Chapitre 1: Fonctions continues sur Rn, compacité et conséquences

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Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Licence de Mathématiques, 2ème année

Fonctions de plusieurs variables, analyse vectorielle,

int´ egrales multiples 2M216

Patrick Polo

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CHAPITRE 1

FONCTIONS CONTINUES SUR R

ⁿ

, COMPACIT´ E ET CONS´ EQUENCES

1. Fonctions continues Rⁿ→R^p : un r´esum´e

(1) (2)Le but du cours est de définir et étudier les fonctionsf :Rⁿ →R^p qui sont différentiables et dont les dérivées partielles sont continues. Il faut donc commencer par introduire la notion de fonction continueRⁿ→R^p.

Terminologie 1.1 (Applications et fonctions). — SoientX, Y deux ensembles.

(1) Uneapplicationf :X→Y est la donnée pour toutx∈X d’un élémentf(x)∈Y.

(2) Unefonction f :X →Y est une application à valeurs dans Y qui n’est définie que sur un sous-ensemble de X, appelé ledomaine de définition de f et notéDf. Ce sous-ensemble n’est en général pas explicité et sa détermination est laissée au lecteur.

Exemple 1.2. — La fonction f :R² → Rdonnée par f(x, y) = ln(x²+y²−3) n’est définie au point (x, y) que six²+y²>3. Son domaine de définition est doncDf ={(x, y)∈R²|x²+y²>3}; c’est le complémentaire du disque fermé de centre (0,0) et de rayon√

3. D’autre part, anticipant sur la définition qui va suivre, les fonctionsP :Df →R^∗+, (x, y)7→x²+y²−3 et ln :R^∗+ →R, t7→ln(t) sont continues, doncf = ln◦P est continue sur son domaine de définition Df. (On verra plus loin quef est différentiable surDf.)

On note|t|la valeur absolue d’un r´eelt et, pour toutx= (x1, . . . , xn), on pose kxk= max

i=1,...,n|x_i|.

D´efinition 1.3 (Fonctions continues). — Soitf une fonctionRⁿ→R^p.

(Q)

(i) Soita∈Df. On dit quef est continue enasi pour toutε > 0 il existeδ >0 tel que pour toutx∈Df on ait :

kx−ak< δ=⇒ kf(x)−f(a)k< ε.

(ii) SiAest un sous-ensemble deDf, on dit quef est continue surAsi elle est continue en tout point deA.

(Sin= 1 =p, on retrouve la d´efinition connue pour une fonctionf:R→R.)

(1)Version du 11 mai 2016.

(2)Les symboles(Q)dans la marge signalent des énoncés (définitions ou résultats) qu’il faut absolument assimiler et qui pourront faire l’objet de questions de cours à l’examen.

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2 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES SURRⁿ, COMPACIT ´E ET CONS ´EQUENCES

Terminologie 1.4. — Lorsqu’on dira«f est continue en a»ou«f est continue surA»ou«f est une fonction continue deAdansR^p», ceci sous-entendra toujours quea∈Df et A⊂Df. Notation 1.5. — Pour tout sous-ensembleAdeRⁿ, on noteraC(A,R^p) l’ensemble des fonctions continues deAdansR^p.

On peut aussi d´efinir la notion de suite convergente :

Définition 1.6 (Limite d’une suite). — Soit (x^k)_k∈N une suite d’éléments de Rⁿ.⁽³⁾ On dit que (x^k)_k∈Nconverge vers une limitea∈Rⁿ, et on notex^k→a, si pour toutε >0 il existek0∈N tel que pour toutk≥k₀, on aitkx^k−ak< ε.

Proposition 1.7. — Soit(x^k)_k∈_N une suite dans Rⁿ.

(Q)

(i) (x^k)_k∈_Nconverge vers une limitea∈Rⁿsi et seulement si, pouri= 1, . . . , n, la suite(x^k_i)_k∈_N desi-èmes coordonnées converge vers un réelai. Dans ce cas,a= (a1, . . . , an).

(ii) Par cons´equent, si elle existe, la limite de(x^k)k∈N est unique.

D´emonstration. — Supposonsx^k→a. Soitε >0 ; il existek₀∈Ntel que pour toutk≥k₀, on ait kx^k−ak< ε. Comme|x^k_i −a_i| ≤ kx^k−ak pour touti, on obtient|x^k_i −a_i|< εpour toutk≥k₀, ce qui montre quex^k_i →ai dansR.

R´eciproquement, supposons quex^k_i →ai pour touti. Soitε >0 ; il existe ki∈Ntel que pour toutk≥k_i, on ait|x^k_i −a_i|< ε. Posonsk₀= max(k₁, . . . , k_n) eta= (a₁, . . . , a_n). Alors pour tout k≥k0, on a|x^k_i −ai|< εet donckx^k−ak< ε, ce qui montre quex^k →a.

Ceci prouve (i), et (ii) en découle (par l’unicité déjà connue des limites dansR).

On vérifie facilement qu’on a les propriétés suivantes, comme dans le cas des fonctionsR→R. Proposition 1.8. — Considérons deux fonctionsf :Rⁿ→R^p etg:R^p→R^q.

(Q)

(i) Soita∈Df. Si f est continue enaetg continue enf(a), alorsg◦f est continue ena.

(ii) Par cons´equent, sif ∈C(A,R^p)etg∈C(f(A),R^q)alors g◦f ∈C(A,R^q).

Proposition 1.9. — Soientf :Rⁿ →R^p eta∈Df. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(Q)

(i) f est continue ena.

(ii) Pour toute suite(x^k)k∈NdeRⁿ convergeant versa, la suitef(x^k)deR^p converge versf(a).

Remarque 1.10. — En général, pour montrer qu’une fonction donnée f est continue, on utilise direc- tement la définition 1.3. Par contre, la caractérisation en termes de suites convergentes est utile pour démontrer des résultats généraux sur les fonctions continues, en se ramenant à des résultats déjà démon- trés pour les suites.

Proposition 1.11. — SoitE un sous-ensemble deRⁿ.

(Q)

(i) Toute combinaison lin´eaire de fonctions continues E → R^p est continue. Autrement dit, C(E,R^p)est unR-espace vectoriel.

(ii) Si p= 1, le produit de deux fonctions continuesE→R^p est continu.

(iii) Si f : E →Rest continue en a etf(a)6= 0, alors la fonction 1/f est d´efinie et continue en a.

(3)Les termes de la suite sont not´esx^k, avecken exposant, afin de pouvoir noterx^k₁, . . . , x^k_n les coordonn´ees du vecteurx^k.

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1. FONCTIONS CONTINUES Rⁿ→R^p: UN R ´ESUM ´E 3

SoitAun sous-ensemble deRⁿ. Remarquons qu’une applicationf :A→R^p est donn´ee par ses papplications coordonn´eesfi:A→R, i.e. pour toutx= (x1, . . . , xn) dansAon a :

f(x) = (f1(x), . . . , fp(x)).

Proposition 1.12. — Soitf = (f1, . . . , fp)une application A→R^p.

(Q)

(i) Soita∈A. Alors f est continue en assi lesfi (i= 1, . . . , p)le sont.

(ii) Par cons´equent,f est continue surA ssi chaquefi l’est.

D´emonstration. — (i) Supposons f₁, . . . , f_p continues ena. Soitε >0. Commef_i est continue en a, il existeδi>0 tel que pour toutx∈Aon ait

kx−ak< δi =⇒ |fi(x)−fi(a)|< ε.

Soitδ = minδ_i, alorsδ > 0 et pour tout x∈A tel que kx−ak < δ, on a|f_i(x)−f_i(a)| < εet donckf(x)−f(a)k< ε. Ceci montre quef est continue ena. La réciproque est analogue (et plus facile) et laissée au lecteur. Ceci prouve (i), et (ii) en découle.

On a ainsi ramené l’étude de la continuité des fonctionsRⁿ →R^pà celle des fonctionsRⁿ →R. Attention :on ne peut pas aller plus loin, i.e. se ramener au cas des fonctions d’une variablefaⁱ:R→R définies parfaⁱ(t) =f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , an). Considérons en effet l’exemple suivant :

Exemple 1.13. — Soitf:R² →R, d´efinie par

f(x, y) = ( xy

x²+y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0)

et soit a= (0,0). L’application partiellefa¹ :t7→f(t,0) = 0 est nulle, donc continue sur R, et il en est de mˆeme defa² :t7→f(0, t) = 0. Par contre,f n’est pas continue en a= (0,0). En effet, la suite d´efinie parx^k= (1/k,1/k) pourk∈N^∗converge versamais l’on af(x^k) = 1/2 doncf(x^k) ne converge pas vers f(a) = 0.

Un cas particulier d’applications continues est le suivant.

D´efinition 1.14 (Applications lipschitziennes). — Soit A ⊂ Rⁿ et soit f une application A→R^p.

(Q)

(i) On dit quef estL-lipschitzienne⁽⁴⁾, o`uLest un r´eel>0, si pour toutx, y∈Aon a :

(∗) kf(y)−f(x)k ≤Lky−xk.

(ii) Il est clair qu’alors f est continue sur A : pour tout ε >0 et x, y∈ A, on a l’implication ky−xk< ε/L=⇒ kf(y)−f(x)k< ε.

(iii) SiLest le plus petit r´eel>0 v´erifiant (∗), on dit queLest la constante de Lipschitz def.

Exemples 1.15 (d’applications continues Rⁿ→R^p). — (1) Pour tout i, la projection π_i : Rⁿ→R, (x1, . . . , xn)7→xi est 1-lipschitzienne, donc continue.

(2) Toute application lin´eaire f : Rⁿ → R^p est continue. En effet, chaque composante

(Q)

f1, . . . , fp de f est une forme linéaire, ce qui nous ramène au cas où p= 1. Dans ce cas, f(x) = a₁x₁+· · ·+a_nx_n doncf est une combinaison linéaire desπ_i, donc est continue.

(4)Rudolf Lipschitz, math´ematicien allemand (1832-1903).

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(3) Une fonction polynomiale (ou polynˆome) surRⁿ est une fonctionP :Rⁿ→Rde la forme

P(x) = X

k=(k1,...,kn)∈Nⁿ

a_kx^k₁¹· · ·x^k_nⁿ

où les ak ∈ R sont nuls sauf pour un nombre fini d’indices. Si les ak ne sont pas tous nuls, on pose deg(P) = max{k1+· · ·+kn |ak 6= 0}. Tout polynôme est continu surRⁿ puisque c’est une combinaison linéaire de produits de fonctions continues.

Exemple 1.16(de polynôme). — Pourn= 2, un polynôme de degré 2 s’écrit sous la forme P(x1, x2) =a0,0+a1,0x1+a0,1x2+a2,0x²1+a1,1x1x2+a0,2x²2,

avecai,j∈R.

Pour étudier la dérivabilité enad’une fonctionf :R→R, on a besoin quef soit définie sur un intervalle ouvert contenanta. Ceci nous conduit à introduire les parties ouvertes deRⁿ :

D´efinition 1.17 (Ouverts et ferm´es). — SoitF un sous-ensemble deRⁿ.

(Q)

(i) On dit queF est un fermési pour toute suite (x^k)k∈N d’éléments deF qui converge dans Rⁿ vers une limite`, on a `∈F. (Noter que, par définition,∅est fermé, ainsi queRⁿ.)

(ii) Un sous-ensembleU deRⁿ est ditouvertsi son compl´ementaire^cU =Rⁿ−U est ferm´e.

Terminologie 1.18 (Image r´eciproque). — Soitf :X →Y une application.

(Q)

(1) Pour tout sous-ensembleBdeY, on notef⁻¹(B) et l’on appelleimage r´eciproquedeBpar f l’ensemble desx∈X tels quef(x)∈B, i.e.

f⁻¹(B) ={x∈X |f(x)∈B}.

(2) Alors, pour tout sous-ensembleAdeX, on a l’´equivalence : A⊂f⁻¹(B)⇐⇒f(A)⊂B.

Proposition 1.19. — Soitf :Rⁿ→R^p une application continue.

(Q)

(i) SiF est un fermé deR^p, son image réciproque f⁻¹(F)est un fermé deRⁿ. (ii) De même, siU est un ouvert de R^p alors f⁻¹(U)est un ouvert de Rⁿ.

Démonstration. — (i) SoitF un fermé deR^p et (x^k)_k∈_N une suite d’éléments def⁻¹(F) convergeant vers une limite`∈Rⁿ. Commef est continue, la suitef(x^k) converge vers f(`), et comme cette suite est à valeurs dansF qui est fermé, on af(`)∈F et donc`∈f⁻¹(F). Ceci prouve que f⁻¹(F) est un fermé deRⁿ.

(ii) SoitU un ouvert deR^p etF =R^p−U le ferm´e compl´ementaire. Alors on a Rⁿ=f⁻¹(F)tf⁻¹(U)

où le symbole t désigne une réunion disjointe (en effet, tout élément de Rⁿ est envoyé par f soit dans U, soit dans F). D’après (i), f⁻¹(F) est fermé donc son complémentaire f⁻¹(U) est ouvert.

La proposition précédente est très utile pour montrer qu’un sous-ensemble deRⁿ est ouvert ou fermé. Donnons-en des exemples.

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2. PARTIES COMPACTES DERⁿ: UN R ´ESUM ´E 5

Exemples 1.20. — (1) L’applicationRⁿ→R, (x₁, . . . , x_n)7→P

ix²_i est polynomiale donc continue et le singleton{1}est un fermé deR. Par conséquent, la sphère unité (pour la norme euclidienne) :

Sⁿ⁻¹={x∈Rⁿ |x²₁+· · ·+x²_n= 1}

est un ferm´e deRⁿ.

(2) Soit U := {(x, y, z) ∈ R³ | x²+y² > z²} la région «à l’extérieur» du cône d’équation x²+y² =z². La fonctionf : (x, y, z)7→x²+y²−z² est continue sur R³ et U =f⁻¹(]0,+∞[).

Comme ]0,+∞[ est ouvert dansR, on en d´eduit queU est ouvert dansR³.

2. Parties compactes de Rⁿ : un r´esum´e

Définition 2.1. — On dit qu’une partie A de Rⁿ est bornée s’il existe un réel R > 0 tel que

(Q)

kak ≤Rpour touta∈A. Dans ce cas, siB⊂Ail est clair queB est aussi born´e.

Exemple 2.2 (important). — Soit (x^k)_k∈N une suite convergeant dans Rⁿ vers une limite `.

Alors l’ensemble{xk, k∈N} ∪ {`}est born´e.

En effet, prenantε= 1 il existek₀tel quekx^k−`k<1 pour toutk > k₀. Alors, pouri= 1, . . . , n etk > k0 on a :

|x^k_i| ≤ |x^k_i −`i|+|`i|<k`k+ 1

et donc kx^kk<k`k+ 1.⁽⁵⁾ Par cons´equent, posantR0 = max_k≤k₀kx^kket R= max(R0,k`k+ 1), on obtientkx^kk ≤Rpour toutk.

Définition 2.3. — Une partieKdeRⁿ est ditecompactesi elle vérifie la propriété de Bolzano-

(Q)

Weierstrass, c.-à-d. : de toute suite (x^k)k∈N d’éléments deK, on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément adeK.

Rappel 2.4. — On rappelle que, pour touta≤b dansR, l’intervalle [a, b] est compact.

Théorème 2.5. — (i) Pour j = 1, . . . , n, soient a_j ≤b_j dansR et I_j = [a_j, b_j]. Alors le «pavé fermé»

(Q)

P =I₁× · · · ×I_n={x= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ|a_j ≤x_j ≤b_j pourj= 1, . . . , n}

est un compact deRⁿ.

(ii) Une partieK deRⁿ est compacte si et seulement si elle est ferm´ee et born´ee.

Démonstration. — (i) Soit (x^k)k∈N une suite d’éléments deP. Alors, pourj = 1, . . . , n, chaque suite x^k_j est à valeurs dans l’intervalle I_j = [a_j, b_j]. D’après 2.4, on peut extraire une sous-suite x^ϕ¹^(k) dont la première coordonnée converge vers un réel a₁ ∈ I₁, i.e. telle que la suite x^ϕ₁¹^(k) converge versa₁.

Puis on peut extraire de cette suite une sous-suite x^ϕ²^(k) (i.e.ϕ2(k) = ϕ1(ψ(k)) pour une certaine fonction ψ : N → N strictement croissante) dont la seconde coordonnée converge vers un réel a₂ ∈I₂. Aprèsn extractions, on obtient une suitey^k =x^ϕⁿ^(k) dont laj-ème coordonnée converge vers un réelaj∈Ij, pourj = 1, . . . , n. Alorsy^k converge versa= (a1, . . . , an)∈P. Ceci prouve queP est compact.

(ii) Supposons K fermé et borné, disons kak ≤ R pour tout a ∈ K. Soit (x^k)_k∈_N une suite d’éléments de K. Comme K est contenu dans le pavé Iⁿ, où I = [−R, R], il existe une suite

(5)On vient de démontrer ici, dans un cas particulier, quek · kvérifie l’inégalité triangulaire :ku+vk ≤ kuk+kvk.

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extraite x^ϕ(k) d’éléments de K qui converge vers un élément a de Iⁿ, et comme K est supposé fermé on aa∈K. Ceci prouve queK est compact.

Réciproquement, supposons K compact et montrons que K est fermé et borné. Soit (x^k)_k∈N une suite d’éléments deKconvergeant dansRⁿ vers une limite`. CommeK est compact, il existe une suite extraitex^ϕ(k) convergeant vers une limitea∈K et commex^k →òn a nécessairement

`=adonc`∈K. Ceci montre queK est fermé. Montrons qu’il est borné. Dans le cas contraire, il existerait une suite x^k d’éléments deK telle quekx^kk > k pour tout k, et toute suite extraite serait non bornée, donc non convergente (d’après l’exemple 2.2), une contradiction. Ceci montre queK est borné.

Th´eor`eme 2.6. — SoitK un compact deRⁿ etf :K→R^p une application continue.

(Q)

(i) f(K)est un compact deR^p.

(ii) En particulier, si p= 1 alors f est born´ee et atteint ses bornes, i.e. il existe a, b∈K tels quef(a)≤f(x)≤f(b)pour toutx∈K.

Démonstration. — (i) Soit (y^k)_k∈Nune suite d’éléments def(K) et, pour toutk, soitx^kun élément de K tel que f(x^k) =y^k. Comme K est compact, on peut extraire de la suite x^k une sous-suite x^ϕ(k)convergeant vers un élémenta∈K. Commef est continue, la suitey^ϕ(k)=f(x^ϕ(k)) converge versf(a)∈f(K). Ceci montre quef(K) est compact (donc fermé et borné).

(ii) D’après ce qui précède,f(K) est une partie fermée et bornée deR: elle possède donc une borne inférieure α(resp. supérieureβ) et comme f(K) est fermé on aα, β∈f(K) donc il existe a, b∈K tels queα=f(a) et β=f(b).

D´efinition 2.7. — Soient A ⊂Rⁿ, f : A → R^p une application continue et B =f(A). On dit quef est unhom´eomorphismedeAsurB si :

(1) f est continue et bijective.

(2) L’application inversef⁻¹:B→Aest continue.

Noter que la condition (2) n’estpasconséquence de la condition (1) : par exemple, l’application f : [0,2π[→S¹,t 7→eît est continue et bijective, mais n’est pas un homéomorphisme. (Exercice : le démontrer !) Par contre, une propriété agréable des compacts est la :

Proposition 2.8. — SoitK un compact de Rⁿ et f :K →R^p une application continue et bijective. Alorsf est un hom´eomorphisme de K surf(K).

Démonstration. — Il suffit de montrer quef⁻¹est continue en tout pointbdef(K). Soit (y^k)_k∈_N une suite d’éléments de f(K) convergeant vers b = f(a). Montrons que la suite x^k = f⁻¹(yk) converge versa.

Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors il exister >0 et une suite extraiteu^k =x^ϕ(k)telle queku^k−ak ≥rpour toutk. CommeKest compact, on peut extraire de (u_k)_k∈_Nune sous-suite v^k =u^ψ(k) qui converge vers` ∈K, et l’on ak`−ak ≥r donc`6=a. Comme f est continue, la suitef(v^k) converge versf(`). D’autre part,f(v^k) est une suite extraite de (y^k)k∈N, donc converge versb=f(a). Doncf(`) =f(a), contredisant la bijectivit´e def.

Une autre propriété importante des parties compactes, qui sera utile pour la définition des intégrales multiples, est donnée par le théorème ci-dessous.

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2. PARTIES COMPACTES DERⁿ: UN R ´ESUM ´E 7

D´efinition 2.9. — Une fonctionf :Rⁿ→R^p est dite uniform´ement continuesur une partie AdeRⁿ si, pour toutε >0, il existeδ >0 tel que pour toutx, y∈A,

kx−yk< δ=⇒ kf(x)−f(y)k< ε.

Remarque 2.10. — Cette propriété estplus forte que la continuité en tout pointxdeA. En effet, dans la définition de la continuité en un pointx, leδdépend à la fois deεet dex. Par contre,εétant donné, la définition plus haut exige l’existence d’unδqui donne la majorationkf(x)−f(y)k< εde fa¸con«uniforme» enx, i.e. pour toutx∈Aet touty∈Atel quekx−yk< δ.

Par exemple, on pourra v´erifier que la fonctionf:R^∗+→R^∗+,x7→1/xest continue maispasuniform´e- ment continue.

Théorème 2.11 (Heine). — Soitf :Rⁿ→R^p une fonction continue sur un compactK deRⁿ. Alorsf est uniformément continue sur K.

Démonstration. — On raisonne par l’absurde. Supposons quef n’est pas uniformément continue sur K. Alors il existe ε₀ > 0 tel que pour tout k ∈ N^∗, on peut trouver x^k, y^k ∈ K tels que kx^k−y^kk<1/k etkf(x^k)−f(y^k)k ≥ε0. CommeK est compact, on peut extraire une sous-suite x^ϕ¹^(k) qui converge vers un élément xde K, puis une sous-suite y^ϕ¹^(ϕ²^(k)) qui converge vers un

´

el´ementy deK. Posantϕ=ϕ₁◦ϕ₂ et notantu^k =x^ϕ(k)et v^k =y^ϕ(k), on obtient queu→xet v→y.

Commef est continue,f(u^k)−f(v^k) converge vers f(x)−f(y) et l’on en déduit quekf(x)− f(y)k ≥ ε0. D’autre part, comme ku^k −v^kk < 1/ϕ(k) ≤ 1/k, on en déduit que x = y, d’où f(x) =f(y) ce qui contredit l’inégalitékf(x)−f(y)k ≥ε₀.