UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat
Année 2019–2020
Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
SMA4/M21 Correction-SERIE-5
ExerciceI
.1) La fonctionuest harmonique car:
u=-sin(x)cosh(y) +sin(x)cosh(y) = 0 Siv(x; y)est une fonction conjuguée deu(x; y)alors
les fonctionsu(x; y); v(x; y)véri…ent les conditions de Cauchy-Riemann :
@v
@x(x; y) = @u
@y = sinxsinhy (1)
@v
@y(x; y) = @u
@x = cosxcoshy (2) En intégrant(1)par rapport à x, on obtient :
v(x; y) = cosxsinhy+h(y)
En dérivant par rapport à y, d’après(2);on a :
@v
@y(x; y) = cosxcoshy+h0(y) = cosxcoshy
Donch0(y) = 0 =)h(y) =cconstante.
Par conséquent, les fonctions conjuguées deusont déterminées par : v(x; y) = cosxsinhy+c
1) b) La fonctionu(x; y) =e xsin(2y)est de classeC2 surR2. On a u= 3u6= 0;donc la fonctionun’est pas harmonique.
2)u(x; y) =x3 3xy2est de classeC2 surR2et u= 6x 6x= 0
Donc, la fonctionuest harmonique surR2. Détrminons les fonctions conjugées deu:
Soitv:R2 !Rtq : @v
@x = @u
@y et @v
@y = @u
@x (1) @v
@x = 6xy=)v(x; y) = 3x2y+h(y) 1
(2) @v
@y = 3x2 3y2 de(2)on obtient : @v
@y = 3x2+h0(y) = 3x2 3y2 donch0(y) = 3y2 eth(y) = y3+c.
Par conséquent:
v(x; y) = 3x2y y3+c:
On a :
u(x; y) +iv(x; y) = (x3 3xy2) +i(3x2y y3) +c= (x+iy)3+c f(z) =z3+c:
ExerciceII
.1) Donner l’équation paramétrique de la courbe suivante : jz 2 + 3ij= 4
2)Que représente l’équation paramétrique suivant :
z(t) = 1 +i+e it, 0 t 2 1) Soitz=x+iy, on a :
jz 2 + 3ij= 4 =) jx+iy 2 + 3ij= 4 =) j(x 2) +i(y+ 3)j2= 42 (x 2)2+ (y+ 3)2= 16
est l’équation du cercle de centre(2; 3)et de rayon4:
En passant aux coordonnées polaires, on obtient:
(x 2)
4 = cost;(y+3)4 = sint; t2[0;2 ]:
Donc, une équation paramétrique de la courbe est donnée par:
x(t) = 2 + 4 cost; y(t) = 3 + 4 sint; t2[0;2 ]:
2)
On a : x(t) +iy(t) = 1 +i+ cos( t) +isin( t) x(t) +iy(t) = (1 + cos( t) +i(1 sin( t)):
(x(t) = 1 + cos t
y(t) = 1 sin t t2[0;2 ]:
2
Donc;(x 1)2+ (y 1)2= 1 .
L’équation paramétrique considérée représente le cercle centre(1;1) et de rayon1, orientée négativement.
ExerciceIII
.Calculer l’intégrale curviligne complexe le long de la courbe C indiquée : 1)R
Czdz, C est une partie de la parabole d’équation:
y=x2 reliant le point( 1 +i)au point(1 +i).
2)R
CIm(z2)dzR
CIm(z2)dz,C est le triangle de sommets z= 0;1; i.
1) La fonctionf(z) =zn’est pas holomorphe.
Une paramétrisation de C : y = x2 reliant le point ( 1 +i) au point (1 +i).
(x(t) =t
y(t) =t2 t2[ 1;1]
Donc :
R
czdz =R1
1z(t)dz(t) =R1
1z(t)z0(t)dt R
czdz=R1
1(t+ 2t3+it2)dt= t22+t24 +it3 3
1
1
=2 3i:
2) Le triangleC de sommetsz= 0;1; iest déterminé parC1[C2[C2: C1:le segment reliant les sommets0;1d’équation paramétrique:
z(t) =t+i0; t2[0;1]
C2:le segment reliant les sommets1; id’équation paramétrique:
z(t) = 1 t+it; t2[0;1]
C3:le segment reliant les sommetsi;0 d’équation paramétrique:
z(t) = 0 +i(1 t); t2[0;1]:
Siz=x+iy alorsIm(z2) = 2xy:
On remarque que la fonction n’est pas holomorphe et s’annule surC1 etC2: Par conséquent:
R
CIm(z2)dz=R1
0 2(1 t)t( 1 +i)dt= 2( 1 +i)R1
0(t t2)dt= 13( 1 +i) .
ExerciceIV
. En utilisant les formules de Cauchy, calculer l’intégrale curviligne complexe, le long de la courbeC orientée positivement :3
1)H
C
(1 + 2z) cos(z)
(2z 1)2 dz, C est la courbe d’équationjzj= 1 2)H
C
e2z
z(z 2i)2dz, C= 1[ 2avec 1: jz ij= 3 et 2 : jzj= 1.
1) On a H
C
(1 + 2z) cos(z) (2z 1)2 dz=H
C
(1+2z) cos(z) 4
(z 12)2 dz:
Le point singulierz=12 appartient au domaine entouré par la courbeC:
D’après le théorème 4.8.1, page 38, on a:
H
C
(1+2z) cos(z) 4
(z 12)2 dz= 2 i((1+2z) cos(z) 4 )0z=1
2
=24i(2 cos(z) (1 + 2z) sin(z))z=1
2
H
C
(1 + 2z) cos(z)
(2z 1)2 dz= i(cos(12) sin(12)):
2) Les pointsz= 0,z= 2isont des points singuliers de la fonction : e2z
z(z 2i)2:
Le pointz= 0n’appartient à l’anneau entouré par la courbeC:
Par contre, le pointz= 2iappartient à l’anneau entouré par la courbe C:
H
C
e2z
z(z 2i)2dz=H
C e2z
z
(z 2i)2dz:
La fonction e2z2 est holomorphe sur l’anneau entouré par la courbeC:
Donc, H
C e2z
z
(z 2i)2dz= 2 i(e2zz )0z=2i= 2 i(2ez2z ez2z2)z=2i= e4 i(2 + 12i):
4
