UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

Année 2019–2020

SMA4/M21: Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

Correction-SERIE-4-EXV-VI-VII

ExerciceV

D’après le théorème d’Ostrogradsky page 107, on a :

D= (x; y; z)=x²+y²+z² 1 etdivF = 2xy+ 2xy+xy= 5xy:

Par conséquent, RR

SF:nds= ZZZ

D

divF dv=

ZZ Z

f(x;y;z)=x²+y²+z² 1g

5xydv:

En utilisant les coordonnées sphériques, on obtient:

RR

SF:nds=

ZZ Z

f(x;y;z)=x²+y²+z² 1g

5xydv = 0:

On peut aussi utiliser la symétrie pour déduire le résultat sans calcul.

Exercice VI

Pour véri…er le théorème d’Ostrogradsky, il faut montrer RR

SF:nds= ZZZ

D

divF dv

où F =xi+yj+zk; Sest la surface du cylindre :

D= f(x; y; z)= x²+y² 1,0 z 2g: ZZZ

D

divF dv= ZZZ

D

(1 + 1 + 1)dv= 3 ZZZ

D

dv= 3V ol(D) = 3(2)( 1²) = 6 :

La surfaceS du cylindre est composée de trois faces: S1[S2[S3: Voir exemple 92, page 93.

La surface inférieureS1 :z = 0; x²+y² = 1; n1 = k le vecteur unitaire normal àS1:

La surface latéraleS2: 0< z <2; x²+y²= 1; n2= cos i+ sin j=xi+yj le vecteur unitaire normal àS2:

La surface supérieure S3 : z = 2; x²+y² = 1; n3 =k le vecteur unitaire normal àS3:

Par conséquent, RR

SF:nds=RR

S1F:n1ds1+RR

S2F:n2ds2+RR

S3F:n3ds3: 1

RR

S1F:n1ds1=RR

S1 zds1=RR

S10ds1= 0;carz= 0surS1: RR

S2F:n2ds2=RR

S2(x²+y²)ds2=RR

S2ds=Aire de S2= 2(2 )(1) = 4 ; x²+y²= 1 surS2:

RR

S3F:n₃ds₃=RR

S32ds₃= 2Aire de S₃= 2( 1²) = 2 : Donc,

RR

SF:nds= 0 + 4 + 2 = 6 :

Exercice VII

Soit S une surface dé…nie par le graphez=f(x; y), (x; y)2Det n le vecteur normal unitaire à S dirigé du côté inférieure de S.

Sif est de classeC¹etF(x; y; z) =F1(x; y; z)i+F2(x; x; y; z)j+F3(x; y; z)k un champ continu alors :ZZ

S

F:nds= ZZ

D

(F1

@f

@x+F2

@f

@y F3)dxdy:

Analogue à la démonstration de la proposition 7, il su¢ t de remarquer que la normaleN à la surface S est déterminer par;

N = (@f

@x;@f

@y; 1)

car le vecteur normal unitaire àS dirigé du côté inférieure deS.

:

2