UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

Année 2019–2020

SMA4/M21: Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

Correction-SERIE-4

Exercice I.

S

F:nds;

oùF = 2xi+yj+zk; Sest la surface du paraboloïdez=x²+y²; bornée par les plansz= 0; z= 4;à travers l’extérieur de S:

Le côté extérieur du paraboloïde est dirigé vers le bas, donc

d’après la proposition 8 page 95 ( Fonctions plusieurs variables), on a:

ZZ

S

F:nds = ZZ

D

(F1

@f

@x +F2

@f

@y F3)dxdy

= ZZ

D

(4x²+ 2y² (x²+y²)dxdy

= ZZ

D

(3x²+y²)dxdy oùD est le disquex²+y² 4:

En passant aux coordonnées polaires, on obtient que : ZZ

S

F:nds = Z 2

0

Z 2 0

(3r²cos²( ) +r²sin²( )rdrd

= Z 2

0

Z 2 0

r³(3 cos²( ) + sin²( )drd

= Z 2

0

r⁴ 4

2

0

(3 cos²( ) + sin²( )drd

= 4 Z 2

0

(3 cos²( ) + sin²( )d

= 2 Z 2

0

(3(1 + cos(2 )) + 1 cos(2 )d

= Z 2

0

(8 + 4 cos(2 ))d = 16

Exercice II

C= (x; y;1)=x²+y²= 1 :

La normale à la demi-sphère S1: z=p

2 x² y²,

est dirgée vers le haut, la frontièreC deS1 est orientée positivement.

La normale au graphe du cône S₂ : z=p

x²+y² .

est dirgée vers le bas, la frontièreC deS2 est orientée négativement.

PuisqueF ,S₁etS₂véri…ent les hypothèses du théorème de Stokes.

ZZ

S

RotF:nds= ZZ

S1

RotF:nds+

ZZ

S1

RotF:nds:

ZZ

S

RotF:nds=R

CF:dr+R

CF:dr= 0:

Exercice III

Pour véri…er le théorème de Stokes, il faut montrer que : ZZ

S

RotF:nds=R

CF:dr:

S est la surfacez= 9 x² y²; z 0. La frontièreC deS est déterminée par :

C= (x; y;0)= x²+y²= 9 Une équation paramétrique deC est donnée par:

r(t) = (3 cos(t);3 sin(t);0); 0 t 2 : Donc,

R

CF:dr=R2

0 (9 cos²(t)( 3 sint) + 9 sin²(t)(3 cos(t))dt R

CF:dr= 27R2

0 (cos²(t) sint+ sin²(t) cos(t))dt= 0:

Le champ de vecteursF(x; y; z) =x²i+y²j+z²kvéri…e les conditions du théorème de Stokes.

RotF =

i j k

x y z

x² y² z²

= 0i 0j+ 0k= 0:

Par conséqent, ZZ

S

RotF:nds= ZZ

S

0ds= 0 =R

CF:dr:

Exercice IV

Soit F est le champ de vecteursF(x; y; z) =xzi+ 2zj xyk:

Calculer :

R

C F:dr,

C est l’intersection du plan d’équation y=z+ 2;et du cylindrex²+y²= 4:

L’orientation de C est déterminée par le vecteur normale sortant du côté supérieur du graphe (diriger vers le haut).

D’après le théorème de Stokes, on a : R

C F:dr= ZZ

S

RotF:nds

S est la surface déterminée par le graphez=f(x; y) =y 2 sur le domaieD= (x; y)=x²+y² 4 :

RotF =

i j k

x y z

xz 2z xy

= ( x 2)i ( y x)j+ 0k:

D’après la proposition 7, page 93, on a:

RR

SRotF:nds=RR

D( ( x y)@f

@x (x+y)@f

@y + 0)dxdy RR

SRotF:nds=RR

D (x+y)dxdy = 0

ExerciceV

D’après le théorème d’Ostrogradsky page 107, on a :

D= (x; y; z)=x²+y²+z² 1 etdivF = 2xy+ 2xy+xy= 5xy:

Par conséquent, RR

SF:nds= ZZZ

D

divF dv=

ZZ Z

f(x;y;z)=x²+y²+z² 1g

5xydv:

En utilisant les coordonnées sphériques, on obtient:

RR

SF:nds=

ZZ Z

f(x;y;z)=x²+y²+z² 1g

5xydv = 0:

On peut aussi utiliser la symétrie pour déduire le résultat sans calcul.

Exercice VI

Pour véri…er le théorème d’Ostrogradsky, il faut montrer RR

SF:nds= ZZZ

D

divF dv

où F =xi+yj+zk; Sest la surface du cylindre : D= f(x; y; z)= x²+y² 1,0 z 2g: ZZZ

D

divF dv= ZZZ

D

(1 + 1 + 1)dv= 3 ZZZ

D

dv= 3V ol(D) = 3(2)( 1²) = 6 :

La surfaceS du cylindre est composée de trois faces: S₁[S₂[S₃: Voir exemple 92, page 93.

La surface inférieureS₁ :z = 0; x²+y² = 1; n₁ = k le vecteur unitaire normal àS₁:

La surface latéraleS2: 0< z <2; x²+y²= 1; n2= cos i+ sin j=xi+yj le vecteur unitaire normal àS2:

La surface supérieure S3 : z = 2; x²+y² = 1; n3 =k le vecteur unitaire normal àS3:

Par conséquent, RR

SF:nds=RR

S1F:n1ds1+RR

S2F:n2ds2+RR

S3F:n3ds3: RR

S1F:n1ds1=RR

S1 zds1=RR

S10ds1= 0;carz= 0surS1: RR

S2F:n₂ds₂=RR

S2(x²+y²)ds₂=RR

S2ds=Aire de S₂= 2(2 )(1) = 4 ; x²+y²= 1 surS2:

RR

S3F:n3ds3=RR

S32ds3= 2Aire de S3= 2( 1²) = 2 : Donc,

RR

SF:nds= 0 + 4 + 2 = 6 :

Exercice VII

Soit S une surface dé…nie par le graphez=f(x; y), (x; y)2Det n le vecteur normal unitaire à S dirigé du côté inférieure de S.

Sif est de classeC¹etF(x; y; z) =F1(x; y; z)i+F2(x; x; y; z)j+F3(x; y; z)k un champ continu alors :ZZ

S

F:nds= ZZ

D

(F1

@f

@x+F2

@f

@y F3)dxdy:

Analogue à la démonstration de la proposition 7, il su¢ t de remarquer que la normaleN à la surface S est déterminer par;

N = (@f

@x;@f

@y; 1)

car le vecteur normal unitaire àS dirigé du côté inférieure deS.

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