UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
SMA4/M21
Indications EX:1-2-3-4.
SERIE-3
Exercice 1.
a) Inverser l’ordre de l’intégrale triple : R4
0
Rpz pz
Rp
z y2
pz y2f(x; y; z)dxdydz de dxdydz a dzdydx On a :
(1)0 z 4;( 2) p
z y p
z;(3) p
z y2 x p
z y2 De (3) et de (1), on obtient :
0 x2+y2 z 4) (4) 0 x2+y2 4 et x2+y2 z 4:
De (4), on a 2 x 2; p
4 x2 y p
4 x2 et x2+y2 z 4:
Par conséqent, en inversant l’ordre, on obtient : R4
0
Rpz pz
Rp
z y2
pz y2 f(x; y; z)dxdydz=R2 2
Rp4 x2 p4 x2
R4
x2+y2f(x; y; z)dzdydx b):Inverser l’ordre de l’intégrale triple;
R2 2
Rp4 x2 0
Rp
4 x2 y2
p4 x2 y2f(x; y; z)dzdydx de dzdydx a dydzdx:
De la même façon, on obtient : R2
2
Rp4 x2 0
Rp
4 x2 y2
p4 x2 y2f(x; y; z)dzdydx=R2 2
Rp4 x2 p4 x2
Rp4 x2 z2
0 f(x; y; z)dydzdx:
Exercice 2 .
a) Le domaine d’intégrationDest l’intérieur de la sphère : x2+y2+z2= 4:
En passant aux coordonnées sphériques, on obtient :
x=Rcos( ) sin('); y=Rsin( ) sin('); z=Rcos(');
0 R 2;0 ' ;0 2 ; x2+y2=R2sin2(') Donc,
M = R2 2
Rp4 x2 p4 x2
Rp
4 x2 y2
p4 x2 y2(x2+y2)dzdydx= R2 0
R
0
R2
0 R2sin2(')R2sin(')dRd'd M = R2
0
R
0
R2
0 R4sin3(')dRd'd =R2 0
R
0
hR5
5 sin3(')i2
0d'd = 325 R2 0
R
0 sin3(')d'd
M =325(2 ) cos(') + cos3(') 0 = 325(2 )(43) = 25615:
b) On considère les coordonnées cylindriques : x=rcos( ); z=rcos( ); y=y:
Puisque la régionD est bornée par les cylindres : x2+z2= 1etx2+z2= 4 on a
1 x2+z2 4)1 r 2 ,0 2 :
La régionDest aussi bornée par les deux plans y= 1et y= 2;donc, 1 y 2,
Par conséquent, RRR
Dcos( y)p
x2+z2dV =R2 0
R2 1
R2
1cos( y)rrdydrd RRR
Dcos( y)p
x2+z2dV =R2 0
R2 1
hsin( y) r2i
drd =R2
0 0drd = 0:
Exercice 3 .
a) SoitF le champ de vecteur :
F(x; y) = (x3 ysin(x))~i+ (y3 cos(x))~j=M(x; y)~i+N(x; y)~j:
F est une forme di¤érentielle dé…nie par :
F(x; y) = (x3 ysin(x))dx+ (y3 cos(x))dy=M(x; y)dx+N(x; y)dy:
La fonction F est de classeC1 surR2 et
@M
@y (x; y) = sin(x)6= sin(x) = @N
@x(x; y);
par conséquentF ne dérive pas d’un potentiel .
La forme di¤érentielle (x3 ysin(x))dx+ (y3 cos(x))dyn’est pas exacte.
b) SoitF le champ de vecteur:
F(x; y) = 2xarctan(y)~i+ x2
1 +y2~j=M(x; y)~i+N(x; y)~j:
Puisque le champ de vecteurF est de classeC1 surR2et
@M
@y (x; y) = 2x
1 +y2 =@N
@x(x; y)
alorsF le champ de vecteur dépend d’un potentielf :R2!R. La forme di¤érentielle 2xarctan(y)dx+1+yx22dyest exacte.
Détrminonsf tel que;
rf = (@f@x(x; y);@f@y(x; y) = (2xarctan(y);1+yx22):
@f
@x(x; y) = 2xarctan(y) =)f(x; y) = Z
2xarctan(y)dx=x2arctan(y) +C(y):
En dérivant par rapport ày,
@f
@y(x; y) = x2
1 +y2 = x2
1 +y2 +C0(y) =)C0(y) = 0;
donc
C(y) =c2R: Par conséquent,
f(x; y) =x2arctan(y) +c:
c) SoitF la fonction dé…nie par F(x; y; z) =ztan(y)~i+ xz
cos2(y)~j+xtan(y)~k
F(x; y; z) =M(x; y; z)dx+N(x; y; z)dy+R(x; y; z)dz:
La forme di¤érentielleF est de classeC1 sur 2;2 3, de plus :
@M
@y (x; y; z) = z
cos2(y)= @N
@x(x; y; z); @M
@z (x; y; z) = tan(y) = @R
@x(x; y; z)
et @N
@z(x; y; z) = x
cos2(y) =@R
@y(x; y; z) Donc,F dérive d’un potentiel f :R3!R:
La forme di¤érentielle ztan(y)dx+cosxz2(y)dy+xtan(y)dz est exacte.
Déterminonsf(x; y; z) tel querf =F:
rf = (@f@x(x; y; z);@f@y(x; y; z);@f@z(x; y; z) = (ztan(y);cosxz2(y); xtan(y)):
@f
@x(x; y; z) =ztan(y) =)f(x; y; z) =zxtan(y) +C(y; z)
En dérivantf par rapport ày:
@f
@y(x; y; z) = xz
cos2(y) = zx
cos2(y)+@C
@y(y; z) par conséquent:
@C
@y(y; z) = 0 =)C(y; z) =C2(z):
En dérivantf par rapport àz:
@f
@z(x; y; z) =xtan(y) =xtan(y) +C20(z) =)C20(z) = 0 =)C2(z) =c2R On obtient alors:
f(x; y; z) =xztan(y) +c:
d) SoitF la fonction dé…nie par
F(x; y; z) =ex(ez ln(y))~i+ (eyln(z) exy 1)~j+ (ex+z+eyz 1)~k
=M(x; y; z)~i+N(x; y; z)~j+R(x; y; z)~k:
PuisqueF est de classeC1 sur(R+)3 ,
@M
@y (x; y; z) = exy 1= @N
@x(x; y; z); @M
@z (x; y; z) =ex+z=@R
@x(x; y; z)
et @N
@z(x; y; z) =eyz 1= @R
@y(x; y; z);
le champ de vecteurF dérive d’un potentielf:
Déterminonsf(x; y; z)tel querf =F, on a :
@f
@x(x; y; z) =ex(ez ln(y)) =)f(x; y; z) =ex(ez ln(y)) +C(y; z) En dérivant par rapport à y, on a:
@f
@y(x; y; z) =eyln(z) exy 1= exy 1+@C
@y(y; z) et on obtient :
@C
@y(y; z) =eyln(z) =)C(y; z) =eyln(z) +C2(z):
En dérivant par rapport à z :
@f
@z(x; y; z) =ex+y+eyz 1=ex+z+eyz 1+C20(z) =)C20(z) = 0;
on obtient
C2(z) =c; (c2R);
Finalement,
f(x; y; z) =ex(ez ln(y)) +eyln(z) +c:
Exercice 4 .
a) Soit l’intégrale : R
C(yx2dx+ (x+y)dy
oùC est la courbey= x3 de l’origine(0;0)au point(1; 1):
On considère la paramétrisation de la courbeC: (t; t3);0 t 1 On obtient que:
R
C(yx2dx+ (x+y)dy =R1
0( t5dt+ (t t3)(3t2dt) R
C(yx2dx+ (x+y)dy =R1
0( t5 3t3+ 3t5)dt R
C(yx2dx+ (x+y)dy =R1
0(2t5 3t3)dt=125: b) Soit l’intégrale:
R
C1[C2(3xydx+ (4x2 3y)dy)
C1 : le segment reliant les points(0;3) à(3;9);
C2:la paraboley=x2 de(3;9)à(5;25):
Une paramétrisation deC1 est donnée par : C1: (t;2t+ 3);0 t 3;
par conséquent R
C1(3xydx+ (4x2 3y)dy) =R3
0(3t(2t+ 3)dt+ (4t2 3(2t+ 3))(2dt)
=R3
0(14t2 3t 18))dt=1172 : Une paramétrisation deC2 est donnée par :
C2: (t; t2);3 t 5;
par conséquent:
R
C2(3xydx+ (4x2 3y)dy) =R5
3(3t3dt+ (4t2 3(t2)(2tdt) =R5
3 5t3dt= 680:
D’après le cours , proposition5 page 49:
R
C1[C2F:dr=R
C1F:dr+R
C2F:dr:
Donc, R
C1[C2(3xydx+ (4x2 3y)dy) = 1172 + 680 = 14772 : c) Soit l’intégrale;
R
Czdx+xdy+ydz;
oùC:r(t) = (acos(t);sin(t); t);0 t 2 : R
Czdx+xdy+ydz=R2
0 (atsin(t)dt+acos(t)(acostdt) +asin(t)dt R
Czdx+xdy+ydz;=a(a+ 2) : d) Soit l’intégrale
R
C(x+y)dx+ (y+z)dy+ (x+z)dz;
oùC:le segment reliant les points(0;0;0)à (1;2;4):
Un vecteur directeur du segment est donné par(1;2;4) (0;0;0) = (1;2;4):
On obtient une paramétrisation du segment C :x =t; y = 2t; z = 4t;0 t 1:
R
C(x+y)dx+ (y+z)dy+ (x+z)dz=R1
0(t+ 2t)dt+ (2t+ 4t)(2dt) + (t+ 4t)(4dt)
=R1
0 35tdt=352:
