TS 8 Interrogation 11A : Correction 14 janvier 2017 Exercice 1 :
Les pointsA(1; 3; 5),B(2; 5; 6), C(2; 3; 7) etD(3; 5; 5) sont-ils coplanaires ?
Solution: V´erifions si les vecteurs−−→ AB
1 2 1
,−→
AC
1 0 2
et −−→ AD
2 2 0
sont colin´eaires.
2 =α+β 2 =α 0 =α+ 2β
⇔
β= 0 α= 2 2 = 0
. Ce syst`eme est incompatible. Les vecteurs ne sont pas colin´eaires donc les points ne sont pas align´es.
Exercice 2 :
SoientA(1; 1; 0) etB(2; 4;−1) deux points etdla droite d´efinie par
x= 2 +t y=−6−2t z= 3 +t
.
1. Donner deux points distincts appartenant `adet un vecteur directeur ded 2. Le pointC(3;−8; 5) appartient-t-il `ad?
3. D´eterminer une repr´esentation param´etrique ded
4. ´Etudier les positions relatives dedet (AB). Donner s’il existe le point d’intersection des droites.
Solution:
1. Les points de coordonn´ees (2;−6; 3) et (3;−8; 4) appartiennent `ad. Le vecteur~u(1;−2; 1) est directeur `a d.
2. 2 +t= 3⇔t= 1−6−2×1 =−8 et 3 + 16= 5 doncC n’appartient pas `aD.
3. SoitM(x;y;z) un point du plan. M ∈(AB)⇔ ∃t∈R;
x−1 =t y−1 = 3t z=−t
.
Une repr´esentation param´etrique de (AB) est :
x= 1 +t y= 1 + 3t z=−t
(t∈R).
4.
2 +t0= 1 +t
−6−2t0= 1 + 3t 3 +t0=−t
⇔
t= 1 +t0 t0 =−2 2t0=−4
⇔
t=−1 t0 =−2 t0 =−2
.
Les droites sont s´ecantes. Avect=−1 dans la droite (AB), on obtient le point deM(0;−2; 1) qui est le point d’intersection des droites.
Exercice 3 :
Soitula suite d´efinie paru0= 1 etun+1= 0,7un+ 0,1.
1. Montrer par r´ecurrence que pour tout entiern0< un+1< un
2. En d´eduire que la suite (un) est convergente.
3. Pr´eciser la valeur de la limite.
Solution:
1. Par r´ecurrence : `A faire (simple)
2. (un) est d´ecroissante et minor´e par 0. Par le th´eor`eme de convergence monotone (un) converge vers un r´eel`.
3. Par unicit´e de la limite lim
n→+∞un+1= lim
n→+∞un+1=`donc`= 0,7`+ 0,1 c’est-`a-dire `= 13.
