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Problème numéro D1837

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Academic year: 2022

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Problème numéro D1837

(solution par Joël Benoist)

Énoncé.Soient un triangleABCet un pointDdu côté [B,C]. On trace une droite∆quelconque qui passe parD et coupe les droites (AB) et (AC) aux pointsEetF.Le cercles de diamètres [B,F] et [C,E] se coupent aux points PetQ. Démontrer que lorsque∆pivote autour deD, la droite (PQ) passe par un point fixe.

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Solution.Nous allons tout simplement montrer que l’orthocentreHdu triangle ABCpasse par la droite va- riable (PQ). NotonsA0,B0,C0les pieds des hauteurs issus deA,B,CetΓB,ΓCles cercles de diamètres [B,F] et [C,E].

Nous allons utiliser la notion de puissance d’un point par rapport à un cercle et les propriétés classiques qui en découlent. La droite (PQ) est exactement l’ensemble des points du plan qui ont même puissance par rapport aux deux cerclesΓB,ΓC. Il suffit donc de montrer que le pointHà même puissance par rapport à ces deux cercles, i.e., avec des notations évidentes nous devons démontrer l’égalité :

PΓB(H)=PΓC(H). (1)

OrPΓB(H)=−−→H B·−−→

H B0=−−→H B·(−−→HC+−−→

C B0)=−−→H B·−−→HC+−−→HC·−−→

C B0=−−→H B·−−→HC. Ce dernier terme étant symétrique enBetC, on déduit que l’égalité (1) est vraie.

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