DEVOIR 4 Indications

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

DEVOIR 4 Indications

Exercice 1.

Pour toutn2N;on pose : In=R1 0

xⁿ p1 x³dx:

1:Montrer queIn existe,8n2N:

Indications:

- Utiliser le changement de variabley= 1 x:

- 0 I_n p² 3

R1 0 y ¹²

2:Calculer la limite deI_n quandn! 1: - La suite de fonctionsf_n(x) =p^xn

1 x³ converge simplement vers0 sur[0;1[:

-0 f_n p ² 3p

(1 x)

- Conclure en utilisant le thérème de convergence dominée.

Exercice 2 .

On considère la fonctionF dé…nie, pour toutx 0;par : F(x) =R1

0 e ^xtln(t)dt:

1)CalculerF(0):

F(0) =R1

0 ln(t)dt= 1 - Intégration par partie.

2)

Montrer queF est dé…nie pour tout x 0:

- Pour toutx 0; t2]0;1]; on aje ^xtln(t)j jln(t)j 3)Montrr que F est de classeC¹ sur]0;1[

- Pour toutx >0; t2]0;1]; _xe ^xtln(t) jtln(t)j: 4)Calculer explicitementF⁰(x); pour toutx >0:

-F⁰(x) =R1

0 te ^xtln(t)dt:

5)Trouver une équation di¤érentielle véri…ée par F et en déduire l’expression deF:

_ (xF(x)⁰= ¹_x(e ^x 1):

Exercice 3.

SoitD une plaque homogène deR²de densité surfacique et délimitée par les deux paraboles d’équations:

y= 2px²et x= 2qy²;

1

avecpet qdeux reéls distincts strictement positifs.

1

) DessinerD.

2)Déterminer la masse de la plaqueD.

M = ZZ

D

dxdy:

- Déterminer les deux points d’intersetion des deux paraboles.

- Utiliser le théorème de Fubini;

-M = _12pq:

3)Déterminer le centre de masse M de la plaqueD.

- (₄₀⁹ p₃¹

pq²;₄₀⁹ q³ ₁

p²q )

Exercice 4 .

1)

SoitK= (x; y; z)2R³= x²+y² zx 0;0 z 1 : Calculer de deux manières di¤érentes, l’intégrale suivante:

ZZZ

K

z(x²+y²)dxdydz:

1)En utisant les coordonnées cylindrique, on obtient : ZZZ

K

z(x²+y²)dxdydz=R1 0

R₂

2

Rzcos( )

0 zr²rdrd dz= ₆₄: 2)En considérant le fonctions z= _x2+y^{x 2} etz= 1;

on obtient le domaine d’intégrationD délimité par: _x2+y^{x 2} = 1 et _x2+y^{x 2} z 1:

ZZZ

K

z(x²+y²)dxdydz= ZZZ

D

(z(x²+y²)dxdydz

=

Z Z

f(x;y)=x²+y² x 0g

(R1

x

x2 +y2z(x²+y²)dz)dxdy= ₆₄:

Exercice 5.

On considère le champ de vecteurs deR² dé…ni par : V(x; y) = (x+y²; x+y²):

1)

Le champV dérive-t-il d’un potentiel? Justi…er votre réponse.

Non

2

) Calculer la circulation du champV le long du périmétre

du triangleOABparcouru dans le sens positif; avecO(0;0)A(2;0)àB(0;1):

a)Par intégrale curviligne.

R V:dr= ²₃:

b)Par application du théorème de Green-Riemann.

2

R V:d= ZZ

D

( ^Q_x ^P_y)dxdy=R2

0(R ¹₂x+1

0 (2x 2y)dxdy= ²₃:

3