E512 Les relations mondaines [*** à la main]
Solution
On fait l’hypothèse qu’il y a N personnes présentes dans cette soirée. Alors, il y a au maximum N nombres différents de personnes que chacun des participants de la soirée est susceptible de connaître : 0,1,2,3,…,N-1.
On suppose que pour tout X compris entre 0 et N-1, il y a un participant qui connaît X personnes. Dès lors, il y a une personne P qui connaît tout le monde soit N-1 personnes et quelqu’un d’autre Q qui ne connaît personne. Or P qui connaît tout le monde, connaît Q et réciproquement Q connaît P. D’où la contradiction. La supposition qui est faite est donc fausse.
C’est donc la proposition contraire qui est vraie, à savoir : il existe un nombre X compris entre 0 et N-1, pour lequel il n’y aucun participant qui connaît exactement X personnes. Dès lors, il y a au plus N-1 différentes valeurs de X pour lesquelles des participants connaissent exactement X personnes. Or il y a N personnes et d’après le principe des tiroirs, cela signifie qu’il y a un nombre Y pour lequel deux personnes au moins connaissent exactement Y personnes.
