D´epartement MIDO - L3 - Ann´ee 2019-2020 Analyse fonctionnelle et hilbertienne.

D´epartement MIDO - L3 - Ann´ee 2019-2020 Analyse fonctionnelle et hilbertienne.

Partiel du 10 Mars 2020. Dur´ee : deux heures.

• Les t´el´ephones portables, calculatrices et documents sont interdits.

•La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements inter- viendront de fa¸con importante dans l’appr´eciation des copies.

Exercice 1 :

1.Pour E un espace vectoriel r´eel ou complexe muni de la norme k · k^E, rappeler la d´efinition de la norme k · kL(E) sur l’espaceL(E) des applications lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme.

2. Dans toute la suite de cet exercice, E =C([0,1];IR) est l’espace vec- toriel r´eel des fonctions continues de [0,1] dans IR. On munit cet espace de la norme kfk^E = sup{|f(x)|: x∈[0,1]}.

SoitK : [0,1]² →IRcontinue. Pourx∈[0,1], soitA(x) =R1

0 |K(x, y)|dy.

Pour x∈[0,1] et f ∈E, on poseT f(x) =R1

0 K(x, y)f(y)dy .

2.a.Montrer que la fonctionA: x→A(x) est un ´el´ement deE. Montrer de mˆeme que si f ∈E, alors la fonction T f : x→T f(x) est dans E.

2.b. Montrer que l’applicationT : E →E ainsi d´efinie est lin´eaire conti- nue, et que kTk^L(E)≤ kAk^E.

2.c. Justifier l’existence de x0 ∈[0,1] tel que A(x0) =kAk^E. 2.d. Pour ε >0 et y∈[0,1], on pose f_ε(y) = √^K(x0,y)

ε+K(x0,y)² .Montrer que limε→0T fε(x0) =A(x0).

2.e. D´eduire de ce qui pr´ec`ede quekTkL(E)=kAkE. Exercice 2 :

Soit (X,A, µ) un espace mesur´e avec µ(X)<∞. Soient p∈]1,∞[, q = _p−1^p et f : X →IR mesurable. On suppose que pour tout g ∈ L^qIR(X, µ),

Z

X|f g|dµ≤ kgkq.

1. Pour n ∈ IN^∗ on pose fn(x) = _max(1,n^f(x)₋¹_|f(x)|). Soit gn = |fn|^p−2fn. Expliquer rapidement pourquoi fn et gn sont mesurables, puis v´erifier que fn∈ L^pIR(X, µ), gn∈ L^qIR(X, µ) et exprimer kgnk^q en fonction de kfnk^p.

2.En consid´erant l’int´egrale R

X|f gn|dµ ,montrer que kfnk^p ≤1. 3.En d´eduire que f ∈ L^pIR(X, µ) et kfk^p ≤1.

1

Exercice 3 : Soit (X,A, µ) un espace mesur´e avec 0 < µ(X)< ∞, et soit f ∈L^∞C(X, µ).

1.Montrer que pour tout p≥1, f ∈L^p(X, µ) etkfk^p ≤(µ(X))^1/pkfk^∞. 2.Montrer que pour toutε >0, il existe mε>0 tel que, pour toutp≥1,

kfkp ≥(m_ε)^1/p(kfk∞−ε). 3.En d´eduire que kfk^∞ = limp→+∞kfk^p. Exercice 4 : Soit (X,A, µ) un espace mesur´e.

Si f : X → IR est mesurable, l’image essentielle de f, Im.ess(f), est l’ensemble des λ ∈ IR tels que µ({x ∈ X : |f(x)−λ| < ε}) > 0 pour tout ε >0.

1.Montrer que sif(x) = g(x) µ-p.p. dansX ,alors Im.ess(f) =Im.ess(g). 2.Montrer que l’image essentielle de f est une partie ferm´ee deIR.

3.Montrer que si f ∈L^∞C(X, µ) alors Im.ess(f) est une partie born´ee de IR, incluse dans l’intervalle [−kfk^∞, kfk^∞].

Exercice 5 :

Soitθ∈C_c^∞(IR, IR) telle que 0≤θ≤1,θ(x) = 1 pour|x| ≤1 etθ(x) = 0 pour |x| ≥2 (on admet l’existence de θ). Pour n∈IN^∗ etx∈IR , on d´efinit

ρn(x) =cn(1−x²/4)ⁿθ(x) avec cn = R

IR(1−t²/4)ⁿθ(t)dt−1

.

1.Montrer que la suite (ρn) est une approximation de l’identit´e.

Indication : Pour 0< ε <2 on pourra montrer que c⁻¹_n ≥ ε(1−ε²/16)ⁿ, et que, si |t| ≥ε , ρn(t)≤cn(1−ε²/4)ⁿ1_[−2,2](t).

2. Soient p ∈ [1,∞[ et f ∈ L^p(IR). On suppose que f est nulle presque partout en dehors de l’intervalle [−1/2,1/2]. Montrer que pour toutn∈IN^∗, il existe un polynˆome Pn tel que (ρn∗f)(x) = Pn(x), ∀x∈[−1/2,1/2].

3.En d´eduire que pour toutp∈[1,∞[,l’espace des fonctions polynˆomes sur [−1/2,1/2] est dense dans L^p_IR([−1/2,1/2]) .

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