d à 1, 2, 4, 8 selon les possibilités du tableau (17) qui n’est pas possible.

Donc pas de solution à 4 facteurs pour cas p≠2 Conclusion pour l’équation 2 : φ(n)=256

Les solutions sont au nombre de 10 et sont les suivantes : (29) n={257, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 816, 960, 1020}

Solutions de la troisième équation : φ(n)=1024 Trivialement on a 1024=2¹⁰ Donc, en reprenant (3)

(30) φ(n)= Πij pi(αj-1)

*Πi (pi-1)=1024=2¹⁰

Donc (30) implique que (pi-1) soit une puissance de 2, donc que pi=2^ki+1 avec dans le cas de la première équation k≤10. Le tableau suivant donne les valeurs de pi possibles.

k_i 2^ki+1 p_i

0 2 2

1 3 3

2 5 5

3 9 pas premier

4 17 17

5 33 pas premier 6 65 pas premier 7 129 pas premier

8 257 257

9 513 pas premier 10 1025 pas premier

Les seules valeurs de pi possibles sont {2, 3, 5, 17, 257}

Le nombre maximum de p_i (qui sont tous différents, de valeurs croissantes) est donné par le fait que la somme des puissances de 2 doit être au plus égale à 10, donc cinq facteurs maximum (0+1+2+3+4=10 et 0+1+2+3+4+5=15>10 donc pas possible d’avoir 6 facteurs)

Cas de 1 seul facteur :p_i=p Si on reprend (30) on a :

(31) φ(n)= p^(α-1) *(p-1) =2¹⁰

Qui a pour première possibilité : p=2 et α-1=10 donc α=11

Et notons pour deuxième possibilité α=1 et p=2¹⁰+1=1025 qui n’est pas premier La solution de la troisième équation à 1 seul facteur sont n=2¹¹={2048}

Cas de 2 facteurs :p_i=p & q premiers avec p<q Si on reprend (30) on a :

(32) φ(n)=p^(α-1) *q^(β-1) *(p-1)*(q-1)=2¹⁰,

prenons le cas p=2 , comme q>2 il faut que β=1 alors (29) devient : (33) φ(n)=2^(α-1)*(q-1)=2¹⁰

en posant q=2^a+1 alors cela revient à résoudre 10=α-1+a prenant en compte les valeurs possibles du tableau (30) pour ‘a’>0.

le tableau suivant donne les valeurs de ‘a’, α et de q possibles pour deux facteurs pour le cas p=2:

a α p q n

1 10 2 3 3072

2 9 2 5 2560

4 7 2 17 2176

8 3 2 257 2056

Pour le cas p=2 les quatre valeurs de n possibles (à 2 facteurs) sont n={2056, 2176, 2560, 3072}.

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 alors (30) devient : (34) φ(n)=(p-1)*(q-1)=2¹⁰,

si on pose p=2^a+1 et q=2^b+1, Ce qui revient à chercher une solution à 10=a+b avec 0<a<b compatibles des valeurs k_i du tableau (30) à savoir (1,2,4,8) ce qui conduit à la solution a=2, b=8,

(35) pour le cas p≠2 la solution à 2 facteurs est n=5*257=1285

Cas de 3 facteurs :pi=p & q &r premiers avec p<q<r Si on reprend (30) on a :

(36) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)=2¹⁰

prenons le cas p=2 , comme q et r>2 il faut que β=1 et γ=1 alors (35) devient : (37) φ(n)= 2^(α-1)*(q-1)*(r-1)=2¹⁰

La valeur maximale de q est donnée par (q-1)²< (q-1)*(r-1)=2¹⁰ (cas α=1) donc qmax<33 les seules valeurs possibles de q sont 3, 5, 17 (tableau 30)

si on pose q=2^a+1, r=2^b+1 Ce qui revient à chercher une solution à 10= α-1+a+b avec 0<a<b compatibles des valeurs ki du tableau (30) à savoir (1,2,4,8) ce qui conduit aux solutions suivantes :

a b α p q r n

1 2 8 2 3 5 3840

1 4 6 2 3 17 3264

1 8 2 2 3 257 3084

2 4 5 2 5 17 2720

2 8 1 2 5 257 2570

Pour le cas p=2 les 5 valeurs de n possibles (à 3 facteurs) sont n={2570, 2720, 3084, 3264, 3840}

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 et γ=1 alors (30) devient : (38) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1)=2¹⁰

Cela revient a trouver une somme de 3 chiffres qui donne 10 (10=a+b+c), en se limitant pour a,b,c à 1, 2, 4, 8 selon les possibilités du tableau (29) qui n’est pas possible (sauf a=0 b=2 et c=8 qui n’est pas en ligne avec p≠2).

Donc pas de solution à 3 facteurs pour cas p≠2.

Cas de 4 facteurs :pi=p & q & r & s premiers avec p<q<r<s Si on reprend (30) on a :

(39) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *s^(τ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)=2¹⁰

prenons le cas p=2 , comme q, r et s>2 il faut que β=1 et γ=1 et τ=1 alors (39) devient :

(40) φ(n)= 2^(α-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)=2¹⁰

si on pose q=2^a+1, r=2^b+1 et s=2^c+1, Ce qui revient à chercher une solution à 10= α-1+a+b+c avec 0<a<b<c compatibles des valeurs k_i du tableau (30) à savoir (1,2,4,8) ce qui conduit à la solution a=1, b=2, c=4 et α=4

La solution pour p=2 de la deuxième équation à 4 facteurs est n=2⁴*3*5*17=4080

prenons le cas p≠2, alors il faut que α=1 et β=1 et γ=1 et τ=1 alors (30) devient : (41) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1) *(s-1)==2¹⁰

si on pose p=2^a+1, q=2^b+1 et r=2^c+1 , s=2^d+1 , Cela revient a trouver une somme de 4 chiffres qui donne 10 (10=a+b+c+d), en se limitant pour a,b,c,d à 1, 2, 4, 8 selon les possibilités du tableau (30) qui n’est pas possible.

Donc pas de solution à 4 facteurs pour cas p≠2

Cas de 5 facteurs :p_i=p & q & r & s & t premiers avec p<q<r<s<t Si on reprend (30) on a :

(42) φ(n)=p^(α-1)*q^(β-1)*r^(γ-1) *s^(τ-1) *t^(μ-1) *(p-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)*(t-1)=2¹⁰

prenons le cas p=2 , comme q, r, s et t>2 il faut que β=1 et γ=1 et τ=1et μ=1 alors (42) devient (43) φ(n)=2^(α-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)*(t-1)=2¹⁰

si on pose q=2^a+1, r=2^b+1 et s=2^c+1, t=2^d+1,Ce qui revient à chercher une solution à 10= α- 1+a+b+c+d avec 0<a<b<c<d compatibles des valeurs k_i du tableau (30) à savoir (1,2,4,8) ce qui n’a pas de solution

prenons le cas p≠2 , comme p, q, r, s et t>2 il faut que α=1, β=1 et γ=1 et τ=1et μ=1 alors (42) devient

(44) φ(n)=(p-1)*(q-1)*(r-1)*(s-1)*(t-1)=2¹⁰

si on pose p=2^a+1, q=2^b+1 et r=2^c+1, s=2^d+1, t=2^e+1 Ce qui revient à chercher une solution à 10=

+a+b+c+d+e avec 0<a<b<c<d<e compatibles des valeurs ki du tableau (30) à savoir (1,2,4,8) ce qui n’a pas de solution

Il n’y a pas de solution à l’équation 3 à 5 facteurs.

Conclusion pour l’équation 3 : φ(n)=1024

Les solutions sont au nombre de 12 et sont les suivantes :

(45) n={1285, 2048, 2056, 2176, 2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840, 4080}

Solution de la question 2 :

Rappel : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2^m (46) En repartant de (1) et de (3) [φ(n)= Πij pi(α

j-1⁾ *Πi (pi-1)=2^m] implique que si pi=2 alors

α

j peut être supérieur ou égal à 1, et si pi≠2 alors ^αj doit être égal à 1.

De plus, si différent de 2, p_i doit être de la forme p_i=2^k+1 tout en étant premier ceci implique que p_i est un nombre de Fermat, c’est-à-dire de la forme ₂2ⁱ+1, i=0,1,2,3,4.

Les 5 nombre de Fermat (premiers) sont : F₀=3 ; F₁=5 ; F₂=17 ; F₃=257 ; F₄=65537 . (il n’y a pas d’autre nombre de Fermat premier entre i=5 et i=32 (cf page wikipedia sur les nombres de Fermat §primalité)

(47) Les nombres{n} , solutions de l’équation φ(n)=2^m sont donc de la forme : n=2^α * Π_i δ*F_i avec Fi les nombres de Fermat premiers et δ qui peut prendre la valeur 0 ou 1.

Cas α=0 :

Alors ‘n’ s’écrit n=Π_i δ*F_i et φ(n)= Π_i δ*(F_i-1)= 2^m . Au niveau des exposants on a :

(48) m= (δ*1)+ (δ*2) +(δ*4)+ (δ*8)+ (δ*16), avec un ajustement des valeurs (0 ou 1) de δ pour l’équation. (par exemple en regardant la question Q1, m=5=1+4 ou encore m=10=2+8).

Les coefficients (1,2,4,8,16) permettent d’atteindre tous les nombres ‘m’ jusqu’à m=31=1+2+4+8+16.

(49) Donc jusqu’à m=31, il y a 1 solution (unique) impaire (dénommée NIm) basée uniquement sur les nombres de Fermat.

Cas α=1 :

Alors ‘n’ s’écrit n=2*Πi δ*Fi et φ(n)= Πi δ*(Fi-1)= 2^m . donc le nombre « double » de la solution impaire (2*NIm) est aussi solution de l’équation φ(n)= 2^m .

Cas α>1 :

Alors ‘n’ s’écrit n=2^α*Πi δ*Fi et φ(n)= 2^(α-1)Πi δ*(Fi-1)= 2^m . Au niveau des exposants on a :

m= α-1+(δ*1)+ (δ*2) +(δ*4)+ (δ*8)+ (δ*16), avec un ajustement des valeurs (0 ou 1) de δ pour l’équation.

On note, que dans ce cas, que les nombres ‘n’ sont pairs.

De plus , si ‘n’ est solution de φ(n)= 2^m, alors 2*n=^2(α+1)*Πi δ*Fi et φ(2*n)= 2^(α)Πi δ*(Fi-1)=2*φ(n)=

2^(m+1).

(50) Donc, tout nombre pair (α≥1 ) (NP_m) qui est solution de φ(n)= 2^m a son double (2*NP_m) qui est solution de φ(n)= ^2(m+1).

En synthèse pour m<32 :

Soit S_m le nombre de solutions pour un ‘m’ donné.

Sm=1(‘NIm’)+1 (‘2*NIm’)+(Sm-2)*(‘NPm’) et

Sm+1=1(‘NIm+1’)+1 (‘2*NIm+1’)+[ 1 (‘2*NIm’)+(Sm-2)*(‘NPm’)] la partie entre crochet étant le report des nombres pairs de niveau m. le nombre de solutions paires de niveau m (dont le double est solution de m+1) a pour valeur S_m-1. Donc on a :

Sm+1=1+1 Sm-1= Sm+1

Le nombre de solutions de niveau m+1 (Sm+1) est égal au nombre de solutions de niveau m (Sm) augmenté d’une unité

(51) [Sm+1=Sm+1].

Pour m=0, il y a 2 solutions (1 et 2), donc S0=2 d’où Smm+2 pour m<32.

NB : Ceci est vérifié pour les 3 « points » de la question Q1 :S₅=7, S₈=10 et S₁₀=12 dans le tableau suivant :

m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 3 5 15 17 51 85 255 257 771 1285 3855

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

6 10 20 34 68 136 272 514 1028 2056 4112

12 24 40 80 160 320 544 1088 2176 4352 30 48 96 170 340 640 1280 2560 5120 60 102 192 384 680 1360 2570 5140 120 204 408 768 1536 2720 5440 240 480 816 1542 3072 6144 510 960 1632 3084 6168 1020 1920 3264 6528 2040 3840 7680 4080 7710 8160 (52) Pour m≤31, Le nombre de solutions S_m à l’équation φ(n)= 2^m est égale à m+2.

Pour m >31 et m<2³²

Il n’y a plus de solution impaire (NI_m), ni le double de celle-ci(2*NI_m), car le domaine est au-delà de la combinaison des 5 nombres de Fermat premiers (Pas de nombre de Fermat premier entre F4 et F232

).

Seule est reporté (au niveau m+1) le double des solutions paires (de niveau m).

Pour m=31, il y a 33 solutions (S_m=m+2=33) dont 32 qui sont de parité paire (NP₃₁=32). Leur double (2*NP31) est solution pour m=32, idem pour m=33 jusqu’à 2³².

(53) Pour m >31 et m<2³² le nombre de solution Sm à l’équation φ(n)= 2^m est égale à 32 et ne dépend pas de m.

Conclusion et solutions :

Question Q1-1 : n={51, 64, 68, 80, 96, 102, 120}

Question Q1-2 : n={257, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 816, 960, 1020}

Question Q1-3 : n={1285, 2048, 2056, 2176, 2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840, 4080}.

Question Q2 :

 Pour m≤31, Le nombre de solutions Sm à l’équation φ(n)= 2^m est égale à m+2.

 Pour m >31 et m<2³² le nombre de solutions Sm à l’équation φ(n)= 2^m est égale à 32 et ne dépend pas de m.

*Fin*