1`ere 11 El´´ ements de correction du DM 2 8 octobre 2014 Exercice 1 :
(1) a. Dans le rep`ere (A;−−→ AB;−→
AC),−−→ RQ a1
et−−→ BC −1
1
1×1−a×(−1) = 1 +a6= 0 (cara6=−1). Les vecteurs−−→ RQet−−→
BC ne sont pas colin´eaires donc les droites (BC) et (RQ) sont s´ecantes.
b. SoitM(x;y) un point de (BC). Les vecteurs−−→ BCet −−→
BM x−1y sont colin´eaires donc :
−y−x+ 1 = 0 est une ´equation de (BC).
De mˆemeax−y+a= 0 est une ´equation de (RQ).
Les coordonn´ees dePv´erifient le syst`eme :
(x+y−1 = 0
ax−y+a = 0´equivalent
` a
(y = 1−x
ax−1 +x+a = 0 c’est-`a-dire
y = 2a 1 +a x =1−a 1 +a DoncP
1−a 1 +a; 2a
1 +a
(2) a. M(1;a−1), N 1−a
1 +a;a−1 a+ 1
.
b. −−→
RM a−12 et−−→
RN
2 1 +a a−1 1 +a
2×a−1
1 +a−(a−1)× 2
1 +a = 0 donc−−→
RM et −−→
RN sont colin´eaires donc les pointsR,M etN sont align´es.
Exercice 2 :
(1) M A2=x2+ (y−1)2=x2+y2−2y+ 1
M B2= (x−5)2+ (y+ 2)2=x2+y2−10x+ 4y+ 29
(2) M ∈dest ´equivalent `aM A=M B c’est-`a-direM A2=M B2ou encore 5x−3y−14 = 0. On a ici une ´equation ded
(3) De mˆeme, on ad0 :x+y−4 = 0
(4) NotonsI le cercle du centre circonscrit au triangleABC.
I est le point d’intersection des droitesdet d0. Apr`es r´esolution du syst`eme, on aI 134;34
. Son rayon estAI= 14√ 170
