Partie I : polynômes de Tchebychev

objectif:

Le but du problème consiste à étudier l’approximation uniforme de fonctionsC¹ sur un segment.

Dans le cas de I = [ 1;1] on établira le théorème :

"toute fonction continue sur [ 1;1] y est C¹ si et seulement si il existe une suite de polynôme (p_n)_n2N telle que

d (P_n) n

n = sup

[ 1;1]

(f P_n)<< 1=n^k pour tout k2N "

Dans la première partie on étudie les polynômes de Tchebychev.

Dans la seconde partie on va majorer la norme in…nie de la dérivée d’un polynôme en fonction de celle du polynôme.

La partie 3 utilisera les majoration précédentes pour étudier l’approximation uniforme.

notations:

Pour toutk 2N[ f+1gon noteC^k([ 1;1]) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles de classe C^k sur [ 1;1]:

Pour tout fonctionf 2C⁰([ 1;1]) on note kfk₁ =kf(x)k₁ = sup

x2[ 1;1]

(jf(x)j): C’est une norme sur C⁰([ 1;1]):

On noteE l’espace vectoriel des fonctions polynômes sur R.

Pour tout n 2 N , on note E_n le sous espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n:

Pour tout n2N , on note V_n le sous espace vectoriel des restrictions à [ 1;1] des éléments deE_n:

Pour tout f 2C⁰([ 1;1]) , on note d(f; V_n) la distance def au sous espace V_n: d(f; V_n) = inf

P2Vn

(kf Pk)

On dira qu’une suite( _n)_n2Nde réels est à décroissance rapide si pour tout entierk la suite n^k _{n n} est bornée. 2N

On noteS l’ensemble des suites à décroissance rapide.

Partie I : polynômes de Tchebychev

I.A) dé…nition et récurrence

pour tout n 2N;On pose F_n(x) = cos(narccos(x)):

1.

1. Déterminer le domaine de dé…nition D desF_n:

2. Pour tout x2D , calculer F₀(x); F₁(x); F₂(x) etF₃(x):

3. Pour tout n 2N, calculer F_n(1); F_n(0) etF_n( 1):

4. Etudier la parité de F_n en fonction de n.

2. Exprimer F_n+1(x) +F_{n 1}(x)en fonction de x etF_n(x):

3. En déduire que F_n se prolonge sur R en une unique fonction polynôme dont on précisera le degré et le coe¢ cient dominant.

Dans la suite on notera aussiF_n la fonction prolongée.

4. Ecrire, en utilisant le langage de programmation associé à l’un des logiciels de calcul formel au pro- gramme, une fonction Tchebychev qui prend en argument un entiern et qui renvoie l’expression de F_n(x):

Dans toute la suite du problème on pose

T₀ = 1;8n 2N ,8x2R , T_n(x) = 2^{1 n}F_n(x) 5.

Déterminer le degré et le coe¢ cient dominant deT_n: Déterminer deux réels a etb tels que

8n 2N ; T_n+2(x) = axT_n+1(x) +bT_n(x) I.B) étude des dérivées

1. Soit n2N

1. Montrer que la fonction F_n est de classe C¹ sur R.

2. Pour x2] 1;1[ donner une expression simple deF_n⁰(x) . On justi…era soigneusement le calcul.

2. Soit n2N

1. Montrer que :

arccos(x) ₁ p

2(1 x)

2. En déduire le calcul de F_n⁰(1) et de F_n⁰( 1):

3. Montrer :

8n 2N ;8x2R , 1 x² T"_n(x) xT_n⁰(x) +n²T_n(x) = 0 On pourra commencer par prendrex2] 1;1[:

I.C) racines de T_n

Dans toute cette question et ljusqu’à la …n du I on prend n 2N

1. Déterminer les racines de T_n . (On montrera que toutes les racines (complexes) de T_n sont éléments de] 1;1[, qu’elles sont simples et on les calculera).

On note(xj)ⁿ_j=1 les racines deTn par ordre croissant : 1< x1 < x2 < xn <1:

2. Montrer que pour x =2 fx_jg

T_n⁰(x) T_n(x) =

Xn k=1

1 x x_k

8< continue surR

T (x)

1. Que vaut Q_j(x_k) sik 6=j ? Que vautQ_j(x_j):

2. Montrer queQ_j 2E_{n 1}:

4. Soit P 2E_{n 1} . On dé…nit le polynôme Q= Xn

j=1

P(x_j) T⁰(x_j)Q_j . 1. Pour k 2[[1; n]], calculer Q(x_k):

2. En déduire8x2R , P(x) = Q(x):

3. En déduire :

8x =2 fxjg; P(x) = 2^{n 1} n

Xn j=1

( 1)^{n j} q

1 x²_jP(xj)T_n(x) x x_j ID) maximum de jT_n⁰j:

1. Montrer que pour 2h 0;2n

i

on a sin(n ) nsin ( ): 2. Montrer que pour 2[0; =2]on a sin ( ) 2

: 3. Montrer que pour 2h

0; 2 i

on a jsin(n )j nsin ( ): On pourra distinguer les cas

2n et

2n: 4. Montrer que pour tout n 2N :

sup

x2[ 1;1]jT_n⁰(x)j=n²2^{1 n} I E)une inégalité intermédiaire :

1. Montrer que pour tout x2[x₁; x_n]

p1 x² 1 n 2. Montrer que pour tout x2[xn;1]

Xn j=1

T_n(x)

x x_j n²2^{1 n} 3. Soit P 2E_{n 1} tel que

P(x)p 1 x²

1 1

Montrer que :

kP(x)k₁ n (on distinguera les cas : x2[x₁; x_n]; x2[ 1; x₁]; x2[x_n;1]

4. En déduire que pour tout polynôme P 2E_{n 1} :

kP(x)k₁ n P(x)p 1 x²

1

Partie II : inégalité de Markov

II.A) : polynômes de Tchebychev de seconde espèce:

Soit k 2N :Montrer qu’il existe un polynômeB_k de degrék 1et qui véri…e 8 2 R, sin(k ) =B_k(cos( )) sin( )

II.B) inégalité de Markov

A toute famille (a₀; a_1; a_n; b₁; b_n) de réels on associe le polynôme trigonométrique : T ( ) =a₀+

Xn k=1

(a_kcos (k ) +b_ksin (k ))

1. Soit 0 2R…xé.

Montrer qu’il existe un polynômeP 2E_{n 1} véri…ant :

8 2R : T( ₀+ ) T ( ₀ ) = 2 sin ( )P(cos( )) Montrer que

kPk₁ nsup

2R

(T ( )) 2. Montrer :

sup

2R

(jT⁰( )j) nsup

2R

(jT( )j)

3. Soit P 2En . En prenant T ( ) =P(cos ( )) montrer : kP⁰k₁ n²kPk₁

Partie III : approximation polynômiale

1. III.A: sur les suites à décroissance rapide 1. Montrer queS est un espace vectoriel.

2. Montrer que( _n)_n2n 2 S ,8k2N , n

1 n^k: 3. Soit ( _n)_n2N 2 S et j 2N

1. Montrer que la série X

n^j _n converge absolument.

2. Montrer que pourtout k 2et tout n2N ,

+1

X

p=n+1

1 p^k

1 k 1

1 n^{k 1} 3. On note R_n(j) =

+1

X

p=n+1

p^j _j

Montrer que la suite (Rn(j))_n2N 2 S III.B: une fonction auxiliaire

On reprend les polynômes F_n de la première partie.

Soit ( _n)_n2N 2 S

X

2. On note f =

+1

X

n=0 nF_n:

3. Montrer quef 2C¹([ 1;1]):

4. Montrer que la suite (d(f; V_n))_n2N est à décroissance rapide.

Pour toute fonctionh2C⁰([ 1;1]) on dé…nit la fonctioneh : !h(cos( )):

On rappelle que les coe¢ cients de Fourier deeh sont donnés par les formules : a₀ eh = 1

2

Z eh(t)dt

8n2N :an eh = 1Z

eh(t) cos(nt)dt , b_n eh = 1 Z

eh(t) sin(nt)dt

1. III.C: Le théorème d’approximation.

Soit f 2C¹([ 1;1])

1. Montrer que la suite a_n(fe)

n2N 2 S. Que peut-on dire de la suite b_n(f)e

n2N

?

2. Montrer que la série de Fourier de f converge normalement sur R. 3. Montrer qu’il existe une suite ( _n(f))_n2N à décroissance rapide telle que

8x2[ 1;1], f(x) =

+1

X

n=0

n(f)F_n

Donner une expression de n(f) en fonction den etf .

4. En déduire une suite (P_n)_n2N de fonctions polynômes de degré n et telle que sup

[ 1;1]

(f P_n)<<1=n^k pour toutk 2N

II.D: Réciproque:

Soit f 2C⁰([ 1;1]) telle que la suite(d(f; V_n))_n2N soit à décroissance rapide.

1. Montrer qu’on peut construire une suite de fonctions polynômes telle que : pour tout entier n , d (p_n) n:

(kf P_nk)_n2N est à décroissance rapide.

2.

1. Soient0 j < k deux entiers calculer ak fF_j

2. Soitk 2N , montrer que pour P 2E_{k 1} : a_k fe =a_k(f^P):

3. En déduire que la suite a_n(f)e

n2N est à décroissance rapide.

4. Montrer quef est de classeC¹:

*FIN*